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高等数学作业ah答案吉林大学公共数学教学与研究中心2018年3月、单项选择题2.3.班级F列反常积分收敛的是/ 人、 ln x , (A)2 dx;x/ 、1(C) dx ；2 x(ln x)F列反常积分收敛的是0 cosxdx第一次作业C ).20 dx(x 1)姓名(B)(D)C.设f (x)、g(x)在a, b上连续，则由曲线所围成平面图形的面积为(C ).b(A) f (x) g(x)dx; a(B)学号b(C) a | f (x) g(x)|dx; a(D)(C ).20(42、x )dx ;(C)20(4x2)dy ;5.设点A(x,sin x) 是 曲线y与曲线y sinx所围成图形的面积,(A) x为同阶无穷小;(C) x3为同阶无穷小;dx ； xln x1, dx -xn x1- dxx 1D.(2xf (x) , y g(x)，直线 xb| f(x)|abf(x)a4所围图形面积为S,sin x(0则当|g(x)|dx ;g(x)dx .Jdx1)a, x b则下列各式中，错误的是(B) S 2 o /ydy ；(D) S 2Jxdx .0x )上一点，记 S(x)是直线 OA (。为原点)x 0 时，S(x)与(D ).(B) x2为同阶无穷小;(D) x4为同阶无穷小.6 .设0 g(x) f (x) m (常数)，则由y f(x), y g(x), x a, x b所围图形绕直线y m旋转所形成的立体的体积等于(B ).b(A) 2m f (x) g(x)( f (x) g(x)dx； ab(B) 2m f (x) g(x)( f(x) g(x)dx; ab(C) Xm f(x) g(x)(f (x) g(x)dx; ab(D) Xm f (x) g(x)( f (x) g(x)dx - a二、填空题1 .已知反常积分xeax dx收敛，且值为1,则a -.022 .摆线 x 1 C0St 一拱(0 t 2 e的弧长 8.y t sintcdx 兀3. -3 - x2 25 殳mx4. 反常积分0 dx(m 0, n 0),当m, nW足条件n m 1时收敛.5. 由曲线y x2,x y2围成图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积为旦10二、计算题0 x1. 用定义判断无穷积分一Wdx的收敛性，如果收敛则计算积分值.1 ex0 ex0 d(1 ex)解：1 ex1 ex_x _ 0-ln(1 e ) ln2则该无穷积分收敛.2.判断反常积分的收敛性:sin x1 就解：Qsin x上收敛.x3业dx收敛.，x33.已知limx24x2x edx ,求a的值.解：limxx(aa)limxx_ aa axaeae2a e由已知e2a24x ea(2 a22a4.求连续曲线解：由cosx兀s 2sTt22xdx2 ,2x de2 2x2x e-2 2a2a e2 2a2a e2x2x xedx.2x xde2xe 2x a2a2ae2x ,e dxc 2 2a 2a e(2a2 2a 1)e2a.2x1)e 2a，即 a(a 1) 0 .所以0可知xTt2y 2dx 2costdt的弧长.TC2x .因此所求弧长为2。21.cosx dx兀2 2 v 2cosdx 4 .025.计算由x轴，曲线y JFW及其经过原点的切线围成的平面图形绕 成立体体积.解：设切点为（冷，y）,则过切点的切线方程为12 ,xy。-(X x。) 12, y1 .1,22,Vx7t31 2兀 1 (x 1)dx22 x27tTt7tx .3216令 X 0,Y 0 ,得 x。x轴旋转所生6. 在第一象限内求曲线y x2 1上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小，并求此最小面积.解：设所求点为(x, y),则过此点的切线方程为Y y 2x( X x).x2 1 由此碍切线的x轴截距为a , y轴截距为于是，所求面积为-1S(x) ab 21 3 -x 410(14x1)dxC1S(x)41423x3x0,1解得驻点x十.又因为S36x所以x也是最小值点.故所求点为13,而所求面积为2y x (x0)上某点A处作一切线，使之与曲线以 x轴所围图形的面积为1,试求:12(1)(2)(3)切点过切点A的切线方程；由上述所围平面图形绕 x轴旋转一周所围成旋转体体积.A的坐标;解：设切点A(x0,y),则切线方程为：2x 2x(x得切线与x轴交点为至0 .2，由： x2dx 1 也 x21 ,得 x02 212切点为A(1,1),切线方程：2x 112 1 -2 302 21(x ) dx38.半径为r的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中提出，问需作多少功？解：取球浮出水面后球心为原点建立坐标系，则, 22、(r y )dy g (r y),22、g (r y )(r y)dy4gr第二次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题2y 2z3 0的关系(A )(B)重合；(D)斜交.1,平面x y z 1 0与2x(A) 平行，但不重合；(C) 垂直；2.平面z 1与曲面4x2 y2不相交；交线为一个椭圆;(B)交于一点；(D)交线为一个圆.223 .方程2L匕24z所母的曲面为(C).(A)椭球面；(B)柱面；(C)双曲抛物面；224 .曲面 x yz2 a2 与 x2 y2 zax(a0)的交线在D ).(A)抛物线；(B)双曲线；(C)椭圆;5 .设有直线L1J匕业 J与L121x y 62 :2y z 3(C)(D)旋转抛物面.,贝U Li与L2的夹角为xoy平面上的投影曲线是(D)圆.(C ).(B)4(C)(D)-26.设有直线x3y 2z1 02xy 10z3兀；(B)在兀上;L:及平面0(A)平行于:4x2y2 0，则直线L ( C ).(C)垂直于兀;(D)与兀斜交.7t二、填空题1 .设a, b均为非零向量，且|a b| |a b|,则a与b的夹角为22. 设向量x与向量a 2i j k共线，且满足 a x 18,则x (6,3, 3)一.t 2,3 .过点M (1,2, 1)且与直线 y 3t 4,垂直的平面是 x 3y z 4 0z t 14.若 | a | 3, |b| 七疙，且 a, b 间夹角为 -，则 |a b | 5 , |a b |3 .4一一5. xoz平面上的曲线z 6 x6.曲线2y z 3x 1绕z轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为x.求点(2,1,3)到直线 土匕的距离. y2 1 .y2在xoy面上的投影曲线方程为*2 y2 2y 21解：s (3, 2, 1)设 M 0(2,1, 3), M ( 1,1,0)则 MM 0 (3,0,3) S MM 0 6i 12j 6k|S MM 0 | 6 21d ! |S|73 .求曲面x2 y2 z 0与平面x z 1 0的交线在Oxy平面上的投影曲线.解：因为曲线 x y z 0,在Oxy平面上投影就是通过曲线且垂直于Oxy平面的柱面 00z 0. x 3 y 2 z7. 右直线L平行于平面 冗：3x 2y z 6 0，且与已知直线 L : - -垂2 41直，贝U L 的方向余弦(cos , cos , cos )为-x z 1 0与Oxy平面的交线，所以，只要从曲线的两个曲面方程中消去含有z的项，则可得到垂直 于Oxy平面的柱面方程., ,85.25525三、计算题1 .求过直线 L1 :史2 匕J2，且平行于直线 L2: J2 匕里 的平面 兀的102212方程.解：过L的平面束为：2x z 2 (y 1) 0即 n (2, ,1)，由 n 与 S (2, 1, 2)垂直，有 42 0,2，所求平面为2x 2y z 4 0.于是得到在z 0,消去z,得到关于0Oxy平面的投影柱面0,Oxy平面上的投影曲线为2 y0.1 0,4 .求过平面2x0和平面4x 2y3z2226的交线，并切于球面x y z 4的平面方程.解：过L平面束为4x2y3z6(2x y)即(4 2 )x (2)y3z由 ,(4 2 )得 2则所求平面为I 6|2(2)5.设有直线L:x 2yx 2y1 0 ，平面兀：x1 0y 0,求直线L与平面兀的夹角；如果L与兀相交，求交点.解：L的方向向量(1,2,1)(1, 2,1)(4, 0, 4)z轴的正向构成相等的锐角，求向量a的方向余弦.而 n (1,1,0)sin|S n|4 1|S|n|4扼而26将yx代入L方程.解得x1 11一，y 一，z -2 22交点1112,2,2a与x轴的负向及y轴、6.向量解：依题意知丸,02)cos因为22coscos2 cos21 ,即 cos (所以23cos1或cos.3故 cos, cos3技33 ,cos .2第三次作业学院 班级 姓名 学号、单项选择题221. lim xyln x y ( B ).x 0 y 0(A ) 1 ;(B) 0;2 .二元函数 f x, y Jx y0, x, y(A)不连续，偏导数不存在；(C)不连续，偏导数存在；1(C) ；( D)不存在.20,0 ,在点(0,0)处( D ).0,0(B) 连续，偏导数不存在；(D) 连续，偏导数存在.3. 设f(x, y) y(x 1)2 x(y 2)2 ,在下列求fx(1,2)的方法中，不正确的一种是(B ).(A) 因f(x,2)2(x 1)2, fx(x,2) 4(x1),故fx(1,2)4(x1)0;(B) 因f(1,2)0，故 fx(1,2)00 ；(C) 因fx(x,y)2y(x 1) (y2)2 ,故fx(1,2)fx(x,y)x 10；y 2(D) W,2) limE f(12) lim2(x 1)20 0.x 1 x 1 x 1 x 14.设函数f(x, y)在点P(x0,y。)的两个偏导数fx和fy都存在，则( B )(A)(/* 存在;(B) lim f (x, y0)和 lim f (x0, y)都存在;x x0y y(C) f(x, y)在P点必连续;(D) f (x,y)在P点必可微.5 .设 z f (x, y), 2 y2,且 f (x, 0) 1, fy(x, 0) x,则f (x, y)为(B ).(A) 1 xy x2(B) 1 xy y，一、2(C) 1 x y222y ;(D) 1 x y y .二、填空题11 xy1 lim :-y 0 xy1/22.设函数Zy4，则。(0,0)3.设 f(x,y)x2y2 ,则 fx (3,4)2/5, fy (3,4)1/54.设z xydx5.设函数u(x, y)f (x y) f (x阶导数,2则-uux2u2y二、计算题1 .设 z xy证明：因为2.讨论函数y)lim0 0xx 2 dyyg(t)dt，其中f具有二阶导数， g具有,证明x z1zzy一 xy xlnx，ln所以x yyx z1zyy xln xyx2x xy220,22,xyx y0,2 x2 y00,x12z yyx的连续性.f(x, y)(0,0)xy 2z.x, y沿y轴(x=0)趋于02x xyx时,x, y沿x，趋于 0(0, 0)时,2.xxylim 2x 0xyy x 0xylim 驾 1 x 0 2xlimx 0y 0x,y.不连续x, y沿y kx趋于0(0, 0)时,limxy kx2 x0 x20 xxy2 y1 klim 2x o 1 k22 x2x1 k1 k2与k有关，不连续3.设(1xy)yyxyxy解一取对数In zIn 1xyIn 1xyxyxy y ln 1xy解二:yln 1 exyylnxyIn. . dzy2 14.求uyz t2et dtxz5 .设rxy1 xyy 1 xydxxyIn1+xy的偏导数.xz t2e dt0yz t2 e dt0xydyx2z2 ex2z2 e证明:2r-2xey2z2验证：当0时,2r2x2r2y2r2z2x22y z2-A，同理:3r2_r2 y2y3 r2_r2 zyxy22r z3r22rr2xy222223r x y x 2r2233-rr r16.设 f (x, y)(x2212y )sin2 , x yx y22,x y0，问在点(0,0)处,0(1)偏导数是否存在?(2)偏导数是否连续？(3)是否可微?解：(1) fx(0,0)lim f(0x,0) f (0,0)x 01(x) sin2lim q0,x 0 xfy(0,0) lim0f(0,0 y) f(0,0)y2.1(y) sin j ( y)y0,故函数在点(0,0)处偏导数存在.(2)当(x,y) (0,0)时,一、c .1fx(x, y) 2xsin 2x y, 22、(x y )cos- x2x22 2(x y )c .12xsin 2x y2x2 2x y 一1又 ljm/xWy) km/xsin 2;0y 0x y2x22x y当(x,y)沿x轴趋于(0,0)时，上式 22) xy122-cosxx1lim(2 xsin y 012 x)不存在, y故偏导数fx(x, y)在点(0,0)不连续.由函数关于变量x,y的对称性可知，fy(x,y)在点(0,0)不连续。(3)z f(0x,0 y) f(0,0) ( x)2 ( y)2sin(x)2 ( y)2lim0z dzlimx 0y o(x)2(y)2sin1(x)2 ( y)2.(x)2 ( y)2(y)2_ ilim . u sin u 0 u0, 1u ( x)2m0 .( x)2 ( y、sin 22x 0( x) ( y)即 z dz o(),故du 0 ,函数在(0,0)可微.第四次作业学院班级姓名学号、单项选择题B ).1.设z f( 2y 2)，其中f(u)为可导函数，则 =(22、2xy；(B) 2xyf(x y)；222222f 222222 (x y )f (X y )2 2 2 2 2 2 yf (x y ) .5、 f (x y ) yf (x y)222，ID /222f222222(x y )f (x y )2 .设隐函数z z(x,y)由方程 F 0所确定，其中F可微，且F20 ,则x xzzx y ( D )xy(A) yFl zF2 ；(B) 旦；(C) 0;(D) z.xF2F23.设u f(x y,xz),其中f有二阶连续偏导数，则 一u( C )x z(A)f2xfii(x z) fi2xzf22 ；(B) xfi2 xzf22；(C)f2xf12xzf22 ；(D) xzf22.4.设u u(x, y), v v(x, y)都是可微函数，C为常数，则在下列梯度运算式中，有错误的是(A ).(A) C 0;(C)(u v)u v;(B) (Cu) C u ;(D) (uv) v u u v.而r Jx2 y2 z2 ,且函数f(r)具有二阶连续导数，则2u2 x2u2y2u-(B z)1f (r);(B) f (r)-rr1 , ,、 1 , ,、1、T f (r) - f ()；(D) t f (r)r rrf (r)f (r)；u f (x, y)在点(为，y)处沿任一方向的方向导数都存在是它在点 的两个偏导数都存在的(D )条件.(A)充分必要；(C)充分非必要；6.函数(X0,y0)处二、填空题已知(1,2)处对2.3.4.(B)必要非充分；(D)既非充分又非必要.f(1,2) 4,df (1,2) 16dx 4dy,df(1,4) 64dx 8dy，则 z f(x, f(x,y)在点x的偏导数为 192_x 2y3e , x sint, y t ,设函数z f (x, y)满足一2 yr . x2 y2在点三、计算与解答题1 .设zx3fxydx解:3x2ff yf14x3 f1sinte2 ,且 f(x,0)(0, 0)处沿* cost 6t21,fy(xQ) x ,x轴正向的方向导数为,f具有连续的二阶偏导数，求f2x4x3 f1 2xf2 x4yf11f1_y_2x3x2fx3 yf1xyf2f11yf122xf2x2f21yf22_y_2x2 .设z解一：(3x 2y)3x 2 yd Inzd 3x2yIn 3x 2y ,1 dzz3x-2yIn3x 2y3x2yd In 3x 2ydz3x2y3x 2yIn 3x2y3dx2dy解二:v,u3x2y,v3x2yzxuxzvvx3x2y3x 2yln 3x2y 1zyzuUy3x3x 2y2yIn3x 2y.dz3x3x2y2yIn3x2y3dx 2dy3.设 f,是c类函数,yf(1) x2 z2x2z y xyf2z2x_y2 x_y_ 2x_yx_y2 x2 y3 xx2y_y2 xy2z2y4.设1ln x22y2fln x2y2arctanyxy arctan x2x 2y22x yyx2x21堕xyy2y(y x)y(x y),二阶:Fy5.设x, y1 In2y2x y yx y2x yc 222 x y3x yarctan -, Fxx2x2 y2_yxx y22x y2y2 yx_2y_2x.dydxFxFyyx yy, y -xyx2 yx2 y222x yx3 y3x y211yyf (x, t)，而t是由方程F(x, y,t) 0确定的x,y的函数，其中f ,F具有阶连续偏导数，且FtftFy0,求dydx解：由y f (x,t),有dydxfx由F(x, y,t) 0有由 dxFxdy Fy .dx,FtFxFdyy .dxdxFt(Ft,，dvftFy)-2fxFtft Fxdx6 .设 u f (x, y, z),(x2, ey, z)0, y sin x ,其中求f,是C类函数，求史.dx,Fz 3F x, y,z2 x2,e xz,Fx2 2x, Fyy2ez Fx一 一- ，2x 1zFyey，2x Fz3,yFz，3du -T f1 dxf2 cosxf32x 1 ey 2cosx33f1f2cosxf3_ ，2x 1sin x e 2 cosxduf1dx， ， f2dy f3dz du f2dy f3dz， f1dx解二：全微分12xdx2ey dy3dz0y 即2e dy3dz- 2xdxdycosxdxdy cosxdx代入消元解得：duf1- ， f2 cosx f3 2xjL-sin x ecosx 2 , dx .既夺(fxFtftFx)/(FtdXft Fy)34x的该点切线方向的方向导数.11. czy 1,21zx, zy,zx 1,2x yx y3y 2衣yc 112 次 tx y1,21tan127 .求函数z ln(x y)的点(1,2)处沿着抛物线y_3_31 , 2,1 T , 2 二4444.2cos 1 cos 1cos42cos 2 cos 213cos 41,2zx 1,2 cos 1 zy 1,2 cos 11 皇32231,2/22班级姓名学号1 z 1,2 cos 2 zy 1,2 cos 23第五次作业68、单项选择题t2,z t3的所有切线中,(B)只有两条；1 .在曲线x t, y(A)只有一条；2 .设函数f(x, y)在点(0, 0)附近有定义，且与平面(C)fx(0,0)x 2y z至少有三条；3, fy(0,0) 1,4平行的切线(B ).不存在.C ).(D)则(A)(B)dz(0, 0)曲面z3dx dy ;f(x, y)在点(0, 0, f (0,0)的法向量为3,1,1;曲线f(x, y),在点(0, 0, f (0, 0)的切向量为1,0,3; 0(D)曲线f(x, y),在点(0, 0, f (0, 0)的切向量为3,0,1.03.曲面f(y z)的任一点处的切平面 (D ).(B)平等于一定平面;(D)平行于一定直线.垂直于一定直线； 与一定坐标面成定角;u(x, y)在平面有界闭区域上是C类函数，且满足2u2u2y(A)(B)(C)(D)0,则 u(x, y)的(B ).最大值点和最小值点必定都在最大值点和最小值点必定都在最大值点在 D的内部，最小值点在最小值点在 D的内部，最得到值点在的内部；的边界上；D的边界上;D的边界上.5 . 函数 u sinxsin ysin z 满足条件 x y兀， -(x 0, y 0, z0)的条件极值为(D ).(A) 1;(B) 0;1 (D)-、填空题1 .如果曲面xyz 6在点M处的切平面平行于平面 6x 3y 2z 1 0 ,则切点M的 坐标是 (-1, 2, -3).22. x y2 .曲面z 与平面y 4的交线在x 2处的切线与x轴正向所成的角为 一.4 j4333. 设z 3axy x y，则当a_ 0时，点a,a为极大值点；当a_ 0时， 点a,a为极小值点.4. 曲面z2 xy 1 0到原点的最短距离为 1.5 .函数u Jx2 y2 z2在点M (1,1,1)处沿曲面2z x2寸在该点的外法线方向的 、，1方向导数是.三、计算题0的切平面方程.2z ,于是椭球面2221 .求椭球面2x 3y z 9的平行于平面2x 3y 2z 1 解：设 F 2x2 3y2 z2 9，贝U Fx 4x, Fy 6y, Fz2222x 3y z 9上过点(x, y, z)的切平面的法线向量为vn k 2x,3y, zv 平面2x 3y 2z 1 0的法向量mv uv2, 3,2,且 n/n1 ,所以1 ky12-,z -.kk又点(x,y,z)在椭球面上，代入得切点为(1, 1,2),( 1,1, 2),从而所求切平面方程为 2x 3y 2z 9.,10x 2y 2z 27,工 222 ，一 ，一2.过直线作曲面3x y z 27的切平面，求其万程.x y z 0解：设切点为Mo(xo,y, zo),切平面方程为：3xxyyzz270过已知直线的平面束方程为10x 2y 2z 27 xyz 0即：(10 x) 2 z 27 0当为同一平面时有：103xo,2y。，(2) z且 3x2 y2 z。27x3x3解得y1或y017z01z17对应的切平面方程为:9x9xy z 17y27 017z 27 03.证明曲面x2/32/ 32/3y z2/3 a(a0）上任意点处的切平面在各个坐标轴上的截距0）为曲面上任一点平方和等于a2 .设 M 0（x,y 0,z切平面方程为:即:i3x xM(x1133y。y z z、2x) -y02a3yo2 33 Z0zZ0z 0得x轴截距1 2n3a3同理Y1 2z03a3x22Y2 Z2(x032y0324z3)a34.求函数f(x, y)2x(2y222x2y lnx2(22 一y ) y In y的极值.fx.令fy得驻点1M 0, e fxx2(2 y2),21fxy 4xy, fyy 2x - y1 M 处：AC-B 20, A0 , . 极小值 f 0,-e5 .求函数f (x, y) x 小值.12x16y在区域(x,y)|y2 25上的最大值和最fx 2x 12 0x 6不在D内，fy 2y 16 0y 8在边界x2 y225 上，fx, y 25 12x 16yx,y 25 12x16yx2y2 25D内无极值点LLx 12 2 x 0Ly2x162y2 y 025解得f 3,75最小3,4125最大6.在椭圆x2 4y2 4上求一点，使其到直线 2x3y 6 0的距离最短.解：设P(x, y)为椭圆x2 4y24上任一点，则P到直线2x 3y 6 0的距离d |2x 3y 6|求d的最小值点，即求d2的最小值点,作函数解得曰ZEF(x,y,FxFy6)2(x24y24),4136132x2x 3y2x 3y4y2 4xiVi8535d|(xi由实际定义最短距离存在，因此0,yi)2x8y0,0,x2V28535d 1 x2, y211, 138 3即为所求点.5 5阶段测试题学院 班级 姓名 学号、单项选择题(每小题 3分，满分18分)2221 .曲面x y zD ).2 .a与x y z 0 ( a 0)的父线是(A)抛物线(B)双曲线(C)椭圆(D)圆0x y(A)为(B)1(C)为(D)不存在3.双纽线22 2(x y )2 一y所围成区域面积可用定积分表示为(2 .极限lim xy(A) 2 4cos2 d0(C) 2 ； . cos2 d2224.曲线x y Z 6在点x y z 0(A) xoy平面(C) zox平面0)处，(x) f (x,0)在 x 0处(A ).(A)均连续(C)均不连续(B)均不一定连续(D)(x) 一定连续,f (x, y)不一定连续(B) 4 下2 (D) 2 04(cos2 ) d M (1, 2,1)处的切线必平行于(C ). (B) yoz平面 (D)平面 x y z 0x ,5. f (x, y) arctan-的(0,1)处的梯度等于( A ).(A) i(B) j (C) j(D) i cos2 d0、填空题(每小题 3分，满分21分)dx2X2 25 52 .若向量a (3, 5,8)与b ( 1,1, z)的和与差的模相等，则 z一，3x1、3 .已知 f (x, y) e ln 2y，贝U fx(0,)2，fyy(0,1)-1xyz在点 M(1,1,1)处沿 b=(0 ,1 ,2)方向的方向导数最大，方向导数的最大值为匠.at) (x1 x at砌云xatf(t)dt，其中f,C，则6.曲面z2与平面y 4的交线在x 2处的切线与x轴正向所成的角为7 .设z2x yt0 f (t,e)dt,其中f具有一阶连续偏导2xf 2x3y(f1 eyf2).三、解答题(每小题8分，满分40分)e dx1 .判断反常积分一的收敛性，如果收敛则计算积分值.1 x .1 (ln x)2解： 一=,d(lnx) - = arcsin(lnx)e , 贝叫攵敛x 1 (ln x) , 1 (ln x)2x y b 0222.设直线L:在平面 上，且平面又与曲面z x2 y2相切于点x ay z 3 0(1, 2,5)，求 a, b 的值.解：曲面在点M0的法向量n (2x, 2y, 1)M (2, 4, 1),切平面的方程为:2(x 1) 4( y 2) (z 5) 0即将L的方程改写成参数方程2x 4y z 5 0y x bz (1 a)x ab 3代入的方程，解得a 5, b 2 .3.求曲线y 戒的一条切线l ,使该曲线与切线l及直线x 0, x 2所围成的图形解：由y1 ，十，所以点（t,2 .x成）处切线方程为:围成图形面积人1令 S (t) t22t又 S (1) 0因此,当t 1时,2S(t)00,得t 1SPy 21xx :1 x 2.tt 423 x dx2S取最小值，此时,l方程为x.、f (2x y, ysin x) xg(e ln y)2z其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶导数解：z f (2x y, ysinx) xg(exln y)zxf1 2f2 ycosx g x g cos xyf2xexln y gxe ln yg2z2fn(1) f12 sinx cos f2 cosxy f21 ( 1)f22 sinxxyx 1xe -gyln yetyx,而t是由方程y2t2x2 1确定的x, y的函数,业ty dt e y &1(1tety禅yety虫1dxdxdx即dxdx2ydydt 2t2x 0dy dt y t xdx dxdx dx5.已知y解法1:ycosx) f122f11 (2sin xysin xcosxf22 cosxf2 (xx1) egy求虫dx2x xe . ln ygydy1yetyxt-tyt xyedx1.tytyteyeytt (y2 t2)ety解法2:在方程组两边求微分，及dy ety(ydt tdy) dxL (1) 2ydy 2tdt 2xdx 0L (2)由(2) dt代入dyty xdx ydye y ttdydy1yetyxtdx1 tetyyetyytdx 整理及tty t xye(y2 t2)ety解法3:方程y2 t2 x2 1确定t t(x, y),则里x t y t四、证明题(满分7分)yeyt(x,y)xdxdx一 yt(x, y) dy ,t y xt dy y dx1et dxAty1 ye业ty + dy e t yx -yy业1解得dy _x t+1/dxdxttdxdx 1teyeytt xyety_72 2 ty t (y t )e证明函数f(x, y)(x22 -y )sin0,0,在点(0, 0)处可微，但偏导数在点(0, 0)处不连续2.1(x) sin证明：fx(0,0) llm )-同理 fy(0, 0) 0fx(0, 0) xfy(0, 0) y ( x)2 ( y)2sln ；?(x) ( y)(x)2lim x 0y 02(y) sin122(x) ( y)(x)2( y)2lixm0( y)2 sin -y 0(x)2 (y)2f(x, y)在(0, 0)可微.而 x2 y2 0 时，fx (x, y) 2xsin(x2.212xy)C0S -22 22x y (x y )limx 0y 0fx(x, y)不存在，同理五、应用题(每小题1.解:2xsin 2 1 2 x y2x122 cos 2 2，x y x yljm, fy(x, y)不存在，故f (x, y)在(0, 0)处偏导数不连续. y 07分，满分14分)2xa设第一卦限内顶点为求内接于椭球面2 L x 2x 2y 2z 且 a作 L(x,y, z)xyz2 y b22 xa22与1,且棱平行于对称轴的体积最大的长方体.b cp(x, y, z)则长方体长、宽、高分别为2x、2y、2z2 zc2y_1.Lxyz令LyxzLzxy由-得:2 x2 a2 y亍2 zc2xa2匕b22，曰X侍az21c23ax .3,yb3,z有 由实际意义可得1cm,如果铁锤每次打击所作的功相等，问铁2.用铁锤将铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比, 在铁锤击第一次时，能将铁钉击入木板内 锤第二次能把铁钉又击入多少厘米？解：设铁钉被击入深度为 x,F(x)kx由题意:t1kxdx1kxdx0V2 1厘米.、单项选择题班级第六次作业姓名学号1 .设 f (x, y)连续，且 f (x, y)xyf(x, y)dxdy，其中 D 是由 y 0 , y x2 ,Dx 1所围区域，贝U f(x,y)等于(C)1(C) xy 甘；2 .设D是xOy平面上以(1, 1), (-1, 1)和(-1, -1)为顶点的三角形区域， Di是D的第 象限部分，贝U(A) xy；(B) 2xy ;(D) xy 1 .(C)(xy cosxsiny)dxdy 等于(A ).D2 cosxsin ydxdy ;Di4 (xy cosxsin y)dxdy ;Di(B)(D)2 xydxdy ;Di0.3 .设区域D x, y xa、. f(x) b.,. f(y)22y 4, x 0, yf(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则d .f(x)d f(y)(A)ab：t(B)(C) (a b)兀(D)a bTt224 .设平面区域D : x1, M(x y)3dD,N22 ,cosx sin y d ,DP 22,P e x y 1dD(A) MN(C)MPP；N ;)(B) N(D) NM P；P M .5.设f (x, y)为连续函数,(C)2 dx02 dy0寸1 x2f (x,y)dy.1 y2y f (x, y)dx1o f (r cos , rsin )rdr 等于(C )_2(B)2 dx0_2(D) o2 dyJi x20 f (x,y)dy170 f(x, y)dx二、填空题1. r,4 r, 、.2 y 21.交换积分次序:dx xf (x, y)dy 1 dx x 2 f (x, y)dy 1dy y2 f x,y dx.t t2, 设f (x)为连续函数,3. 设区域D为x2 y2F(t) 1dy y f (x)dx，则 F (2) f (2)22_ 4-2丽 XR11R ,贝U dxdy f =-d ab4ab.a,右0 x 1 一 4,设a 0, f (x) g(x)，而D表示全平面，则0,其他I f (x
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