整理版几何证明

几何证明 1陕西高考理科5如图,的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm,以AC为直径的圆与AB交于点D,那么 . 此题考查几何证明选做题的解法，属送分题【思路点拨】条件结论【标准解答】因为以AC为直径的圆与AB交于点D,所以，【答案】2陕西高考文科5如图，RtABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，那么BD cm.此题考查几何证明选做题的解法，属送分题【思路点拨】条件【标准解答】因为以AC为直径的圆与AB交于点D,所以，【答案】3北京高考理科2如图，的弦ED，CB的延长线交于点A。假设BDAE，AB4, BC2, AD3,那么DE ；CE 。此题考查几何证明的知识。运用割线定理是解决此题的突破口。【思路点拨】此题可由相交弦定理求出DE，再利用三个直角三角形 中求CE。【标准解答】由割线定理得，即，得。连接BE，因为，所以BE为直径，所以。在中，。在中。在中，。【答案】5 24天津高考文科1如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P。假设PB=1，PD=3，那么的值为 。【命题立意】考查三角形的相似性质的应用。【思路点拨】利用相似三角形的性质转化。【标准解答】由题意可知相似，所以。【答案】5天津高考理科4如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，假设,那么的值为 考查三角形的相似性质的应用。【思路点拨】利用相似三角形的性质进行转化。【标准解答】由题意可知相似，所以,由及条件可得,又,。【答案】6广东高考文科14如图3，在直角梯形ABCD中，DCAB，CBAB，AB=AD=a，CD=，点E，F分别为线段AB，CD的中点，那么EF= .此题主要考察平面几何中直角梯形以及三角形中位线的性质.【思路点拨】利用直角梯形的性质，求出，再利用三角形中位线的性质，求出【标准解答】过连接，那么四边形为矩形，所以且，所以， , , 所以是以为底的等腰三角形，即：=，又点E，F分别为线段AB，CD的中点，所以为的中位线，所以【答案】7. 广东高考理科14如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=，OAP=30，那么CP_. 此题考察垂径定理及相交弦定理.【思路点拨】由垂径定理得，算出，再由相交弦定理求出【标准解答】因为为的中点，由垂径定理得，在中，由相交弦定理得：，即，解得【答案】8.江苏高考2AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，假设DA=DC，求证：AB=2BC。此题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。【思路点拨】利用圆心角和圆周角之间的关系证明OB=BC=OD=O即可.【标准解答】方法一：连结OD，那么：ODDC，又OA=OD，DA=DC，所以DAO=ODA=DCO， DOC=DAO+ODA=2DCO，所以DCO=300，DOC=600，所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。方法二：连结OD、BD。因为AB是圆O的直径，所以ADB=900，AB=2 OB。因为DC 是圆O的切线，所以CDO=900。又因为DA=DC，所以DAC=DCA，于是ADBCDO，从而AB=CO。即2OB=OB+BC，得OB=BC。故AB=2BC。9辽宁高考理科22如图，的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点EI证明：II假设的面积，求的大小。此题考查了几何证明，相似三角形判定和性质，圆周角定理，考查了三角形的面积公式等。【思路点拨】I先相等的两角，再证相似。 II先由三角形相似，得到ABAC=ADAE再比拟三角形的面积公式，得到sinBAC,进而求出BAC。【标准解答】所以ABEADCII因为ABEADC10. 海南高考理科T22如图：圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于 E点，证明：=. =.此题主要考查了圆的切线、等弧所对的圆心角相等等知识.【思路点拨】熟练利用等弧所对的圆心角相等，判断出三角形相似，然后证明问题.【标准解答】因为,所以.又因为与圆相切于点，故所以. 因为,所以,故.即 . 11湖南高考理科4如图1所示，过外一点P作一条直线与交于A,B两点。PA=2，点P到的切线上PT=4，那么弦的长为 。以直线和圆立意，考查处理平面问题的一种方法：平面几何法.【思路点拨】割切切割线定理【标准解答】PT=4，PA=2，PT2=PAPB，PB=8，AB=PB-PA=6，弦长AB=6【答案】6【方法技巧】弦连接弦中点和圆心，切连接切点和圆心，联想弦切角等于同弧所对的圆周角，割切割线定理. 几何证明一、选择题ABDGOFCE1.北京高考理科T5如图，AD,AE,BC分别与圆O切于点D,E,F，延长AF与圆O交于另一点G.给出以下三个结论：AD+AE=AB+BC+CA;.其中正确结论的序号是 A. B. C. D.【思路点拨】利用切割线定理、割线定理、弦切角定理.【精讲精析】选A.AB+BC+CA=AB+(BF+CF)+CA=AB+(BD+CE)+CA=AD+AE，故正确；因为，故正确； ， 不相似，故不正确.二、填空题2陕西高考理科T15B几何证明选做题如图，B=D，且AB=6，AC=4，AD=12，那么BE= 【思路点拨】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解【精讲精析】答案：因为，所以AEB=，又因为B=D，所以AEBACD，所以,所以，在RtAEB中，3陕西高考文科T15B几何证明选做题如图，B=D，且AB=6，AC=4，AD=12，那么AE= 【思路点拨】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解【精讲精析】答案：2因为，所以AEB=，又因为B=D，所以AEBACD，所以，所以4.广东高考理科15几何证明选讲选做题如图4，过圆外一点分别作圆的切线和割线交圆于,且，是圆上一点使得，那么 . 【思路点拨】利用相似三角形对应边成比例，求得的值.【精讲精析】答案：,从而.5.广东高考文科15几何证明选讲选做题如图4，在梯形ABCD中，ABCD，AB=4，CD=2. E,F分别为AD，BC上的点，且EF=3，EFAB，那么梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为 .【思路点拨】利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解.【精讲精析】答案：延长AD、BC相交于点G.由GABGDC，GEFGDC,所以，从而,所以梯形ABCD与梯形EFCD的面积比为3：=,从而得梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为6湖南高考理科T11如图2，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD，垂足为D，BE与AD相交于点F，那么AF的长为_【思路点拨】此题主要考查平面几何的推理和证明.考查圆的切割弦以及三角形的相似和直角三角形的射影定理.【精讲精析】答案：.连结AB、AO、CE、OE，那么是边长为2的等边三角形，AD=，所以得到AF=.考理科.T12如图，圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点，且假设与圆相切，那么线段的长为_【思路点拨】利用相交线及切线的比例关系求解。【精讲精析】答案：设BE=x,那么AF=4x,FB=2x,因为,所以,又三、解答题8.江苏高考21A选修4-1：几何证明选讲如图，圆与圆内切于点，其半径分别为与，圆的弦交圆于点不在上，求证：为定值。【思路点拨】此题考察的是圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质，容易题。解决此题的关键是弦切角定理的应用【精讲精析】由弦切角定理可得9.新课标全国高考理科22如图，分别为的边， 上的点，且不与的长为，AC的长为n,，的长是关于的方程的两个根.证明：，四点共圆；假设，且，求，所在圆的半径.【思路点拨】第问的证明流程为连接四点共圆；第问，利用平面几何的性质，设法寻求圆心位置，然后求得半径.【精讲精析】I连接DE，根据题意在ADE和ACB中， 即.又DAE=CAB,从而ADEACB 因此ADE=ACB 所以C,B,D,E四点共圆. m=4, n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.故 AD=2，AB=12.取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于A=900，故GHAB, HFAC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5.故C,B,D,E四点所在圆的半径为510.辽宁高考理科22选修4-1：几何证明选讲如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=EDI证明：CD/AB；II延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆【思路点拨】I可证，即得CD/AB；II利用三角形全等及平行线的知识可证得，得结论【精讲精析】I因为，所以.因为 四点在同一圆上，所以，故，所以. II由I知，因为，故，从而.连接，那么，故.又，所以.所以.故四点共圆.几何证明一、选择题1.北京高考理科5如图. ACB=90，CD( )A. CECB=ADDBB. CECB=ADABC. ADAB=CDEB=CDADBEC【解题指南】利用切割线定理及直角三角形中的射影定理.【解析】选A.CD，以BD为直径的圆与CD相切，。在中，CD为斜边AB上的高，有，因此，CECB=ADDB.二、填空题2.湖北高考理科15如图，点D在O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交O于点C，那么CD的最大值为_.【解题指南】此题考查直线与圆的位置关系，解答此题的关键是利用直线与圆的位置关系，取AB的中点，连OC，把CD表示出来.【解析】取AB的中点为E，连接CD，OE，那么，要求CD的最大值，那么点D与E重合.可知结果为：2.【答案】2.3.陕西高考理科15如图，在圆中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，垂足为F，假设，那么 .【解题指南】围绕RtBDE和圆的有关性质列出成比例线段.【解析】连接AD,因为，,所以BE=5, 在RtABD中，,在RtBDE中,由射影定理得.【答案】5.4. 广东高考文科15如下图，直线PB与圆O相切于点B,D是弦AC上的点，.假设AD=m,AC=n,那么AB= .【解题指南】本小题要注意利用圆的几何性质。判断出,从而证出是解决此问题的关键.【解析】由题意知，所以,所以所以.【答案】.5.广东高考理科15如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，那么PA=_.【解题指南】本小题要注意利用圆的几何性质。连接OA，AC从而可得, 为等边三角形，, 为等腰三角形，并且AC=CP=1,到此问题根本得以解决.【解析】连接AO、AC，因为,所以,为等边三角形，那么为等腰三角形，且.【答案】.6.天津高考文科13与天津高考理科13相同如图，AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，那么线段CD的长为_.【解题指南】利用相交线及切线的比例关系求解。【解析】设CD=x,那么AD=4x,因为AFFB=CFFE,所以CF=2,又,又.【答案】.三、解答题7. 辽宁高考文科T22与辽宁高考理科T22相同如图，O和相交于两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交 ()； () .【解题指南】据弦切角等于圆周角，证明三角形相似，对应边成比例，证明等式.【解析】(1)由AC与圆相切于点A，得;同理，从而，所以2由AD与圆相切于点A，得;又,从而，所以又由1知，所以.8.新课标全国高考文科22与新课标全国高考理科22相同如图，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点，假设CF/AB，证明：()CD=BC；()BCDGBD【解题指南】1连接AF，作为中间量过渡，证，证明时充分利用图形中出现的平行四边形；2利用图形中的平行四边形及等腰三角形关系，设法寻找BCD与GBD中的两组对应角相等，从而可得BCDGBD.【解析】1因为D，E分别为AB，AC的中点，所以，又，故四边形是平行四边形，所以.而，连结，所以ADCF是平行四边形，故CDAF.因为，所以，故.2因为故.由1可知，所以.而，故.AEBDCO9. 江苏高考21如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD = DC，连接AC，AE，DE求证：【解题指南】要证，就得找一个中间量代换，一方面考虑到是同弧所对圆周角，相等；另一方面由是圆的直径和可知是线段的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到，从而得证.【解析】证明：连接.是圆的直径，直径所对的圆周角是直角。垂直的定义。又，是线段的中垂线线段的中垂线定义。线段中垂线上的点到线段两端的距离相等。等腰三角形等边对等角的性质。又为圆上位于异侧的两点，同弧所对圆周角相等。等量代换.【一题多解】可连接，利用三角形中位线来求证。证明：连接OD，因为BDDC，O为AB的中点，所以OD/AC,于是因为OBOD，所以于是因为点A，E，B，D，都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以和为同弧所对的圆周角，故，所以. 几何证明一、填空题错误！未指定书签。如图,在中,过作的外接圆的切线,与外接圆交于点,那么的长为_【答案】 错误！未指定书签。天津数学理试题含答案如图, ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD/AC. 过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 假设AB = AC, AE = 6, BD = 5, 那么线段CF的长为_.【答案】 错误！未指定书签。如图,是圆的直径,点在圆上,延长到使,过作圆的切线交于.假设,那么_.AEDCBO第15题图【答案】 错误！未指定书签。 高考四川卷理设为平面内的个点,在平面内的所有点中,假设点到点的距离之和最小,那么称点为点的一个“中位点.例如,线段上的任意点都是端点假设三个点共线,在线AB上,那么是的中位点;直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点;假设四个点共线,那么它们的中位点存在且唯一;梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.【答案】 错误！未指定书签。 高考陕西卷理B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB与CD相交于内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. PD=2DA=2, 那么PE=_. 【答案】 错误！未指定书签。 高考湖南卷理如图2,在半径为的中,弦相交于点,那么圆心到弦的距离为_.【答案】 错误！未指定书签。 高考湖北卷理如图,圆上一点在直线上的射影为,点在半径上的射影为.假设,那么的值为_.第15题图【答案】8 错误！未指定书签。 高考北京卷理如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于D.假设PA=3,那么PD=_;AB=_.【答案】;4 二、解答题错误！未指定书签。为外接圆的切线,的延长线交直线于点,分别为弦与弦上的点,且,四点共圆.()证明:是外接圆的直径;()假设,求过四点的圆的面积与外接圆面积的比值.【答案】 错误！未指定书签。选修4-1:几何证明选讲如图,垂直于于,垂直于,连接.证明:(I) (II)【答案】 错误！未指定书签。加题A.选修4-1:几何证明选讲本小题总分值10分.如图,和分别与圆相切于点,经过圆心,且求证:【答案】A证明:连接OD,AB与BC分别与圆O相切于点D与C ,又 又BC=2OC=2OD AC=2AD 错误！未指定书签。高考新课标1理选修41:几何证明选讲 如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D. ()证明:DB=DC;()设圆的半径为1,BC= ,延长CE交AB于点F,求BCF外接圆的半径.【答案】()连结DE,交BC与点G. 由弦切角定理得,ABF=BCE,ABE=CBE,CBE=BCE,BE=CE, 又DBBE,DE是直径,DCE=,由勾股定理可得DB=DC. ()由()知,CDE=BDE,BD=DC,故DG是BC的中垂线,BG=. 设DE中点为O,连结BO,那么BOG=,ABE=BCE=CBE=, CFBF, RtBCF的外接圆半径等于.