偏微分方程数值解高教课堂

偏微分方程数值解偏微分方程数值解(Numerical Solution of Partial Differential Equations)主讲：王曰朋主讲：王曰朋1详细课资参考数目1. George J. Haltiner, Roger Terry Williams, Numerical Prediction and Dynamic Meteorology(2nd Edition), the United States of America, 1979.2. Curtis F.Gerald and Patrick O., Applied Numerical Analysis, Person Education, Inc., 2004.3. Eugenia Kalnay, Atmospheric Modeling, Data Assimilation and Predictability, the press Syndicate of the University of Cambridge,2003.4. Arieh Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press,1996.5. 李荣华，冯国忱. 微分方程数值解. 北京：人民教育出版社，1980.6. 徐长发，李红. 实用偏微分方程数值解法. 华中科技大学出版社，2003.7. 沈桐立，田永祥等. 数值天气预报. 北京：气象出版社，2007.2详细课资数值天气预报PDE数值解1. 挪威气象学家V.Bjerknes（1904）提出数值预报的思想：通过求解一组方程的初值问题可以预报将来某个时刻的天气思想；2. L.F.Richardson(1922)：开创了利用数值积分进行预报天气的先例，由于一些原因（如，计算稳定性问题“Courant,1928”）并没有取得预期的效果尝试；3. Charney, Fjortoft, and Von Neumann(1950), 借助于Princeton大学的的计算机(ENIAC)，利用一个简单的正压涡度方程（C.G.Rossby,1940）对500mb的天气形式作了24小时预报-成功；3详细课资The Electronic Numerical Integrator and Computer (ENIAC).4详细课资常微分方程的数值解大气科学中常微分方程和偏微分方程的关系 1. 大气行星边界层(近地面具有湍流运动特性的大气薄层,11.5km), 埃克曼（V.W.Ekman）（瑞典）螺线的导出； 2. 1963年，美国气象学家Lorenz在研究热对流的不稳定问题时，使用高截断的谱方法，由Boussinesq流体的闭合方程组得到了一个完全确定的三阶常微分方程组，即著名的Lorenz系统。5详细课资Lorenz系统dx / dt = a (y - x) dy / dt = x (b - z) - y dz / dt = xy - c z 其中，a=10,(Prandtl number); b=28(Rayleigh number); c=8/3; (x,y,z)_0=(0.01;0.01;1e-10)6详细课资05101520253035404550-30-20-10010203040507详细课资-20020-30-20-100102030010203040508详细课资9详细课资10详细课资Franceshini 将Navier-Stokes方程截断为五维的截谱模型如下：112345221 33312441655142449357Re53xxx xx xxxx xxxx xxxx xxxx x = -+= -+ = -+= -= - 11详细课资欧拉法折线法 常微分方程能直接进行积分的是少数，而多数是借助于计算机来求常微分方程的近似解； 有限差分法是常微分方程中数值解法中通 常有效的方法； 建立差分算法的两个基本的步骤： 1. 建立差分格式，包括：a. 对解的存在域剖分；b. 采用不同的算法可得到不同的逼近误差截断误差（相容性）；c.数值解对真解的精度整体截断误差（收敛性）；d.数值解收敛于真解的速度；e. 差分算法舍人误差（稳定性）.12详细课资2.差分格式求解将积分方程通过差分方程转化为代数方程求解，一般常用递推算法。 在常微分方程差分法中最简单的方法是Euler方法，尽管在计算中不会使用，但从中可领悟到建立差分格式的技术路线，下面将对其作详细介绍:13详细课资差分方法的基本思想“就是以差商代替微商”23( )1111()( )( )( )( )( )()2!3!nnnu thu tu t hu t hut hut hO hn23( )1111()( )( )( )( )( )()2!3!nnnu thu tu t hu t hut hut hO hn考虑如下两个Taylor公式：（1）（2）从（1）得到：1()( )( )( )iiiu tu tu tO hh14详细课资从（2）得到：1()( )( )( )iiiu tu tu tO hh211()()( )()2iiiu tu tu tO hh从（1）-（2）得到：从（1）+（2）得到：2112()2 ( )()( )()iiiiu tu tu tu tO hh15详细课资对经典的初值问题0( , )(0)duf t udtuu(0, )tT1212( ,)( ,)f t uf t uL uu满足Lipschitz条件保证了方程组的初值问题有唯一解。16详细课资一、算法构造：0tuTnt0tit1iitth1. 在求解域上等距离分割：2. 在 有：1 ,iit t1()( )( , )( )iiu tu tf t uO hh1( ,)iiiiuuf t uh1( ,)iiiiuuhf t u微分方程的精确解差分方程的精确解17详细课资3. 应用时采用如下递推方式计算：0u1u2u3u0t1t2t4. 例题对初值问题2(0)1yxyy (0,1)x5,N 0.2h 用Euler法求解，用即，001111223334445(,)1.000,1.200;( ,)1.600,1.520;(,)2.320,1.984;(,)3.184,2.621;(,)4.221,3.465f xyyf x yyf xyyf xyyf xyy18详细课资5. Euler法的几何意义0t0tit1iitth在递推的每一步，设定( )iiu tu1()iu t1iu2()O h( )iu t( ),iiu tu过点( ,)iit u作 的切线，该切线的( )u t方程为：11( )()iiiiiuuu ttt即：1( ,)iiiiuuhf t u19详细课资二、误差分析构造算法后，这一算法在实际中是否可行呢？也就是说是否使计算机仿真而不失真，这还需要进一步分析。1. 局部截断误差-相容性为了分析分析数值方法的精确度，常常在( )iiuu t成立的假定下，估计误差111()iiieu tu这种误差称为“局部截断误差”，如图。21()( )( )( )2iiihu tu thu tu2( )( , ( )( )2iiihu thf t u tu22111()( )()2iiiheu tuuO h局部截断误差是以点it的精确解( )iu t为出发值，用数值方法推进到下一个点1it而产生的误差。20详细课资整体截断误差是以点0t的初始值0u为出发值，用数值方法推进i+1步到点1it，所得的近似值 与精确值 的偏差：2.整体截断误差收敛性1iu1()iu t111()iiiu tu称为整体截断误差。1( ,)iiiiuuhf t u11()( )( , ( )iiiiiu tu thf t u te21 ( , ( )( ,)iiiiiih f t u tf t uDh21iiihLDh12210(1)1 (1)(1)(1) iiihLDhhLhLhL2110(1)(1)1iiDhhLhLhL21详细课资0(1)TLTLDheeL特例，00若不计初始误差，即则1(1)TLiDheL1( )iO h即3.舍入误差稳定性假设一个计算机仅表示4个数字（小数点后面）， 那么10.3333,310.11119计算20.373410.1112011119110.33340.33333xxx20.33341190.6667133xxxx22详细课资我们的要求是：最初产生的小误差在以后的计算中虽然会传递下去，但不会无限制的扩大，这就是稳定性所描述的问题。下面引进稳定性的概念：设由初值0u0v得到精确解 ，nu由初值得到精确解 ，nv若存在常数C和充分小的步长0h使得00nnuvC uv则称数值方法是稳定的。tu00u0vntnunv23详细课资2(0)1dyxydxyy计算例题(0,1)x其解析解为：12yxx = 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000y = 1.0000 1.2000 1.3733 1.5315 1.6811 1.826924详细课资00.10.20.30.40.50.60.70.80.9111.11.21.31.41.51.61.71.81.9xy25详细课资三、改进的Euler法将微分方程( )(, ( )u tf t ut在区间1 ,iit t上积分，得到11()( )( , ( )iitiitu tu tf t u t dt用梯形法计算积分的近似值，有1111( , ( ) ( , ( )(, ()2iitiiiitf t u t dtf t u tf tu t于是1111()( ) ( , ( )(, ()2iiiiiiu tu th f t u tf tu t1111 ( ,)(,)2iiiiiiuuh f t uf tu这是一个隐式格式，一般需要用迭代法来求 ，而用显式的Euler法提供初值。1iu26详细课资01( ,)iiiiuuhf t u1 111/2 ( ,)(,)kkiiiiiiuuhf t uf tu为了简化计算的过程，在此基础上进一步变为如下算法：111/2 ( ,)(,)iiiiiiuuhf t uf tu1( ,)iiiiuuhf t u此式称为“改进的Euler法。接下来讨论其几何意义预估校正其局部截断误差为3()O h这个问题将在下节讨论。27详细课资tu0it1it0( ,)iimf t u( )u tiu1iu111(,)iimf tu122averagemmm1iu1()iu t28详细课资00.10.20.30.40.50.60.70.80.9111.11.21.31.41.51.61.71.81.9xyEuler法、改进的Euler法和解析解的比较2(0)1dyxydxyy(0,1)x12yx29详细课资四、（龙格-库塔）Runge-Kutta方法简单的Euler法是建立在Taylor级数的一项展开；改进的Euler法是以两项Taylor级数为基础建立的，如：23()( )( )( )()2iiiihu thu thu tu tO h23()( )( )( ()( )/ /2()iiiiiu thu thu thu thu thO h()( )( )2iiiu thu tu th11(,)( ,)2iiiiif tuf t uuh如果我们截取Taylor级数的更多项会得到什么样的求解方法呢？两个德国数学家（C.Runge & M.kutta）以这种思想为基础建立了求解微分方程的龙格-库塔方法。它是常微分方程数值解法中使用最为广泛的方法之一。30详细课资一般地，一个K阶的Runge-Kutta方法可用下面的公式表示：11111( ,)(,)kiijjjiijjijijllluuw KKhf t uKhf tc h ua K2,3,jk其中，jw是待定的加权系数，2321,1,kk kc cc aa是待定的系数。Euler法就是11,1kw的R-K法。其系数的确定如下：将1iu展开成h的幂级数，并与微分方程的精确解1()iu t在点it的Taylor展开式相比较，使两者的前1p项相同，这样确定的R-K法，其局部截断误差为1()pO h，根据所得关于待定系数的方程组，求出它们的值后代入公式，就成为一个p阶R-K方法。31详细课资例题以二阶R-K法为例说明上述过程11122112211( ,)(,)iiiiiiuuw Kw KKhf t uKhf tc h ua K21( )( )2iiiihuuhu tu t2( ,)( ,)2iiiiihuhf t uf t u211( ,)( ,)( ,) ( ,)22iiitiiuiiiiuhf t uhf t uf t uf t u把12,K K代入1iu中，有112221( ,),( ,)iiiiiiiiuuwhf t uw hf tc h ua hf t u12221( ,) ( ,)( ,)( ,)iiiiitiiuiiuwhf t uw h f t uc hf t ua hff t u21222221() ( ,)( ,)( ,)iiitiiuiiuh wwf t uh w c f t uw a ff t u32详细课资经比较得到122222111212www cw a1222212112www cac取 为自由参数：2c21 2,12 3c 121 31 1(,)(0,1),( , ),( , )4 42 2w w从而得到不同的但都是二阶的R-K方法，对应的有中点法、Heun（亨）法以及改进的Euler法。33详细课资基于相同的过程，通过比较五次Taylor多项式，得到更加复杂的结果，给出了包含13个未知数的11个方程。得到多组系数，其中常用的是以下四阶R-K法：1123412132431()6( ,)11(,)2211(,)22(,)iiiiiiiiiiuuKKKKKhf t uKhf th uKKhf th uKKhf th uK改进的Euler法、R-K法以及解析解的比较：34详细课资00.10.20.30.40.50.60.70.80.9111.11.21.31.41.51.61.71.8xy2(0)1dyxydxyy(0,1)x12yx35详细课资五、线性多步（Linear Multistep Method）法1. 预备知识：插值多项式插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。从几何上理解：对一维而言，已知平面上n1个不同点，要寻找一条n次多项式曲线通过这些点。插值多项式一般常见的是拉格朗日插值多项式。2. 气象应用不均匀站点上的气象要素数据均匀网格点上的数据插值 3. 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式逼近可能是求插值节点不均匀的插值多项式的最简单的方法。实验观察结果或原始测量数据的分布通常是非均匀的。例如，四个点可以确定一个三次多项式，其拉格朗日形式为：23413431212131421232412312434313234414243()()()()()()( )()()()()()()()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxP xffxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxffxxxxxxxxxxxx36详细课资4. Adams-Bashforth（阿达姆斯贝雪福斯）公式首先，用以下四个点对( , ( )f t u t进行三次Langrage插值：111222333( ,( , ( ),(,(, (),(,(, (),(,(, ()nnnnnnnnnnnntf t u ttf tu ttf tu ttf tu t则1233123123333132()()()( , )( )( , ( )()()()()()()(, ()()()()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnttttttf x ttf t u tttttttttttttf tu ttttttt于是，有1113()( )( , ( )( )( )nnnntnnttntu tu tf t u t dtu tt dt容易算出，13123( )55 ()59 ()37 ()9 ()24nnxnnnnxhx dxF xF xF xF x例如，我们可以算得11233123()()()1()(2 )(3 )()()()6nnnnxxhnnnnnnxxnnnnnnxxxxxxdxxxh xxh xxh dxxxxxxxh*2*137详细课资433011 55()(2 )(3 )5566424hhth th th dthhh将（*2）代入（*1）得到Adams-Bashforth公式：111223355 (,)59 (,)37 (,)9 (,)24nnnnnnnnnnhuuf x uf xuf xuf xu基于同样的计算过程，可以得到另外一个计算公式：11111229 (,) 19 (,)5 (,)(,)24nnnnnnnnnnhuuf xuf x uf xuf xu这称为Adams-Moulto公式。111223355 (,)59 (,)37 (,)9 (,)24nnnnnnnnnnhuuf x uf xuf xuf xu11111229 (,) 19 (,)5 (,)(,)24nnnnnnnnnnhuuf xuf x uf xuf xu预估校正38详细课资偏微分方程数值解主讲：王曰朋39详细课资一、区域的离散1.2.3.40详细课资则函数可表示为：( , )( ,)u x yu ih jk1,2,3i 1,2,3j 二、1.（一维）一、二阶导数的有限差分近似表达式41详细课资2.（二维）一、二阶偏导数的有限差分近似(,)(,)( ,)( )ijijijx yu xh yu x yuO hxh1(,)ijjjiix yuuuxh2(,)(,)(,)()2ijijijx yu xh yu xh yuO hxh11(,)2ijjjiix yuuuxh211111111(,)1()22ijjjjjiiiix yuuuuux yhk 22()()O hO k42详细课资3. 抛物型方程抛物型方程初条：精确解为（以热传导或磁扩散方程为例）（以热传导或磁扩散方程为例）22xutu)()0,(xfxu初值问题)0,(txd)(4)(exp41),(2ftxttxu不论初始分布如何集中，它总在瞬间影响于无穷远，虽该影响随距离按指数衰减，然而它是以无限速度传播。此乃抛物型方程解的特征。43详细课资三、热传导方程（抛物方程）1. 热传导方程的介绍2.222(0, )( , )0( ,0)( )uuatxutu L tu xf x离散化121122jjjjjiiiiiuuuuuakh0(0,)0juujk( , )0jNuu L t0( ,0)( )iiuu ihf ihf（1）向前差分格式：44详细课资计算：111(1 2 )jjjjiiiiusus usu这是一个显式格式（四点格式）j1j i1i1i每一层各个节点上的值是通过一个方程组求解得到的。这可以从下面的计算过程看出来。22kash45详细课资1000121010002321100034321000112(1 2 )(1 2 )(1 2 )(1 2 )NNNNusus usuusus usuusus usuusus usu1 21 21 21 2ssssssss系数矩阵为46详细课资22( ,0)sin()(0, )(1, )01;00.1uutxu xxututxt 计算实例：47详细课资00.020.040.060.080.100.51-3-2-10123txu48详细课资2. 向后差分格式111121122jjjjjiiiiiuuuuuakh11111(12 )jjjjiiiisus usuu当知道第n层上的 时，要确定第n+1层上各点值 必须通过求解一个线性代数方程组。jiu1jiu11121011113212111432311111(12 )(12 )(12 )(12 )jjjjjjjjjjjjjjjjNNNNsus usuusus usuusus usuusus usuu49详细课资111122111112121212jjjjjjNNjjNNuussuusssssuussuu其矩阵表达式如下：j1j 1ii1i50详细课资这是一个古典四点向后差分格式。计算实例22( ,0)sin()(0, )(1, )01;00.1uutxu xxututxt 51详细课资00.020.040.060.080.100.5100.20.40.60.81txu52详细课资3. Crank-Nicolson格式，亦称六点对称格式1211111112222()2jjjjjjjjiiiiiiiiuuauuuuuukhh1111111(12 )(1 2 )jjjjjjiiiiiisus ususus usu11121111/2/21/21/212jjjNjNussusssssussu53详细课资j1j 1i1i1211/2/21/21/2/21 2jjjNjNussusssssussu54详细课资00.020.040.060.080.100.5100.20.40.60.81txu55详细课资4. Richardson格式11211222jjjjjiiiiiuuuuuakh11112 (2)jjjjjiiiiius uuuu1j 1i1ij1j i这是一个五点三层差分显式格式56详细课资讨论：假若由于 的作用，导致差分方程的近似解设为：jiu 于是，我们可得到差分格式的误差方程如下：11112 (2)jjjjjiiiiisxtRichardson格式是不稳定的。57详细课资5. 稳定性判别 Von-Neumann 稳定性在判断有限差分近似的稳定性方法中，以Von-Neumann方法使用较为广泛，它仅适用于线性常系数的有限差分近似。其过程如下：首先，要研究的差分方程可写为：101nnmj mmj mm Nm Na ub u如，其次，对进行变量分离：jiu2expnnjpjppuVixl111(1 2 )nnnnjjjjusus usu58详细课资expnnjjuVix最后将代入所考察的有限差分方程。111expexp(1 2 )expexpnnjjnnjjVi xsVi xs Vi xsVi x1exp(1 2 )expnnnnVsVi hs VsVi h1(cossin)(1 2 )(cossin)1 2 (1 cos)nnVshihsVshihsh 定义为放大系数59详细课资21 4 sin2hs 下面说明，在什么条件下能使11nnVV对所有的成立。21 1 4 sin12hs 从上式，我们看出，21 1 4 sin2hs 212 sin2sh60详细课资12s . 交替显隐式格式（）显式预测隐式校正格式在n+1/2层上用古典显式格式计算出过度值，再在n+1层上用12nju古典隐格式校正预测值，即：1/ 211211/ 21111122222nnnnnjjjjjnnnnnjjjjjuuuuuhuuuuuh61详细课资(2). 跳点格式首先将网格点（j, n）按j+n等于偶数或奇数分成两组，分别称为偶数网点和奇数网点。从 到的计算过程中，先在偶数网格点上用古典显式格式计算，再在奇数网点上用古典隐格式计算，即：nt1nt111211111122121nnnnnjjjjjnnnnnjjjjjuuuuuhnjuuuuuhnj偶 数奇 数62详细课资222220uuatx0uuatx（a）一阶常系数线性双曲型方程（b）二阶常系数线性双曲型方程（波动方程） 其中a为常数为为 这些方程的定解条件，可仅有初始条件，也可以有初始条件和边界条件。其中a为常数 同椭圆型方程与抛物型方程相比，双曲型方程差分格式的性质与定解问题解析解的性质有更密切的关系。63详细课资考虑0dtdxatudtdxxutudtduxxuatu0 由于u(x,t)沿x-t平面上方向为dx/dt=a的直线 xat=C（C为常数）的变化率为0，即故沿x-t平面上任一条斜率为1/a的直线xat=C，u(x,t)为常数。平行直线族xat=C就是方程(3.1)的特征线。(3.2)(3.1)xxxu)()0 ,(64详细课资 利用特征线，可以求出初值问题(3.1)、(3.2)的解：)(),(atxtxu),(00tx 由于u(x,t)在点 处的值依赖与(x)在点 的值，故初始线t=0上的点 称为解u(x,t)在点 的依赖区域。00atx 00atx ),(00tx 与抛物型方程求解类似，对x-t平面进行矩形网格剖分，x方向的步长为h，t方向的步长为，网点 简记为(j,k)。),(kjtx65详细课资对方程(3.1)，利用差商代替导数的方法，可得011huuauukjkjkjkj011huuauukjkjkjkj02111huuauukjkjkjkj, 2, 1, 0, 2, 1, 0kj 前两个格式的局部截断误差阶为 ，分别称为左、右偏心格式。)(hO)(2hO 第三个格式的截断误差阶为 ，它称为中心差分格式。kjkjkjurarauu)1 (11kjkjkjrauurau11)1 ()(2111kjkjkjkjuuaruu其中hr/即66详细课资 从差分格式依赖区域和微分方程依赖区域的关系，可以得到差分格式收敛的必要条件： 对于左偏心格式， CFL条件为：a0，且 。1ar1ar对于右偏心格式， CFL条件为：a0（或a0， 上网点A(j1,k)，B(j,k)，C(j+1,k)处的解值已经算出，从点P(j,k+1)作特征线，它与线段AB交于点 D。ktt P1kttktt CBAD由u(p)=u(D)，有)(2)(2)(AuhahCuhahDu, 2, 1, 0, 2, 1, 0kj)1 ()1(21111kjkjkjuaruaru这样，得到Lax格式：当 ，Lax格式稳定，截断误差阶为 。1ar)(22hhO68详细课资 对方程(3.1)，利用特征线作二次插值，即可得到LaxWendroff格式： 当 ， LaxWendroff格式稳定，它的截断误差阶为 。1ar)(22hOkjxkjkjkjkjurauuaruu2221112)(269详细课资应该注意：边值条件的给法与其它两类方程不同。 如果 a0，方程特征线向右倾，只能在 x变化区域的左边界上给出边界条件：)(), 0(1ttu 如果 a0，方程特征线向左倾，只能在 x变化区域的右边界上给出边界条件，即使 x 的变化区域为0 x d ，也只能给出边界条件：)(),(2ttdua0XOY0 x0 ，考虑下面模型问题：前面建立的几个显格式，都适用于这个问题。TtttuxxxuxTtxuatu0)(), 0(0)()0 ,(000下面建立隐格式。71详细课资连同初始条件与边界条件：, 2, 1, 2, 1, 001111jkhuuauukjkjkjkjkjkjkjuaruararu111111该格式的局部截断误差阶为 。)(hO令 ，格式可改写为hr/该格式可在0 x, t 内所有网点上显示地计算解之近似值。, 2, 1, 0, 2, 1,00kjuukkjj),(kj) 1,(kj) 1, 1(kj72详细课资 然后用中心差商逼近这些导数值，则可得到Wendroff格式：在点 处，用)21,21(kjPP1kttktt CHADGFBEjhx hjx) 1( GEPtututu21FHPxuxuxu21, 2, 1, 2, 1, 0022111111111jkhuuhuuauuuukjkjkjkjkjkjkjkj）（）（73详细课资连同初始条件与边界条件：11111()1kkkkjjjjaruuuuar 该格式的局部截断误差阶为 ，且无条件稳定。22()Oh令 ，格式可改写为/rh该格式可在0 x, t 内所有网点上显示地计算解之近似值。00,1, 2,0, 1, 2,kkjjuujk74详细课资 222220uuaxatx 为正常数考察 对x-t平面进行矩形网格剖分，x方向的步长为h，t方向的步长为，网点 简记为(j,k)。),(kjtx 用二阶中心差商代替(3.3)中的二阶导数，则得到网点(j,k)处的差分方程： (3.3)(3.4)( ,0)( )( ,0)( )uu xxxtxt 222221kktjxjauuh12222111()2(1)kkkkkjjjjjua r uua r uu, 2, 1, 0, 2, 1, 0;/kjhr其中 。或 1kk1k1jj1j75详细课资该格式稳定的充分条件为 。1ar初始条件)()0 ,(xxu离散：)()0 ,(txtu初始条件 离散：由0222022111)(21jxjtjjjuhauuu消去 ，得1jujjjjjararu)1 (22211221)(22hO 上述差分格式与初始条件的截断误差阶均为 。jju0取为76详细课资Ttxxuatu0, 10022222上述方法也可用于求解初边值问题： 10)()0 ,()()0 ,(xtxtuxxuTtttuttu0)(), 1 ()(), 0(77详细课资 78详细课资79详细课资80详细课资在条件下2122ssldsdsdydsdx求使得泛函达到最大的函数 。)(),(sysx2121),(ssdsdsdxydsdyxyxs 在长度一定的所有平面封闭曲线中，求所围面积为最大的曲线。81详细课资当求泛函在一个函数集合K中的极小（或极大）问题，则该问题称为变分问题。考察J(x)的极值情况。为实常数）fLLfxLxxJ, 0(2)(2设求 ，使Rx 0)(min)(0 xJxJRx与求解方程 Lx = f 等价。82详细课资对称正定nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211求J(x)取极小值的驻点， 其中 ninjniiijiijnxbxxaxxxJxJ1112121),()(设设 则J(x)可表示为：Tnxxxx),(21Tnbbbb),(21),(),(21)(xbxxAxJ83详细课资设矩阵A对称正定，则下列两个命题等价：求 ，使nRx 0)(min)(0 xJxJnRx(a)(b) 是方程 的解0 xbxA：),(),(21)(xbxxAxJ其中 。84详细课资 考察一根长为 l 的弦，两端固定在点 A(0,0)和B(l,0)。当没有外力作用时，它的位置沿水平方向与X轴重合。设有强度为f(x)的外荷载垂直向下作用在弦上，于是弦发生形变。假定荷载很小，因而发生的形变也很小。用 u(x) 表示在荷载f(x)的作用下弦的平衡位置。u)0 , 0(A)0 ,(lBX85详细课资求弦的平衡位置归结为求解两点边值问题：设弦处于某一位置u=u(x)，可得到其总位能为 ldxufuTuJ02)2(21)(： 0)(0)0(0)()(luulxxfxuT其中T是弦的张力。)(xuu 弦的平衡位置 (记为 )将在满足边值条件 u(0)=0，u(l)=0 的一切可能位置中，使位能取极小值。弦的平衡位置 是下列变分问题的解)(xuu)(min)(20uJuJCu86详细课资 在数学上，要将某个微分方程的定解问题转化为一个变分问题求解，必须针对已给的定解问题构造一个相应的泛函，并证明定解问题的解与泛函极值问题的解等价。87详细课资考察二阶常微分方程边值问题：0)(0)(),(buaubaxfqudxdupdxdLu),(),(21)(ufuuuJ),(),(21)(ufuLuuJbababafudxdxquudxdxdupdxd221badxfuquup)2(2122dxquvdxdvdxdupvuba),(引入泛函算子则88详细课资 与前述二阶常微分方程边值问题相应的变分问题是),(),(21)(ufuuuJ其中0)(,)()(,11aubaHxuxubaHE求 ，使1EHu )(min)(1uJuJEHubadxfuquup)2(212289详细课资0)(, 0)(),(buaubaxfqudxdupdxdLu设 ， 是边值问题)(0ICf 2*Cu 的解，则 使 J(u) 达到极小值；*u12EHCu 反之，若 使 J(u) 达到极小值，则 是边值问题的解。*u),(),(21)(ufuuuJ其中 是强制边界条件， 是自然边界条件，区别这两类边界条件在用有限元方法求解边值问题时很重要。0)( bu0)(au90详细课资对两点边值问题：0)(, 0)(),(buaubaxfqudxdupdxdLu其中1*EHu ，且满足变分方程： 设 ，以v乘方程两端，沿a,b积分，并利用 ，得变分方程1EHv0)(, 0)(bvavdxquvdxdvdxdupvuba),(0),(),(vfvu对任意1EHv0),(),(*vfvu在力学里， 表示虚功),(),(vfvu1EHv2*Cu 设 ，则 是边值问题解的充要条件是：*u91详细课资 。若将微分方程化为相应的变分问题或变分方程，则只需处理强加边界条件，无需处理自然边界条件（自然边界条件已包含于变分问题中泛函的构造或已包含于给出的变分方程之中）。这一特点对研究微分方程离散化方法及其数值解带来了极大的方便。92详细课资模型方程其中G是平面有界区域。0),(),(|2222uGyxyxfyuxuu),(),(21)(ufuuuJ),(),(21)(ufuuuJGdxdyyvyuxvxuvu)(),(引入泛函算子则93详细课资与前述二阶椭圆边值问题相应的变分问题是求 ，使)(10GHu )(min)()(10uJuJGHu其中0),(),(),(| ),()(110yxuGHyxuyxuGH),(),(21)(ufuuuJ),(),(21ufuu94详细课资 对，泛函是一样的，只是边界条件要作为强加边值条件加在所取的函数类上。 设 ， 是二阶椭圆边值问题的解，则 使 J(u) 达到极小值；)(0ICf )(2*GCu *u)()(102GHGCu 反之，若 使 J(u) 达到极小值，则 是二阶椭圆边值问题的解。*u),(),(21)(ufuuuJ其中 对，二次泛函形式相对于第一边值问题有所改变，但函数类的选取与边界条件无关。95详细课资问题000),(),(21|aaunuuGyxyxfu其中 设 ，以v乘方程两端后在G上积分，并利用Green公式，得变分方程)(1GHvE2),(auvdsdxdyyvyuxvxuvuG0),(),(vfvu0),(),(),(| ),()(111yxuGHyxuyxuGHE)(1GHvE96详细课资在力学里， 表示虚功),(),(vfvu)(2GCu 设 是边值问题的解，则对任意 ， 满足变分方程。)(1GHvEu 反之，若 ，且对任意 满足变分方程，则 为边值问题的解。)()(12GHGCuE)(1GHvEu 与极小位能原理类似，第一类边界条件为强加边界条件，第二、三类边界条件为自然边界条件。 虚功原理比极小位能原理应用更广。97详细课资：求解相应的变分问题或相应的变分方程。 这两种算法统称为Ritz-Galerkin方法。 以下用V表示 等Sobolev空间，L表示微分算子，(u,v)为由L及边值条件决定的双线性泛函。110,HHHE 用有限维空间的函数代替变分问题(或变分方程)中无限维空间的函数，从而在有限维函数空间中求变分问题(或变分方程)的近似解，并要求当有限维空间的维数不断增加时，有限维近似解逼近原变分问题(或变分方程)的解。98详细课资由极小位能原理得出的变分问题为：niiincu1求 ，使Vu )(min)(uJuJVu其中 ，),(),(21)(ufuuuJ 设 是V 的n维子空间， 是 的一组基底(称为基函数) 。 中任一元素 可表示为nVn,21nVnVnu即选择适当的 ，使 取极小值。nccc,21)(nuJ求 ，使nnVu )(min)(vJuJnVvn：99详细课资展开)(nuJ令nccc,21则 满足解出 代入 ，则得), 1(nicinuniiincu1njfcjniiji, 2, 1),(),(1ninjnjjjjijicfcc111),(),(21njcuJjn, 2, 10)(),(),(21)(nnnnufuuuJ100详细课资 根据最小位能原理构造相应于微分方程或物 理问题的变分问题； 取 作为 的一组基底，即用 近似代替无穷维空间V；), 1(nii,21nnspanVnV 根据二次函数取极值的必要条件，得到 nniiinVcu1ic中 所满足的方程组： 求解关于 的线性代数方程组。icnjfcjniiji, 2, 1),(),(1101详细课资由虚功原理得出的变分方程为：niiincu1 设 是V 的n维子空间， 是 的一组基底(称为基函数) 。 中任一元素 可表示为nVn,21nVnVnu：0),(),(vfvu0),(),(vfvun求 ，使对 ， 满足nnVu nVvnu102详细课资nVv由 的任意性，取 作为v ，则得n,21将 代入变分方程，则nniiinVcu1),(),(1vfvcniiinVv解出 代入 ，则得), 1(nicinuniiincu1njfcjniiji, 2, 1),(),(1103详细课资 根据虚功原理构造相应于微分方程或物理问 题的变分方程； 取 作为 的一组基底，即用 近似代替无穷维空间V；), 1(nii,21nnspanVnV 求解关于 的线性代数方程组。icnjfcjniiji, 2, 1),(),(1nniiinVcu1icn,21 取 作为v ，将 代 入变分方程，得到 满足的方程组：104详细课资 基函数选取必须满足强加边界条件，因此 选取困难； 计算量、存储量巨大； 方程组求解病态严重。 充分发挥了变分形式和Ritz-Galerkin方法的 优点； 摆脱了传统的基函数取法； 各种问题的结构程序格式统一。105详细课资 有限元方法基于变分原理， 又具有差分方法的一些特点，并且适于较复杂的区域和不同粗细的网格。 差分法解偏微分方程，解得的结果就是准确解u在节点上的近似值； Ritz-Galerkin方法得到近似的解析解，但对一般区域，却往往难以实现。 有限元方法与传统Ritz-Galerkin方法的差别在于有限维函数空间的构造方法。106详细课资考虑两点边值问题：0)(, 0)()(buaubxafqudxdupdxdLu 将区间a,b分割为n个子区间 。),.2 , 1(,1nixxii第i个单元记为 ，其长度 。,1iiixxI1iiixxh)(),()()(1的多项式上为次数不超过在且mIxuIHxuxuVihEhhh设则 称为试探函数空间， 称为试探函数。hVhhVu 107详细课资设在节点上试探函数 在节点上的一组值为hu最简单的试探函数空间 由分段线性函数组成。hVnuuuu,., 0210在第i个单元 上的线性插值函数为,1iiixxIiiiiiiihIxuhxxuhxxxu11)(iiiiiiiiihIxuxxxxuxxxxxu1111)(即 当 时， 的（线性）插值公式称为（线性）单元形状函数。iIx)(xuh108详细课资 把每个单元形状函数合并起来，就得到整个区间a,b 上都有定义的函数 ：)(xuhnnnnnnniiiiiiiiiiiiiihIxuhxxuhxxIxuhxxuhxxIxuhxxuhxxIxhxxuhxxxu111111111110011)(nx1ixix1ix0 x1x1uiu1iu1iunu109详细课资为使分段插值标准化，通常用仿射变换显然iihxx 1 , 0把 变到 ，令,1iixxx1) 1 (0)0(0) 1 (1)0(1100NNNNiiihIxuNuNxu)()()(110)(1)(10NN则iiiiiiihIxuhxxuhxxxu11)(变为或 1 , 0)()()(110iihuNuNu110详细课资定义基函数系)(xi,01, 2, 1,)(1111111iiiiiiiiiiixxxnixxxhxxxxxhxxx,0,)(1010110 xxxxxxhxxx,0,)(111nnnnnnnxxxxxxhxxx111详细课资)(),.,(),(10 xxxn 线性无关，它们可组成试探函数空间的基，常称为节点基函数。几何形状如图)(0 x)(xia)(xn0 x1, 1nib1x1ixix1ix1nxnx任一试探函数 可表示为hhVu niiihbaxxuxu0,)()( 用这类插值型基函数，可以构造出适合各种边界条件的试探函数。112详细课资若借助前述放射变换iihxx1节点基函数可用变量表示为1.,210,)(,)()(110111nihxxxxxNhxxxxxNxiiiiiiiii，其它其它0,)()(101000hxxxxxNx别处0,)()(111nnnnnhxxxxxNx113详细课资(a) 把表达式 代入泛函；niiihxuu1)(b) 将泛函表达式中积分区间a,b变到0,1；(c) 由 达到极小值的条件)(huJnjuuJjh,.,2 , 10)(得到含 的), 2, 1(,11njuuujjj), 2, 1(01, 11, 1njbuauauajjjjjjjjjj这儿00, 10 nnau),.,1(niui(d) 解出有限元方程的数值解 ，就得到使二次泛函取极小的近似函数(有限元解)()(1xuxuiniih114详细课资有限元方程可用矩阵表示为buK其中称为总刚矩阵。nnnnaaaaaaaK, 13222122111115详细课资 工程中形成有限元方程时，通常先在每个单元上形成单元矩阵（称为单元刚度矩阵），然后由单元刚度矩阵形成总刚度矩阵（称为总体合成）。(a) 把 按单元组织，则在第i个单元上，令)(huJ)(,)(1,)(, 1)(1, 1)(iiiiiiiiiiiiiaaaak)()(1)(1)()(1,)(, 1iiiiiiiiiiiiiifffuuuaa其中 称为单元刚度矩阵。各元素可计算得到。)(ik116详细课资)(,)(1,)(, 1)(1, 1)(iiiiiiiiiiiiiaaaaK 再把 扩展成nn矩阵，使其第i1行、第i行和第i1列、第i列交叉位置的元素就是单元刚度矩阵的四个元素，其余全为零（ 只是第一行，第一列元素非零）。即)(ik)1(kTnTnbbbbuuuu),.,(),.,(2121记则),(),(2121)(ubuuKbuuKuuJTTnniiKK1)(其中 称为总刚矩阵。117详细课资(b) 由 达到极小值的条件)(huJnjuuJjh,.,2 , 10)(),.,1(niui(c) 解出有限元方程的数值解 ，就得到使二次泛函取极小的近似函数(有限元解)()(1xuxuiniih得到。buK118详细课资把表达式 代入变分方程niiihxuu1)(对前面的两点边值问题，变分方程变为njdxfubajiniji,.,2 , 1),(1dxquvvupvuba)(),(其中该方程即为Galerkin法形成的。119详细课资 在单元 上可构造一、二、三及高次插值多项式，其：,1iiixxI ：在单元内部增加一些插值节点。：在节点引进一阶、二阶乃至更高阶导数。 120详细课资：在每一个单元上是一次多项式，在单元节点处连续。：在单元的两个端点取指定值。：在每一个单元上是二次多项式，在单元节点处连续。：在单元的两个端点及单元中点取指定值。：在每一个单元上是三次多项式，在单元节点处连续。：在两个端点取指定的函数值和一阶导数值。121详细课资 采用高次元，有限元方程形成的方法和线性元类似，但工作量增加。一是计算积分的复杂性增加，二是矩阵的带宽增加。 高次元的主要优点是收敛阶高，且提高了函数逼近的光滑性。122详细课资 假定区域G可以分割成有限个矩形的和，且每个小矩形（单元）的边和坐标轴平行。 1 , 0; 1 , 0IIyyyxxxii/ )(/ )(;yyyyxxxxRjjiiij通过仿射变换采用矩形剖分后，任一个矩形总可变成单位正方形 如果在 上造出单元形状函数，就可得到试探函数 。而 上的形状函数可通过先在 上造出形状函数，再通过仿射变化而得到。IIijRijR)(xuh123详细课资II 在上构造形状函数，也采用Lagrange型和Hermite型插值。根据若干插值节点处的函数值决定插值函数。根据若干插值节点处的函数值、一阶偏导数乃至更高阶偏导数决定插值函数。124详细课资：给定 顶点上的函数值II 11100100,uuuu：双线性函数321011),(ccccp1111101101110011) 1 , 1 (,)0 , 1 (,) 1 , 0(,)0 , 0(upupupup满足设111110101101000011),(),(),(),(),(uNuNuNuNp令0)0 , 1 () 1 , 0()0 , 0(, 1) 1 , 1 (0) 1 , 1 () 1 , 0()0 , 0(, 1)0 , 1 (0) 1 , 1 ()0 , 1 ()0 , 0(, 1) 1 , 0(0) 1 , 1 ()0 , 1 () 1 , 0(, 1)0 , 0(11111111101010100101010100000000NNNNNNNNNNNNNNNN由 为双线性函数，可求得),(ijN1 , 0,),(jiNij125详细课资令则 通过仿射变换消去、 ，就得到 上的形状函数。把这些函数按单元叠加，即对所有单元求和，就得到G上的试探函数。ijR)(1)(10NN111110011110000011)()()()()()()()(),(uNNuNNuNNuNNp 实际计算时，并不消去中间变量、 ，因为计算刚度矩阵元素（定积分）用、作自变量更为方便。126详细课资：给定II上九个插值节点(0,0)、(1/2,0)、(1,0)、 (0,1/2)、(1/2,1/2)、(1,1/2)、(0,1)、(1/2,1)、(1,1)的函数值。：双二次函数22827262542321022),(cccccccccp2, 1, 0,)2,2(2,222jiujipji满足127详细课资故) 12()()1 (4)() 1)(12()(1210NNN2,220,2222)()(),(jijijiuNNp 通过仿射变换消去、 ，就得到 上的形状函数。ijR令0)21()0(, 1) 1 (0) 1 ()0(, 1)21(0) 1 ()21(, 1)0(111212121000NNNNNNNNN由 为二次函数，可求得)(iN设2,2220,222)()(),(jijjiiuNNp128详细课资：给定II上十六个插值节点(见图) 。：双三次函数3315321423133122211310392827362542321033),(ccccccccccccccccp3, 2, 1, 0,)2,2(3,333jiujipji满足设3,330,3333)()(),(jijijiuNNp129详细课资故),32)(31(29)(),31)(1(227)(),32)(1(227)(),32)(31)(1(29)(132310NNNN3,330,3333)()(),(jijijiuNNp令0)32()31()0(, 1) 1 (0) 1 ()31()0(, 1)32(0) 1 ()32()0(, 1)31(0) 1 ()32()31(, 1)0(111132323232313131310000NNNNNNNNNNNNNNNN由 为三次函数，可求得)(iN130详细课资 可以在四个顶点分别给定函数值、两个一阶偏导数的值和二阶混合偏导数的值(共十六条件)，确定一个双三次多项式的十六个系数。3332233223322322, 1yxyxyxxyyxyxyxyyxxyxyxyx Lagrange型公式中不出现导数，这样的试探函数只属于 。为了得