一元二次方程根的分布问题、恒成立问题

一、 知识要点1、 利用与韦达定理研究的根的分布1）方程有两个正根 2）方程两根一正一负 3）方程有两个负根 2、 借助函数图像研究的根的分布设一元二次方程（）的两实根为，且。为常数。则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若干定理。【定理1】【定理2】【定理3】【定理4】有且仅有（或）【定理5】或【定理6】，则或二、典型例题例1若一元二次方程有两个正根，求的取值范围。分析：利用与韦达定理研究的根的分布例2 在何范围内取值，一元二次方程有一个正根和一个负根？分析：利用例3 若一元二次方程有一根为零，则另一根是正根还是负根？分析：把x=0代入，得k=3,则可算出两根之和为5/30,所以另一根为正例4.方程x2+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p的取值范围分析：利用例5.若关于x的方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围利用零点存在定理练习1.方程mx2+2(m+1)x+m+3=0仅有一个负根，求m的取值范围练习2若关于x的方程kx2-(2k+1)x-3=0在(-1,1)和(1,3)内各有一个实根，求k的取值范围不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上如（1）设实数满足，当时，的取值范围是_（答：）；（2）不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围_（答：）；（3）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围_（答：（,）；（4）若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是_（答：）；（5）若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.（答：）2). 能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.如已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围_（答：）3). 恰成立问题若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为；若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为.