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作作 业业 5-1、5-3、5-5、5-7 、 5-9、5-11、5-13、5-14、 5-16(1)电线上下交替出电线上下交替出现周期性作用力现周期性作用力vv防振錘防振錘mk21 钢铰线钢铰线重锤重锤T. rex footprintsHow fast was Tyrannosaurus rex traveling?机械振动机械振动: x (位移位移) ; (角位移角位移)电磁振荡电磁振荡: q(电量电量); i(电流电流); u(电压电压); (电场强度电场强度); (磁场强度磁场强度)EH机械振动、机械波与电磁振荡、电磁波本质不同机械振动、机械波与电磁振荡、电磁波本质不同,但有但有相同概念相同概念(振幅、频率、周期、相位、波长等振幅、频率、周期、相位、波长等), 有相同有相同特征及相同的数学表达式。特征及相同的数学表达式。机械振动机械振动电磁振荡电磁振荡振动振动力学量力学量电磁量电磁量机械波机械波电磁波电磁波波动波动 任一物理量在某个值附近任一物理量在某个值附近 随时间周期性地随时间周期性地反复变化反复变化物体在一定位置附近物体在一定位置附近来回往复的运动来回往复的运动(3)(4)5.1.1 简谐运动简谐运动5.1.2 简谐运动的描述方法简谐运动的描述方法5.1.1 简谐运动简谐运动(the simple harmonic motion)1.简谐运动的定义简谐运动的定义定义一定义一( (动力学动力学):):物体在跟位移物体在跟位移(角位移角位移)成正比、方向总是指向平衡位成正比、方向总是指向平衡位置的置的回复力回复力作用下的运动称为作用下的运动称为简谐运动。简谐运动。(5)kxF作简谐运动的条件作简谐运动的条件: 回复力、惯性回复力、惯性单摆单摆:xlmgmgmgf sint回复力回复力(准弹性力准弹性力)与角位移成正比指向平衡位置与角位移成正比指向平衡位置O约定约定: 取循逆时针的转向为正方向取循逆时针的转向为正方向, 即即 0弹簧振子弹簧振子: :回复力回复力(弹性力弹性力)与位移成正比指向平衡位置与位移成正比指向平衡位置OxOmgTlO ftx定义二定义二(运动学运动学):xxmktx222 dd)cos( tAx物体离开平衡位置的物体离开平衡位置的(角角)位移随时间按余弦规律变化位移随时间按余弦规律变化时时, 这样的运动称为这样的运动称为简谐运动。简谐运动。(6)1)坐标原点是否可以任意选取坐标原点是否可以任意选取?2)小球在地上做完全弹性跳动是否为简谐运动小球在地上做完全弹性跳动是否为简谐运动?微分方程的解微分方程的解:其中其中A, 由初始条件决定。由初始条件决定。单摆单摆: 222lgt dd弹簧振子弹簧振子:)cos( tAx, t令令 2=k/m令令 2=g/l2.简谐运动的速度和加速度简谐运动的速度和加速度简谐运动的速度简谐运动的速度)2cos()sin(ddmax ttAtxvv(7)A maxv速度最大值速度最大值: :简谐运动的加速度简谐运动的加速度)cos()cos(ddmax2 tatAtvaAa2max 加速度的最大值加速度的最大值:x, v, a tx-t)cos( tAx3.描述简谐运动的物理量描述简谐运动的物理量振幅振幅(amplitude)A：离开平衡位置的：离开平衡位置的最大位移最大位移(m)周期周期(period)T ：完成一个全振动所需时间完成一个全振动所需时间(s)频率频率(frequency) ：每秒内完成全振动次数：每秒内完成全振动次数(Hz)角频率角频率(angular frequency) ： 2 秒内完成全振动的次数秒内完成全振动的次数(rad/s)T22 (8) 、 、T 由什么决定由什么决定? ?弹簧振子弹簧振子: :mk kmT2OA- -ATxt)cos( tAx相位相位(phase)(重要量重要量): ( t + )相位既能够决定物体的振动状态相位既能够决定物体的振动状态(x,v),又能够体现振又能够体现振动周期性的特点。动周期性的特点。lg glT2 , ,T由振动系统固有性质决定与初始条件无关由振动系统固有性质决定与初始条件无关 (9) ( t + )=0, /2, 3 /2的振动状态如何的振动状态如何?单摆单摆: :)sin(dd tAtxv)cos( tAx物体振动状态物体振动状态: :初相位初相位(initial phase): t=0(开始计时开始计时)时的相位时的相位由初始条件决定由初始条件决定 cos0Ax sin0AvxAAo02/2/0 记住这幅图记住这幅图, ,定会一目了然定会一目了然! !xt0 xt2/ xt xt2/ mlv0例例: t = 0 l 0v0 = 0(10)* *拉开的角度拉开的角度0 不是初相不是初相22002Axv100tan()vx相位差相位差(phase difference): )cos(111 tAx)cos(222 tAx1212)()( tt 2k ,.2, 1, 0k同相同相(inphase)12(k ,.2, 1, 0k反相反相(antiphase) 0振动振动“2”超前振动超前振动“1” 0振动振动“2”落后振动落后振动“1”(11)xto用来比较两个或两个以上的简谐运动是否同步。用来比较两个或两个以上的简谐运动是否同步。 5.1.2 简谐运动的描述方法简谐运动的描述方法(The description of simple harmonic motion)1.方程方程: )cos( tAx(12)kxFxtx222 dd运动学方程运动学方程:动力学方程动力学方程:2.振动图线振动图线: x-t 图图xtba不同态不同态vavbc同态同态abc分析分析比较比较A- -AT3.旋转矢量旋转矢量(rotational vector)(相量图相量图):)cos( tAx(13)OxP t + 参考圆参考圆 At=0t振幅矢量振幅矢量 以匀角速度以匀角速度 绕绕O点点逆时针转动逆时针转动。A振幅矢量振幅矢量 在在x轴上的投影轴上的投影点点P作作简简谐谐运运动动:A振幅振幅A:A角频率角频率 : 的角速度的角速度初相位初相位 : t=0时时, 与与x 轴夹角轴夹角相位相位( t + ): t 时刻时刻, 与与x 轴夹角轴夹角AAA用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图tx (14)旋转矢量常用于旋转矢量常用于: : 1)确定简谐运动的初相位确定简谐运动的初相位2)比较二个简谐运动的相位差比较二个简谐运动的相位差3)简谐运动的合成简谐运动的合成(15)1)有了方程会画有了方程会画x-t 图图2)有了图会写有了图会写振动振动方程方程(关键确定关键确定A、T、 、 )3)比较相位差比较相位差 熟练掌握熟练掌握例例1: 己知振动图写出振动方程己知振动图写出振动方程4-2x(cm)t(s)O2解解: 设振动方程为设振动方程为)cos( tAx如图可知如图可知:A= 4cm初相位初相位 和角频率和角频率 可利用可利用旋转矢量法来求旋转矢量法来求Ox右图知右图知t =2s时时,旋转矢量位于旋转矢量位于p2 , 旋转矢量旋转矢量由由p1到到p2转过的弧度为转过的弧度为7 /6, 历时历时2s,右图可知右图可知 = 4 /3或或 -2 /3)cos(432127txp1p2 t = 7 /6 = 7 /12 rad/s(16) 例例2: 一弹簧原长一弹簧原长50cm,上端固定上端固定,下端挂一质量下端挂一质量m=100g的的砝码砝码,砝码静止时弹簧长为砝码静止时弹簧长为60cm,若手托砝码使弹簧回到若手托砝码使弹簧回到原长原长,突然放手突然放手,砝码上下运动。砝码上下运动。1)证证砝码作简谐振动砝码作简谐振动; 2)求求 ; 3)放手时开始计时放手时开始计时,振动方程振动方程?解解: 1) 砝码在任一位置砝码在任一位置 x 处受合力处受合力xmktx22dd(17)mk F= -kx 砝码做简谐振动砝码做简谐振动2) F= -kx = maF=mgk(x+x0) 又又mg=kx0N/m8 . 910)5060(8 . 910100230 xmgk又又xOx0 x弹簧原长弹簧原长rad/s27mk 3)用初始条件用初始条件(t=0时时, x=-x0, v0=0)求振幅求振幅:22002()10cmAxv用旋转矢量法求初相位用旋转矢量法求初相位: = x)27cos(10tx(18)1)若在平衡位置向若在平衡位置向x轴反方向运动为开始计时轴反方向运动为开始计时, 振动方程如何振动方程如何?2)若坐标原点选在弹簧自然长度处若坐标原点选在弹簧自然长度处, 动力学和运动学方动力学和运动学方 程如何程如何?)(2 )27cos(10),(00txxxxkF例例3:一弹簧竖直悬挂一弹簧竖直悬挂,当下端挂当下端挂1g物体时伸长物体时伸长4.9cm;改挂改挂8g物体从平衡位置向下拉物体从平衡位置向下拉1cm,并给予向上速度并给予向上速度5cm/s ; 求求: x轴向上取和向下取时的振动方程轴向上取和向下取时的振动方程? 解解: m1=1g, x1=4.9cm, m2=8g, 11kxgmN/m2 . 0109 . 48 . 9102311xgmkrad/s 51082 . 032mk 1)x轴向上取轴向上取: t=0时时, x0= -1cm, v0=5cm/s(19)xO0 xx22020 vxAcm255)1(2221)1(55tan00 x v4/3 )435cos(2tx2) x轴向下取轴向下取: t=0时时, x0=1cm, v0= -5cm/s22020 vxAcm24/ )45cos(2tx(20)x-1cmx1cm4 秒内树枝来回摆了秒内树枝来回摆了 6 次，等鸟飞走了以后，用次，等鸟飞走了以后，用 1 千千克的砝码系在细枝上，测出树枝弯下了克的砝码系在细枝上，测出树枝弯下了12 厘米，算出厘米，算出这只鸟的质量是这只鸟的质量是 920 克，怎么算的？克，怎么算的？Hz 5 . 146 srad 32-1 mN 7 .8112. 08 . 91-1 k g 9202 km(21)看成简谐振动来处理看成简谐振动来处理kxF mk 2 The walking speed of Tyrannosaurus rex can be estimated from its leg length L=3.1 m and its stride length S=4.0 m.s 9 . 2322 gLThkm 5.0 sm 4 . 1:speedTSvLg23 leg length Lstride length SCompound pendulum(复复摆摆)mgChO mghM JmghJMt 22dd 222dd tJmgh (22)The leg of T. rex is regarded as the even compound pendulum. 1.势能：势能：)(cos2121222 tkAkxEp2max21kAEp势能、动能最大值势能、动能最大值2.动能：动能：)(sin21212222 tAmmEkv)(sin2122 tkAEk2max21kAEkEp,Ek随时间周期性变化随时间周期性变化变化范围变化范围2210kA变化频率变化频率2 (23)以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例, , 取在平衡位置的势能为零取在平衡位置的势能为零3.总能量：总能量：221kAEEEkp总能量不随时间变化总能量不随时间变化2AE 总能量正比于振幅平方总能量正比于振幅平方振幅振幅A由简谐运动的总能量决定由简谐运动的总能量决定pEkEtOpEkE(24)Exto(机械能守恒机械能守恒)xOEA-AxkEpEpE m解解: :系统系统( (水银和地球水银和地球) )机械能守恒机械能守恒ySgyEp 221tymEkddconst.ddSgytym2221 对对 t 求导求导,得得0222ymSgty ddmSg 22SgmT 22(25)例例5: 水银水银(m, )装在装在U型管内型管内,管的截面积为管的截面积为S, 如二边水银面如二边水银面高度不同水银面上下振动高度不同水银面上下振动(忽略忽略摩擦摩擦), 求求振动周期振动周期T ?势能零点势能零点SyyOy液体作简谐振动液体作简谐振动例例6: 如图所示如图所示,小车小车(M)在水平桌面上作简谐振动在水平桌面上作简谐振动,振幅振幅为为A, 当小车经过平衡位当小车经过平衡位O点时质量为点时质量为m的油泥落入车内的油泥落入车内;问问: 1)系统系统的圆频率的圆频率有何变化有何变化? 2)振幅有何变化振幅有何变化? 3)初相位初相位有何变化有何变化? 解解:1)系统系统的圆频率由系统结构决定的圆频率由系统结构决定 与运动状态无关与运动状态无关Mk 系统新圆频率系统新圆频率:Mmk (26)系统原系统原圆频率圆频率:Oxmk1k2取平衡位置为原点取平衡位置为原点,当小车有位移当小车有位移x时时,所受合外力所受合外力: F = -k1(x1+x) + k2 (x2-x) = - (k1+k2) x = - k x , k=k1+k2小车在平衡位置时小车在平衡位置时,两弹簧伸长分别为两弹簧伸长分别为x1和和 x2 k1x1=k2x22)振幅由系统的总能量状态决定振幅由系统的总能量状态决定 或利用初始条件计算或利用初始条件计算maxmax)(vvmMMmaxmaxvvmMM(27)对小车、油泥和弹簧系统对小车、油泥和弹簧系统, 水平方向动量守恒水平方向动量守恒:2max2max2)(21)(2121vvmMMmMmMAkmMMkAmMMM22max2121vAAmMMAOxmk1k2或或: max2max20)(vvxAAAmMMmMM maxv(28)当小车经过当小车经过最大位移最大位移时时,油泥落入车内如何油泥落入车内如何?3)初相位由坐标系初相位由坐标系(x和和t)的选取方式决定的选取方式决定初相位不变初相位不变 5.3.1 同一直线上的简谐运动的合成同一直线上的简谐运动的合成*5.3.2 互相垂直的简谐运动的合成互相垂直的简谐运动的合成 (29)设质点同时参与二个同一直线上同频率的谐振动设质点同时参与二个同一直线上同频率的谐振动)cos(111 tAx)cos(222 tAx1)三角函数运算三角函数运算: :合位移合位移:21xxx(30)设振动的直线为设振动的直线为x轴轴,质点的平衡位置为原点质点的平衡位置为原点,在在 t 时刻时刻:5.3.1 同一直线上的简谐运动的合成同一直线上的简谐运动的合成(Composition of simple harmonic motions along a straight line)1.同一直线上同频率的简谐运动的合成同一直线上同频率的简谐运动的合成 (Composition of simple harmonic motions along a straight line with same frequency)cos()cos(2211 tAtAx222111sinsincoscossinsincoscos ttAttAtAAtAA sinsinsincoscoscos22112211令令: coscoscos2211AAA sinsinsin2211AAA(1)(2)由由(1),(2)得得)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintan AAAA)cos( tAx合振动仍是简谐运动合振动仍是简谐运动(31)2)旋转矢量法旋转矢量法: :旋转矢量旋转矢量 分别分别表示二个谐振动表示二个谐振动,1A2A以以A1, A2为邻边作平行四边为邻边作平行四边形形,对角线对角线 表示合振动的表示合振动的旋转矢量旋转矢量A合振动合振动:)cos( tAx)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintan AAAA合振动角频率为合振动角频率为: (32)xO1A2AAxx2x2x1t=txO1A2A1 2 At=0tooxx212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT（1）相位差相位差212k), 2 1 0( ，k)cos(212212221 AAAAA讨论讨论(33)xtoox)cos()(12tAAxT2A21AA（2）相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，k21AAA)12(12k)cos(212212221 AAAAA讨论讨论(33)例例7: 一质点同时参与二个同方向同频率的谐振动一质点同时参与二个同方向同频率的谐振动)6/2cos(41tx)6/52cos(32tx求求: : 合运动方程合运动方程, , 画画x x- -t t 图图解解: :)cos(212212221 AAAAA1)6/6/5cos(342342222112211coscossinsintan AAAA316/ )6/2cos(tx / t1226TTxtOA-ATx(34)xA1x1tA2-A2-A1x2T例例8: 两个同方向、同频率两个同方向、同频率谐振动曲线如图所示谐振动曲线如图所示,求求: 合振动振幅合振动振幅? 合振动的振动方程合振动的振动方程?解解: 用旋转矢量法用旋转矢量法合振幅合振幅A:12AAAx振动方程振动方程:)22cos(12tTAAx讨论讨论: 若若12AA )22cos(12tTAAx(35)1A2AA合振动曲线合振动曲线例例9: N个同方向、同频率的简谐振动个同方向、同频率的简谐振动,它们的振幅相它们的振幅相等等,初相分别为初相分别为 0, , 2 振动表达式可写为振动表达式可写为求求: :合振动的振幅和初相。合振动的振幅和初相。tax cos1)cos(2 tax)1(cos NtaxN),2cos(3 tax解解: 用旋转矢量法用旋转矢量法, 可以避免繁可以避免繁 杂的三角函数运算杂的三角函数运算xO1aP 2aQ 3a 4a NaMACR N N个同方向、同频率、个同方向、同频率、等幅简谐振动等幅简谐振动(t=0时时)的旋转矢量的合成图的旋转矢量的合成图OCM中中2sin2 NRA2sin2 Ra aaaN1OCP中中(36)于是得到合振幅于是得到合振幅: 21COMCOP N)cos()cos(212sin2sin NNtatAx式中式中 为为t=0时时, A与与x轴间的夹角轴间的夹角, 就是合振动的初相。就是合振动的初相。最后求得合振动的表达式为最后求得合振动的表达式为)N( COM21)( COP21(37)22sinsin NaA xO1aP 2aQ 3a 4a NaMACR N 1)各分振动同相各分振动同相,即即 = 2k , k=0,1,2,NaaANk2sin2sin2lim 合振幅最大合振幅最大如如: N=10, k=0, 则则 = 0, = 0, A=10a 5a4a3a2a1a10a9a8a7a6aA2)各分振动的初相差各分振动的初相差 = 2k /N, k Nk 的整数的整数0)/sin(sinNkkaA如如:N=10, k =1,则则 = /5, A=0各分振幅矢量依次首尾相连各分振幅矢量依次首尾相连构成一个闭合的正多边形。构成一个闭合的正多边形。(38)合振幅最小合振幅最小x2.同一直线上不同频率的简谐运动的合成同一直线上不同频率的简谐运动的合成 (Composition of simple harmonic motions along a straight line with different frequency)设质点同时参与二个同一直线上不同频率谐振动设质点同时参与二个同一直线上不同频率谐振动)cos(11 tAx)cos(22 tAxt )(12 (39)xOAA tA2cos212 21xxx )2cos(2cos21212 ttA合振动为合振动为合振动不是简谐运动。合振动不是简谐运动。两个同方向不同频率简谐运动的合成两个同方向不同频率简谐运动的合成拍拍(beat)与拍频与拍频(beat frequency ):12 二者相差很小二者相差很小, 且且 1 、 2都很大时都很大时合振幅随时间发生周期性变化的现象称为拍现象。合振幅随时间发生周期性变化的现象称为拍现象。拍频拍频 :单位时间内合振动加强单位时间内合振动加强(或减弱或减弱)的次数。的次数。12121222)2(212 应用应用: 1)校准乐器。校准乐器。 2)双簧管利用两个簧片振动频率的微小差别制造颤动双簧管利用两个簧片振动频率的微小差别制造颤动 的拍音。的拍音。 3)拍现象常用于高速公路车速监视器。拍现象常用于高速公路车速监视器。(40)2cos(2cos21212 ttAx例例10: 当两个同方向的简谐振动合成为一个振动时当两个同方向的简谐振动合成为一个振动时,其其振动表达式为振动表达式为x=Acos2.1t cos50t ,式中式中t以以s为单位。为单位。求求: 各分振动的角频率和合振动的拍的周期。各分振动的角频率和合振动的拍的周期。解：解：由合振动表示式可知由合振动表示式可知1 . 2212 50212 解得解得rad/s 9 .471 rad/s 1 .522 合振动的拍的周期为合振动的拍的周期为1.5s-212 拍拍T(41)xyxy *5.3.2 相互垂直的简谐运动的合成相互垂直的简谐运动的合成 (Composition of simple harmonic motions of mutually perpendicular directions)1.垂直方向、同频率的简谐运动的合成垂直方向、同频率的简谐运动的合成1A2AtAx cos1)2cos(2tAy (42)1)分振动分振动2)合运动合运动)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx合运动一般是在合运动一般是在 2A1 ( x向向 )、2A2 ( y向向 )范围内的范围内的 一个椭圆。一个椭圆。椭圆的性质椭圆的性质 (方位、长短轴、左右旋方位、长短轴、左右旋 ) 在在 A1 、A2确定之后确定之后, 主要决定于主要决定于 = 2 1 (43)cos(11 tAx)cos(22 tAy(44) = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 = 0 = = /2 = 3 /4Q = /4P右旋右旋左旋左旋例例11: 如图为两相互垂直、频率相同的谐振动合成如图为两相互垂直、频率相同的谐振动合成的图形的图形, 已知已知x方向的振动方程为方向的振动方程为x=6cos2 t 求求 y方向的振动方程方向的振动方程xyO96解解: 设设)cos( tAyxyO962, 9 A2 (45)xy2.垂直方向、不同频率简谐振动的合成垂直方向、不同频率简谐振动的合成(1) 两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小: 轨迹为轨迹为李萨如图李萨如图(Lissajous figure)yxA1A2o-A2- A1(2)两振动的频率成两振动的频率成整数比整数比:1212)( t 可看作两频率相等而可看作两频率相等而 随随 t 缓慢变化缓慢变化 合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化2/3/xy 4/, 012 怎样根据李萨如图形怎样根据李萨如图形, , 判断频率之比判断频率之比? ?(46)振动基本要求振动基本要求1.理解掌握简谐运动的概念、三个特征量的意义及决理解掌握简谐运动的概念、三个特征量的意义及决 定因素定因素, 熟练掌握简谐运动的三种描述方法熟练掌握简谐运动的三种描述方法, 学会用学会用 不同形式的数学模型来描述同一物理现象。不同形式的数学模型来描述同一物理现象。2.理解掌握简谐运动的运动学特征、动力学特征和能理解掌握简谐运动的运动学特征、动力学特征和能 量特征量特征, 学会判定物体是否作简谐运动。学会判定物体是否作简谐运动。3.掌握同频率、同方向简谐运动的合成规律。掌握同频率、同方向简谐运动的合成规律。4.了解两个同频率、相互垂直简谐运动的合成了解两个同频率、相互垂直简谐运动的合成, 知道知道 李萨如图形。李萨如图形。(47)简谐运动简谐运动简谐运动的特征简谐运动的特征运动学特征运动学特征: a=- 2x能量特征能量特征: E=Ek+Ep=kA2/2动力学特征动力学特征: F=-kx简谐运动的物理量简谐运动的物理量振幅振幅:A相位相位: t+ , 初相初相: 周期周期:T,频率频率: ,角频率角频率: =2简谐运动的描述法简谐运动的描述法解析法解析法: 位移位移 x=Acos( t+ )振动曲线法振动曲线法旋转矢量法旋转矢量法简谐运动的合成简谐运动的合成同频率、同方向的合成同频率、同方向的合成两同频率、相互垂直的合成两同频率、相互垂直的合成知识网络知识网络
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