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三节平面向量的数量积1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.知识梳理一、平面向量的数量积的定义1向量a，b的夹角：已知两个非零向量a，b，过点O作a，b，则AOB(0180)叫做向量a，b的夹角当且仅当两个非零向量a，b同方向时，0，当且仅当a，b反方向时，180，同时零向量与其他任何非零向量的夹角是任意的2a与b垂直：如果a，b的夹角为90，则称a与b垂直，记作ab.3a与b的数量积：两个非零向量a，b，它们的夹角为，则cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即abcos ，规定0a0，非零向量a与b当且仅当ab时，90，这时ab0.4b在a方向上的投影：|OP|cos R(注意是射影)5ab的几何意义：ab等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积二、平面向量数量积的性质设a，b是两个非零向量，e是单位向量，于是有：1eaaecos .2abab0.3当a与b同向时，ab；当a与b反向时，ab，特别地，aaa22，即|a|.4cos .5.三、平面向量数量积的运算律1交换律成立：abba.2结合律成立：ba(R)3分配律成立：cacbcc.四、平面向量数量积的坐标表示1若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.2若a(x，y)，则|a|2aax2y2，.3若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则.4若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.5若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.6若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos . 基础自测1(2013辽宁卷)已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量AB同方向的单位向量为()A. B.C. D.解析：(4，1)(1,3)(3，4)，与同方向的单位向量为.答案：A2(2013佛山一模)已知a(1,2)，b(0,1)，c(k，2)，若(a2b)c，则k()A2 B2 C8 D8解析：a(1,2)，b(0,1)，a2b(1,4)，又因为(a2b)c，所以(a2b)ck80，解得k8，故选C.答案：C3(2013山东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知(1，t)，(2,2)，若ABO90，则实数t的值为_解析：因为ABO90，即，所以()(3,2t)(2,2)642t0，解得：t5.答案：54已知平面向量，1，2，(2)，则的值是_答案：1(2013陕西卷)设a，b为向量，则“|ab|a|b|”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：ab|a|b|cos .若|ab|a|b|cos 1，则向量a与b的夹角为0或，即ab为真；相反，若ab，则向量a与b的夹角为0或，即|ab|a|b|.答案：C2(2013福建卷)在四边形ABCD中，(1,2)，(4,2)，则该四边形的面积为()A. B2 C5 D10解析：因为1(4)220，所以，所以四边形的面积为5，故选C.答案：C高考测验1(2012广州一模)已知两个非零向量a与b，定义|ab|a|b|sin ，其中为a与b的夹角若a(3,4)，b(0,2)，则|ab|的值为()A8 B6 C8 D6解析：由已知可得|a|5，|b|2，则cos ，sin .|ab|a|b|sin 526.故选D.答案：D2(2013韶关二模)已知平面向量a，b，|a|1，|b|2，a(ab)；则cosa，b的值是_解析：由题意可得a(ab)a2ab0，即112cosa，b0，解得cosa，b.答案：
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