专题七：初中数学阅读理解型师用

专题七：初中数学阅读理解型九年级数学集备组组员：X步群、X彩霞、方国财阅读理解型阅读理解是近年来中考试题中频繁出现的新题型，这种题型特点鲜明、内容丰富、超越常规，源于课本，高于课本，不仅考查学生的阅读能力，而且综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识，此类题目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，符合学生的认知规律。阅读理解题的篇幅一般都较长，试题结构大致分两部分：一部分是阅读材料，另一部分是根据阅读材料需解决的有关问题阅读材料既有选用与教材知识相关的内容的，也有广泛选用课外知识的考查目标除了初中数学和基础知识外，更注重考查阅读理解、分析转化、X例运用、探索归纳等多方面的素质和能力阅读理解型问题是指通过阅读材料，理解材料中所提供新的方法或新的知识，并灵活运用这些新方法或新知识，去分析、解决类似的或相关的问题。一、试题分析 从全国各地近年来的中考数学试卷中阅读理解题的分布来看， 阅读理解题存在以下特点：(1)全面性。在选择、填空和解答题中都有出现；(2)创新性。主要考查数学思想方法、理论依据和方案设计等：(3)综合性。考查阅读理解能力、观察思考能力、分析判断能力、抽象概括能力、类比能力等；(4)灵活性。有的信息直接给出，有的隐含在其中，有的则包含在众多知识的交汇中；(5)思想性。体现化归思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想、数学建模思想、数形结合思想等。就考查方法而言，不仅要求同学回答是什么，而且要求回答为什么？如果正确，要说出根据；如果错误，要说出理由；如果缺少条件，要补齐条件；如果步骤不全，要补全步骤。有时要提出猜想，有时要给出证明，有时问数学思想方法，有时问理论根据和方案。既注重最终结果，又注重理解过程。二、预测与建议 1随着新课程改革的纵深推进，初中升学考试的题型越来越新，测试X围越来越广，近年来，阅读理解型试题在中考试卷中占的比例越来越大，常见题型有：（1）新定义型；（2）知识迁移型；（3）方法模拟型；（4）概括归纳型。 2解答这类型试题一般有以下几个步骤：（1）阅读给定材料提取有用信息; （2）分析、归纳信息，建立数模;（3）解决数模，回顾检查。 三、中考试题分类解读（一）新定义型在阅读材料中，为问题的提出设置一种背景。背景的设置形式可能是文字，也可能是图表。通过对材料信息的加工、提炼和运用，能反映学生应用数学的意识和进行数学创新的能力。例1：（2010某）. 定义 a,b,c为函数y=ax+bx+c 的特征数, 下面给出特征数为 2m，1m ,1m的函数的一些结论： 当m =3时，函数图象的顶点坐标是(1/3 ，8/3 )； 当m 0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3/2；当m 1/4时，y随x的增大而减小； 当m0时，函数图象经过同一个点.其中正确的结论有（）A. B. C. D. 答案：By = ax+bx+c 特征数：2m, 1-m, -1-m当m = -3时，y = -6x+4x+2 = -6(x-1/3)+8/3，顶点坐标是(1/3, 8/3)-正确当m 0时，令y=0，有2mx+(1-m)x+(-1-m)=0，解得：x=(3m+1)/(4m)-(1-m)/(4m)|x2-x1|=(3m+1)/(2m)=3/2+1/(2m)3/2-正确当m 0时，y = 2mx+(1-m)x+(-1-m) 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：x=(m-1)/(4m)，在对称轴的右边y随x的增大而减小(单调递减)。因为当m 1/4，即对称轴在x=1/4右边，因此函数在x=1/4右边先单调递增到对称轴位置，再单调递减。-错误当x=1时，y = 2mx+(1-m)x+(-1-m)=2m+(1-m)+(-1-m)=0即对任意mR，函数图像都经过点(1, 0)那么同样的：当m 0时，函数图象都经过同一个点(1, 0) -正确根据上面的分析，都是正确的，是错误的。题中的答案只有B符合。解析：此题给出了函数的“特征数”的定义，然后结合二次函数的性质，将问题转化为常规问题，最后求出结果，解决问题的关键是读懂“特征数”。（二）、知识迁移型123123xy此类阅读题设计的背景材料就是数学知识迁移的信息源。要求学生阅读后会比较原内容与迁移问题的共同因素和不同因素，知识的相似点和连接点，分析材料的表面成分和结构成分，形成知识的正向迁移。例2：（2009年某）阅读材料，解答问题例 用图象法解一元二次不等式：解：设，则是的二次函数抛物线开口向上又当时，解得由此得抛物线的大致图象如图所示观察函数图象可知：当或时，的解集是：或（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是_；11xy（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：解：（1）（2）解：设，则是的二次函数抛物线开口向上又当时，解得由此得抛物线的大致图象如图所示观察函数图象可知：当或时，的解集是：或点评：此题从学生熟悉的模型入手，随着问题背景从直线到等边三角形，再到圆的不断变化，问题解决的复杂程度不断增加，思维要求不断深入。在第（3）小题中，虽然变成作图找点使两个角相等，但模型运用的本质，即利用轴对称的性质解题的方法没有改变。在这样一个变式探究的过程中，学生的思维逐步深入，从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律。形成学习知识的一种正向迁移，实现经验增值性的学习。（三）、方法模拟型通过阅读材料的学习，将理解的信息通过观察、归纳、分析和类比，作出合情的推断，大胆的猜想，得出题目必要的结论。对材料信息的搜集、整理、归纳和发现，提高学生类比、模仿、应用数学的能力。例3：(2011某某)问题情境：已知矩形的面积为a（a为常数，a0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型：设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为15342O142xy3511探索研究：我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质填写下表，画出函数的图象：x1234y观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；在求二次函数y=ax2bxc（a0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到请你通过配方求函数(x0)的最小值解决问题用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案【答案】解：，2，函数的图象如图本题答案不唯一，下列解法供参考当时，随增大而减小；当时,随增大而增大；当时函数的最小值为2=当=0，即时，函数的最小值为2 当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为点评：此题先是通过阅读，理解模拟材料中所述的过程、方法，再去解决类似的相关问题。此类试题除了考查学生的阅读理解能力外，还考查合理猜想或推理判断等能力。掌握方法在于把握问题的本质，模拟不是简单的机械模仿。因此，教学中要适时、恰当地对数学方法给予提炼和概括，让学生有深刻的印象。从而提高学生解这类问题的能力。（四）、概括归纳型这类阅读理解题，在阅读材料中往往遵循由浅入深的顺序，由新概念的给出和简单问题的证明对后面问题的解决给予提示，在解题时，一般采用类比思想，仿照阅读材料中的思路求解；或者按照阅读材料的思路把解题过程补充完整；或者将阅读材料的解法进行推广，总结归纳得到更一般性结论的解法。例4：（2010某）观察探究，完成证明和填空如图10，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；图11图10 （2）如图11，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是；当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是；当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是；当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？分析：（1）利用三角形中位线推出所得四边形对边分别平行，故为平行四边形（2）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形为菱形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形为矩形；顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得的四边形为正方形谨记以上原则回答即可（3）由以上法则可知，中点四边形的形状由原四边形的对角线的关系来决定的【答案】（1）证明：连接BDE、H分别是AB、AD的中点，EH是ABD的中位线EHBD，EHBD 同理得FGBD，FGBDEHFG，EHFG 四边形EFGH是平行四边形 （2）填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形 （3）中点四边形的形状由原四边形的对角线的关系来决定的 【涉及知识点】中点四边形点评：不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形解决此类问题的关键是读懂题目已知条件中的背景，从背景中概括出数学本质，应用联想，建立数学模型。大胆猜测，用一句话概括学生的发现，主要考查了学生的文字概括能力和书面表达能力。在平时教学中教师要给学生这种探究的机会，培养学生观察猜想的能力，并能将发现的规律用精炼准确的语言进行表述。从以上例题可以看出，阅读理解题侧重于对学生认知发展所必须的各种知识和能力的考查，这种考查是动态、发展的，是面向学生全体的。平时在指导学生解决这类问题时，教师在课堂上要和学生一起探讨解题，遵循学生思维的认知规律，让学生积极主动参与，暴露学生的解题方法。在总结学生已有方法的基础上，加以引导，循循善诱，才能使学生更好地掌握解题方法和技巧。阅读理解题练习一、选择题1(2009某)为了求的值，可令S，则2S ，因此2S-S，所以仿照以上推理计算出的值是（D ）A.B.C.D.二、填空题2（2009某）用配方法解方程时，方程的两边同加上4，使得方程左边配成一个完全平方式3（2009某）小明用下面的方法求出方程的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中方程换元法得新方程解新方程检验求原方程的解令则所以令，则（舍去），所以令，则（舍去），所以三、解答题4(2009年某内江)阅读材料：如图，ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h，连结AP，则即：（定值）（1）理解与应用如图，在边长为3的正方形ABC中，点E为对角线BD上的一点，且BE=BC，F为CE上一点，FMBC于M，FNBD于N，试利用上述结论求出FM+FN的长。（2）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等到边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边ABC内任意一点P到各边的距离分别为，等边ABC的高为h，试证明：（定值）。（3）拓展与延伸若正n边形A1A2An内部任意一点P到各边的距离为，请问是否为定值，如果是，请合理猜测出这个定值。A DB M CENFAB P Chr1r2r3P分析：（1）已知BE=BC，采用面积分割法，SBFE+SBCF=SBEC得出三角形高的数量关系（2）连接PA，PB，PC，仿照面积的割补法，得出SPBC+SPAC+SPAB=SABC，而这几个三角形的底相等，故可得出高的关系（3）问题转化为正n边形时，根据正n边形计算面积的方法，从中心向各顶点连线，可得出n个全等的等腰三角形，用边长为底，边心距为高，可求正n边形的面积，然后由P点向正n多边形，又可把正n边形分割成n过三角形，以边长为底，以r1r2rn为高表示面积，列出面积的等式，可求证r1+r2+rn为定值解：（1）如图，连接AC交BD于O，在正方形ABCD中，ACBDBE=BCCO为等腰BCE腰上的高，根据上述结论可得 FM+FN=CO而CO=AC=FM+FN=（2）如图，设等边ABC的边长为，连接PA，BP，PC，则SBCP+SACP+SABP=SABC即（3）+是定值+（为正边形的边心距） 点评：本题主要利用面积分割法，求线段之间的关系，充分体现了面积法解题的作用5（2009某）2009年5月17日至21日，甲型H1N1流感在日本迅速蔓延，每天的新增病例和累计确诊病例人数如图所示(1)在5月17日至5月21日这5天中，日本新增甲型H1N1流感病例最多的是哪一天？该天增加了多少人？(2)在5月17日至5月21日这5天中，日本平均每天新增加甲型H1N1流感确诊病例多少人？如果接下来的5天中，继续累计确诊病例人数新增病例人数0421961631932671775673074161718192021日本2009年5月16日至5月21日甲型H1N1流感疫情数据统计图人数(人)050100150200250300日期按这个平均数增加，那么到5月26日，日本甲型H1N1流感累计确诊病例将会达到多少人？(3)甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？解：(1)18日新增甲型H1N1流感病例最多，增加了75人；(2)平均每天新增加人，继续按这个平均数增加，到5月26日可达52.65+267=530人；(3)设每天传染中平均一个人传染了x个人，则，解得(x = -4舍去)再经过5天的传染后，这个地区患甲型H1N1流感的人数为(1+2)7=2 187（或1+2+6+18+54+162+486+1 458=2 187），即一共将会有2 187人患甲型H1N1流感6.（2009某）阅读下面的材料： 在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，且，我们就称直线与直线互相平行. 解答下面的问题：（1）求过点且与已知直线平行的直线的函数表达式,并画出直线 的图象；24624622 （2）设直线分别与轴、轴交于点、，如果直线：与直线平行且交轴于点，求出的面积关于的函数表达式.解：（1）设直线l的函数表达式为yk xb.直线l与直线y2x1平行，k2.直线l过点（1，4）， 2b 4，b 6.直线l的函数表达式为y2x6. 直线的图象如图. (2) 直线分别与轴、轴交于点、，点、的坐标分别为（0，6）、（3，0）.,直线为y2x+t.C点的坐标为.t0,.C点在x轴的正半轴上.当C点在B点的左侧时，;当C点在B点的右侧时， .的面积关于的函数表达式为7(2009某)若P为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点.（1）若点为锐角的费马点，且，则的值为_；（2）如图，在锐角外侧作等边连结.求证：过的费马点，且=.【答案】（1）2. ACBPE（2）证明：在上取点，使，连结，再在上截取，连结，为正三角形，=，为正三角形，=，=，ACB，为的费马点， 过的费马点，且=+8（某某）阅读下列材料，然后回答问题在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；（）（）（）以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：（）（1）请用不同的方法化简参照（）式得=_参照（）式得=_（2）化简：【答案】（1），；（2）原式=（图）（图）ACB9(2009某)问题背景：在中，、三边的长分别为、，求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积（1）请你将的面积直接填写在横线上思维拓展：（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法若三边的长分别为、（），请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积探索创新：（3）若三边的长分别为、（，且），试运用构图法求出这三角形的面积。10（2009 某大兴安岭）已知：在中，动点绕的顶点逆时针旋转，且，连结过、的中点、作直线，直线与直线、分别相交于点、图2图3图1(N)（1）如图1，当点旋转到的延长线上时，点恰好与点重合，取的中点，连结、，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论（不需证明）（2）当点旋转到图2或图3中的位置时，与有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明【答案】图2：图3：证明：如图2，取的中点，连结、是的中点，是的中点， 同理，图3，, 73 / 12