数学总第七章 图形的变化 第四节 图形的相似

第四节图形的相似考点考点相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质命题角度命题角度平行线型平行线型例例1 1(2018(2018恩施州恩施州) )如图所示，在正方形如图所示，在正方形ABCDABCD中，中，G G为为CDCD边中边中点，连接点，连接AGAG并延长交并延长交BCBC边的延长线于边的延长线于E E点，对角线点，对角线BDBD交交AGAG于于F F点，已知点，已知FGFG2 2，则线段，则线段AEAE的长度为的长度为( )( )A A6 B6 B8 C8 C10 D10 D1212【分析分析】 根据正方形的性质可得出根据正方形的性质可得出ABCDABCD，进而可得，进而可得ABFABFGDFGDF，根据相似三角形的性质可得出，根据相似三角形的性质可得出 2 2，结合，结合FGFG2 2可求可求AFAF、AGAG长度，由长度，由CGABCGAB、ABAB2CG2CG可得出可得出CGCG为为EABEAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AEAE的长度，此的长度，此题得解题得解AFGFABGD【自主解答自主解答】 四边形四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，ABABCDCD，ABCDABCD，ABFABFGDFGDF， 2 2，AFAF2GF2GF4 4，AGAG6 6，CGABCGAB，ABAB2CG2CG，CGCG为为EABEAB的中位线，的中位线，AEAE2AG2AG12.12.AFGFABGD1 1(2018(2018荆门荆门) )如图，四边形如图，四边形ABCDABCD为平行四边形，为平行四边形，E E、F F为为CDCD边的两个三等分点，连接边的两个三等分点，连接AFAF、BEBE交于点交于点G G，则，则S SEFGEFGSSABGABG( )( )A A13 B13 B3131C C19 D19 D9191C C2 2(2018(2018达州达州) )如图，如图，E E，F F是平行四边形是平行四边形ABCDABCD对角线对角线ACAC上上两点，两点，AEAECFCF ACAC，连接，连接DEDE，DFDF并延长，分别交并延长，分别交ABAB，BCBC于于点点G G，H H，连接，连接GHGH，则，则 的值为的值为( )( )14ADGBGHSSC C命题角度命题角度斜交型斜交型例例2 2(2013(2013安徽节选安徽节选) )我们把由不平行于底边的直线截等腰我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形准等腰梯形”如图如图1 1，四边形四边形ABCDABCD即为即为“准等腰梯形准等腰梯形”，其中，其中B BC.C.(1)(1)在图在图1 1所示的所示的“准等腰梯形准等腰梯形”ABCDABCD中，选择合适的一个顶中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形点引一条直线将四边形ABCDABCD分割成一个等腰梯形和一个三角分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形形或分割成一个等腰三角形和一个梯形( (画出一种示意图即画出一种示意图即可可) )；(2)(2)如图如图2 2，在，在“准等腰梯形准等腰梯形”ABCDABCD中，中，B BC C，E E为边为边BCBC上上一点，若一点，若ABDEABDE，AEDC.AEDC.求证：求证： . .ABDCBEEC【分析分析】 (1) (1)根据条件根据条件B BC C和梯形的定义就可以画出图和梯形的定义就可以画出图形；形；(2)(2)根据平行线的性质就可以得出根据平行线的性质就可以得出DECDECB B，AEBAEBC C，就可以得出，就可以得出ABEABEDECDEC，由相似三角形的性质就可，由相似三角形的性质就可以得出结论以得出结论【自主解答自主解答】(1)(1)解：如解图，过点解：如解图，过点A A作作AECDAECD交交BCBC于点于点E E，或过点或过点D D作作DFBCDFBC交交ABAB于点于点F F，或过点，或过点D D作作DGABDGAB交交BCBC于点于点G G；(2)(2)证明：证明：ABDEABDE，AEDCAEDC，AEBAEBC C，DECDECB B，ABEABEDECDEC， B BC C，DECDECC C，DEDEDCDC，,ABBEDEEC.ABBEDCEC总结：总结： 相似三角形性质的几个应用相似三角形性质的几个应用(1)(1)利用相似三角形对应角相等计算角的度数利用相似三角形对应角相等计算角的度数(2)(2)利用相似三角形对应线段成比例确定已知线段和未知线利用相似三角形对应线段成比例确定已知线段和未知线段的关系，建立方程求出未知线段的长或解决与比例式段的关系，建立方程求出未知线段的长或解决与比例式( (等等积式积式) )有关的证明问题有关的证明问题(3)(3)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比求三角形的面积或周长于相似比求三角形的面积或周长命题角度命题角度垂直型垂直型例例3 3(2017(2017安徽节选安徽节选) )已知正方形已知正方形ABCDABCD，点，点M M为边为边ABAB的中点的中点如图，点如图，点G G为线段为线段CMCM上的一点，且上的一点，且AGBAGB9090，延长，延长AGAG，BGBG分别与边分别与边BCBC，CDCD交于点交于点E E，F.F.求证：求证：BEBECFCF；求证：求证：BEBE2 2BCBCCE.CE.【分析分析】 由正方形的性质知由正方形的性质知ABABBCBC，ABCABCBCFBCF9090，ABGABGCBFCBF9090，结合，结合ABGABGBAGBAG9090可得可得BAGBAGCBFCBF，从而根据，从而根据ABEABEBCFBCF得出结论；由点得出结论；由点M M是是RtRtABGABG斜边斜边ABAB中点知中点知MGMGMAMAMBMB，即，即GAMGAMAGMAGM，结，结合合CGECGEAGMAGM，GAMGAMCBGCBG知知CGECGECBGCBG，从而证，从而证CGECGECBGCBG得得CGCG2 2BCBCCECE，由，由BEBECFCFCGCG可得答案可得答案【自主解答自主解答】证明：证明：四边形四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，ABABBCBC，ABCABCBCFBCF9090，又又AGBAGB9090，BAEBAEABGABG9090，又又ABGABGCBFCBF9090，BAEBAECBF.CBF.ABEABEBCF(ABCF(AS SA)A)，BEBECFCF； AGBAGB9090，点，点M M为为ABAB的中点，的中点，MGMGMAMAMBMB，GAMGAMAGM.AGM.GAMGAMCGECGE，CGECGECBGCBG，又又ECGECGGCBGCB，CGECGECBG.CBG. ，即，即CGCG2 2BCBCCECE，CFGCFGGBMGBMBGMBGMCGFCGF，CFCFCGCG，由知，由知，BEBECFCF，BEBECGCG，BEBE2 2BCBCCE.CE.CECGCGCB总结：总结： 判定相似三角形的常用方法判定相似三角形的常用方法(1)(1)条件中若有平行线，可采用找角相等证两三角形相似的条件中若有平行线，可采用找角相等证两三角形相似的方法方法(2)(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角或找此角的两边条件中若有一对等角，可再找一对等角或找此角的两边对应成比例对应成比例(3)(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等(4)(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例边、直角边对应成比例(5)(5)条件中若有等腰关系，可找顶角相等，或找底角相等，条件中若有等腰关系，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例或找底和腰对应成比例