数字特征PPT课件

因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 .在这些数字特征中，最常用的是数学期望、方差、协方差和相关系数第1页/共69页第一节 数学期望离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望第2页/共69页一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望 1、概念的引入：、概念的引入：,2121nxxxxxxxnnn 平均值平均值个数个数设有设有，则，则个数值个数值，个数值个数值个数值个数值若其中有若其中有rrananan,2211nanananxkk 2211rrannannann 2211出现的频数，出现的频数，是数值是数值rrrannp kkkapx则其分布律则其分布律取值为取值为若记随机变量若记随机变量,21raaaXrkrppppaaaX2121取值的平均值取值的平均值X kkkapxX的数学期望E(X)第3页/共69页若统计若统计100天天, 32天没有出废品;30天每天出一件废品;17天每天出两件废品;21天每天出三件废品;27. 1100213100172100301100320可以得到这100天中 每天的平均废品数为这个数能否作为X的平均值呢？（假定小张每天至多出（假定小张每天至多出现三件废品现三件废品 ） 例如：例如： 某车间对工人的生产情况进行考察某车间对工人的生产情况进行考察. 车车工小张每天生产的废品数工小张每天生产的废品数X是一个随机变量是一个随机变量. 如何如何定义定义X的平均值呢？的平均值呢？我们先观察小张我们先观察小张100天的生产情况天的生产情况第4页/共69页可以想象，若另外统计可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般天一般不会完全相同，这另外不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不天每天的平均废品数也不一定是一定是1.27.n0天没有出废品;n1天每天出一件废品;n2天每天出两件废品;n3天每天出三件废品.nnnnnnnn32103210可以得到n天中每天的平均废品数为(假定小张每天至多出假定小张每天至多出三件废品三件废品) 一般来说, 若统计n天 ,第5页/共69页这是以频率为权的加权平均nnnnnnnn32103210 当N很大时，频率接近于概率，所以我们在求废品数X的平均值时，用概率代替频率，得平均值为32103210pppp这是以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变量X 的平均值 .第6页/共69页定义定义1 设设X是离散型随机变量，它的分布率是是离散型随机变量，它的分布率是: PX=xk=pk , k=1,2,请注意请注意 :离散型随机变量的数学期望是一个绝对收离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和敛的级数的和.数学期望简称期望，又称为均值。数学期望简称期望，又称为均值。1)(kkkpxXE若级数若级数 1kkkpx绝对收敛，绝对收敛，则称级数则称级数 1kkkpx)(XE即的和为的和为随机变量随机变量X的数学期望的数学期望，记为，记为 ,第7页/共69页例例1,21XX所得分数分别记为所得分数分别记为甲、乙二人进行打靶，甲、乙二人进行打靶，它们的分布率分别为它们的分布率分别为 0 1 2 00.2 0.8 0 1 20.60.3 0.11Xkp2Xkp的数学期望，的数学期望，和和解：解：21XX分）分）分）分）(5 . 01 . 023 . 016 . 00)(8 . 18 . 022 . 0100)(21 XEXE第8页/共69页数学期望的性质数学期望的性质为常数为常数为常数为常数baYbEXaEbYaXEkXkEkXECCE,),()()()3(),()()2()()1( )();12();(2 . 05 . 015. 01 . 005. 0432102XEXEXEpXk ；求；求设设例例1)(2)12(2 . 045 . 0315. 021 . 0105. 00)( XEXEXE解：解：2 . 045 . 0315. 021 . 0105. 00)(222222 XE:)(),12(2”的期望，一般有”的期望，一般有是属于“随机变量函数是属于“随机变量函数这里这里XEXE (4) 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y 独立第9页/共69页 当当X为离散型时为离散型时,它的分布率为它的分布率为P(X= xk)=pk ;绝对收敛，则有绝对收敛，则有若若 1)(), 2 , 1(kkkpxgk 1)()()(kkkpxgXgEYE定理 (1)设Y是随机变量X的函数:Y=g (X) (g是连续函数):)(),12(2”的期望，一般有”的期望，一般有是属于“随机变量函数是属于“随机变量函数这里这里XEXE 则有则有概率分布为概率分布为是二维离散型是二维离散型若若)2 , 1,(,),()2( jipyYxXPYXijji 11),(),()(jikjipyxgYXgEZE第10页/共69页 可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是 n p. XB(n,p), 若设则 X= X1+X2+Xn= np次试验失败如第次试验成功如第iiXi01i=1,2，n因为 P(Xi =1)= p,P(Xi =0)= 1-pniiXE1)(所以 E(X)=则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数.E(Xi)= )1 (01pp= p例2 求二项分布 XB(n,p) 的数学期望第11页/共69页几个常用到分布的期望几个常用到分布的期望pXEpppXk )(;110)10)(1(分布：分布：npXEpnbX )();,()2( )();()3(XEX0, 2 , 1 , 0,! kkekXPk )()!1(!)(110XEeekekekXEkkkk即即第12页/共69页1 . 01 . 01 . 013 . 001 . 0001 . 02 . 01321YX)()4(,)()3(),()2(),(E)1(22XYEYXEXEX 求求求求的分布律的分布律解一：先求解一：先求XYYXXX,)( ,22 4 . 02 . 04 . 0321pX4 . 03 . 02 . 01 . 09410)(2pYX 1 . 03 . 001 . 001 . 01 . 01 . 02 . 0)1 , 3()0 , 3()1, 3()1 , 2()0 , 2()1, 2()1 , 1()0 , 1()1, 1(),(pYX 4 . 092 . 044 . 0)(4 . 032 . 024 . 01)(2XEXE5)(2 YXE1 . 03 . 001 . 001 . 01 . 01 . 02 . 0303202101pXY 2 . 03 . 02 . 0)2 . 0(1 . 02 . 0)( XYE例例 设设(X,Y)的分布律的分布律4 . 02 . 04 . 09412pX第13页/共69页jijiipxXE)(解二：2)1 . 03 . 00(3)1 . 001 . 0(2)1 . 01 . 02 . 0(1 ijijjipyxYXE231312)()(51 . 021 . 011 . 003 . 03021 . 01041 . 032 . 022222222221 . 01 . 01 . 013 . 001 . 0001 . 02 . 01321YX2 . 03 . 02 . 02 . 01 . 02 . 01 . 033 . 00031 . 02001 . 0)2(1 . 011 . 002 . 01)( XYEjijiipxXE22)() 1 . 03 . 00(3) 1 . 001 . 0(2) 1 . 01 . 02 . 0(1222第14页/共69页二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望 设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在数轴上取很密的分点x0 x1x2 ,则X落在小区间xi, xi+1)的概率是1)(iixxdxxfiixxf)(小区间xi, xi+1)阴影面积近似为iixxf)()(1iiixxxf第15页/共69页 由于由于xi与与xi+1很接近很接近, 所以区间所以区间xi, xi+1)中的值中的值可以用可以用xi来近似代替来近似代替.iiiixxfx)(这正是这正是dxxfx)(的渐近和式的渐近和式. 近似近似,iixxf )(因此X与以概率取值xi的离散型r.v 该离散型该离散型r.v 的数学的数学期望期望是是小区间xi, xi+1)阴影面积近似为iixxf)(第16页/共69页由此启发我们引进如下定义由此启发我们引进如下定义.定义定义2 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 f (x),如果积分如果积分dxxxf)(绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望, 即dxxfxXE)()(请注意请注意 : 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分的积分.第17页/共69页 )(),()3()(;, 00,1)(X)2(2)(),()1(2XENXXExexfbaXEbaUXx正态分布正态分布其他其他指数分布指数分布均匀分布均匀分布例例1.几个常用的随机变量的期望几个常用的随机变量的期望 其它其它的概率密度为的概率密度为解：均匀分布解：均匀分布01)(bxaabxfX babadxabxdxxxfXE2)()(.),(的中点的中点即数学期望位于区间即数学期望位于区间ba第18页/共69页 当当X为连续型时为连续型时,它它的密度函数为的密度函数为f(x).若若绝对收敛，则有绝对收敛，则有 dxxfxg)()( dxxfxgXgEYE)()()()(定理 设Y是随机变量X的函数:Y=g (X) (g是连续函数) 该公式的重要性在于: 当我们求Eg(X)时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.第19页/共69页密度密度即具有概率即具有概率上服从均匀分布上服从均匀分布在在设风速设风速,), 0(aV 其它其它001)(avavf.), 0(:2的数学期望的数学期望求求常数常数的函数的函数是是压力压力又设飞机机翼受到的正又设飞机机翼受到的正WkkVWVW 2022311)()(kadvakvdvvfkvWEa 解：由上面的公式解：由上面的公式第20页/共69页:)();(,21)(X. 32解解求求的密度为的密度为设设例例XEXEexfx )(021)(奇函数奇函数 dxexXEx221221)(0222 dxexdxexXExx第21页/共69页)(,(,是连续函数是连续函数的函数的函数是随机变量是随机变量设设gYXgZYXZ 则则是一维随机变量是一维随机变量,Z则则有有概概率率密密度度为为是是二二维维连连续续型型若若),(,),(yxfYX dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(.积分或级数都绝对收敛积分或级数都绝对收敛这里假定上两式右边的这里假定上两式右边的第22页/共69页).(),()2(,)1(XYEXEA求求求系数求系数211)sin(),(2/02/0 AdxyxAdydxdyyxf，得，得 ）由于）由于解：（解：（1,020 ;20)sin(),(,其它）的概率密度为（设二维连续型随机变量yxyxAyxfYX第23页/共69页,020 ;20)sin(),(,其它）的概率密度为（设二维连续型随机变量yxyxAyxfYX).(),()2(,)1(XYEXEA求求求系数求系数4)sin(2122/02/0 dxdyyxxXE）（）解（解（12)sin(21),()(2/02/0 dxdyyxxydxdyyxxyfXYE第24页/共69页 同离散型，连续型数学期望的性质同离散型，连续型数学期望的性质 1. 设C是常数，则E(C)=C; 4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X); 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);niiniiXEXE11)(:推广niiniiXEXE11)(:推广（诸Xi相互独立时）请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y 独立第25页/共69页例例4 把数字把数字1,2,n任意地排成一列，如果数字任意地排成一列，如果数字k恰恰好出现在第好出现在第k个位置上，则称为一个巧合，求巧合个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望个数的数学期望.由于 E(Xk)=P(Xk =1) 解: 设巧合个数为X,否则，个位置上恰好出现在第数字0, 1kkXk k=1,2, ,nnkkXX1则!)!1(nnn1nkkXEXE1)()(故11nn引入第26页/共69页例5 5 一民航送客车载有2020位旅客自机场开出, ,旅客有1010个车站可以下车, ,如到达一个车站没有旅客下车就不停车. .以X X表示停车的次数，求E(X)E(X).(.(设每位旅客在各个车站下车是等可能的, ,并设各旅客是否下车相互独立) )10, 2 , 110 iiiXi站有人下车站有人下车在第在第站没有人下车站没有人下车在第在第引入随机变量引入随机变量解解1021XXXX 易知易知10, 2 , 1,10911,10902020 iXPXPii(各旅客是否下车相互独立各旅客是否下车相互独立)第27页/共69页10, 2 , 1,10911,10902020 iXPXPii10, 2 , 1,1091)(20 iXEi由此由此次次进而进而784. 8109110)()()()()(2010211021 XEXEXEXXXEXE第28页/共69页1 某人的一串钥匙上有n把钥匙,其中只有一把能打开自己的家门,他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门,若每把钥匙试开一次后除去,求打开门时试开次数的数学期望. 000)(xxexfx的数学期望。的数学期望。求求XeY2 第29页/共69页1 解 设试开次数为X,分布率为：是离散型随机变量，其X于是 E(X) nknk112)1 (1nnn21n31)()(022 dxeedxxfeYExxxP(X=k)=1/n, k=1, 2, , n第30页/共69页七、小结七、小结 这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征的一个重要的数字特征. 接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：方差第31页/共69页第二节 方差方差的定义方差的计算方差的性质切比雪夫不等式小结第32页/共69页 上一节我们介绍了随机变量的数学期望，上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.第33页/共69页 例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、，现用甲、乙两台仪器各测量乙两台仪器各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用坐用坐标上的点表示如图：标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？a 乙仪器测量结果 a甲仪器测量结果较好测量结果的均值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 第34页/共69页又如又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮发炮弹，其落点距目标的位置如图：弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心中心第35页/共69页 由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到这个数字特征就是我们这一讲要介绍的这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差)(XEXE 能度量随机变量与其均值能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度. 但由于但由于上式带有绝对值上式带有绝对值,运算不方便运算不方便,通常用量通常用量)(2XEXE 来度量随机变量来度量随机变量X与其均值与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度.第36页/共69页一、方差的定义一、方差的定义 设设X是一个随机变量，若是一个随机变量，若E(X-E(X)2存在存在 , 称称E(X-E(X)2为为 X 的方差的方差. 记为记为D(X)，即，即具有相同的量纲。具有相同的量纲。，它与，它与记为记为的标准差或均方差的标准差或均方差称为称为方差的算术平方根方差的算术平方根XXXXD)()( D(X)=EX-E(X)2第37页/共69页若X的取值比较分散，则方差D(X)较大. 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 .若X的取值比较集中，则方差D(X)较小；因此，因此，D（X）是刻画）是刻画X取值分散程度的一个量，它取值分散程度的一个量，它是衡量是衡量X取值分散程度的一个尺度。取值分散程度的一个尺度。第38页/共69页X为离散型，分布率PX=xk=pk 由定义知，方差是随机变量 X 的函数 g(X)=X-E(X)2 的数学期望 . ,)()(,)()(212dxxfXExpXExXDkkk二、方差的计算二、方差的计算X为连续型，X概率密度f(x)第39页/共69页计算方差的一个简化公式计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 展开证：D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望性质第40页/共69页例例1设随机变量设随机变量X具有具有(01）分布，其分布率为）分布，其分布率为pXPpXP 1,10求求D(X) . 解解pppXE 1)1(0)(pppXE 2221)1(0)(由公式由公式)1()()()(222ppppXEXEXD 因此因此,0-1分布分布)1()(,)(ppXDpXE 第41页/共69页例例2。，求，求设设)()(XDX 解解X的分布率为的分布率为0, 2 , 1 , 0,! kkekXPk上节已算得上节已算得而而,)( XE)1()(2XXXEXE )()1(XEXXE 0!)1(kkkekk 222)!2(kkke 22ee 22)()()(XEXEXD因此因此,泊松分布泊松分布 )(,)(XDXE第42页/共69页.,泊松分布就被确定了泊松分布就被确定了只要知道只要知道分布率中只含一个参数分布率中只含一个参数。泊松分布的。泊松分布的等于等于数学期望与方差相等，数学期望与方差相等，由此可知，泊松分布的由此可知，泊松分布的 第43页/共69页的值的值求求且已知且已知设设例例 , 2)3)(2(),0(),( XXEX26)(5)()65()3)(2(22 XEXEXXEXXE解：解：26)(5)()(2XEXEXD20452 第44页/共69页例例3。，求，求设设)(),(XDbaUX解解 的概率密度为的概率密度为X 其它其它01)(bxaabxf。方差为。方差为上节已求得上节已求得2)(baXE 1221)()()(22222abbadxabxXEXEXDba 因此因此,均匀分布均匀分布 12)(,2)(2abXDbaXE 第45页/共69页例例4设随机变量设随机变量X服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为 0001)(xxexfx )()(0XDXE，求，求其中其中 解解 dxexdxxxfXEx01)()(2022221)()( dxexdxxfxXEx2)( XD因此因此由此可知由此可知,指数分布指数分布2 ）（，）（XDXE第46页/共69页2222)(;)(),()3()(;)(;, 00,1)(X)2(12)()(;2)(),()1( XDXENXXDXExexfabXDbaXEbaUXx正态分布正态分布其他其他指数分布指数分布均匀分布均匀分布几个常用的随机变量的期望、方差几个常用的随机变量的期望、方差)1()(;)(;110)10)(1(ppXDpXEpppXk 分布：分布：)1()(;)();,()2(pnpnpqXDnpXEpnbX )()();()3(XDXEX第47页/共69页三、方差的性质三、方差的性质 1. 设C 是常数, 则 D(C)=0 ; 2. 若 C 是常数, 则 D(CX)=C2 D(X) ; 3. 设 X 与 Y 是两个随机变量，则 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y) 4. D(X)=0 PX= C=1 ,这里这里C=E(X)第48页/共69页下面我们证明性质3证明证明)()(2)()()()(2)()()()()()()(2222YEYXEXEYDXDYEYXEXEYEYEXEXEYEYXEXEYXEYXEYXD 若若 X,Y 相互独立相互独立, 由数学期望的性质由数学期望的性质4得得)()()(YDXDYXD 此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况的情况.第49页/共69页例例1).()(),1 , 0(XDXENX和和求求设设解解的概率密度为的概率密度为X xexx2221)( 于是于是021)()(22 dxxedxxxXEx 121)()()(2222 dxexdxxXExXDx 则则若若),1 , 0( NX1)(, 0)( XDXE第50页/共69页），（，则，则若若10),(2NXZNX 1)(, 0)( ZDZE质得质得由数学期望和方差的性由数学期望和方差的性而而, ZX )()()()(EZEZEXE22)()()()( DZDZDXD，则，则若若),(2 NX2)(,)( XDXE差所确定。差所确定。可由它的数学期望和方可由它的数学期望和方布完全布完全望和方差，因而正态分望和方差，因而正态分分别是该分布的数学期分别是该分布的数学期和和概率密度中的两个参数概率密度中的两个参数这就是说，正态分布的这就是说，正态分布的2 第51页/共69页例如例如,),4 , 2(),3 , 1(相互独立相互独立和和且且若若YXNYNX），（故有故有也服从正态分布，而也服从正态分布，而则则484,48)(, 4)(32 NZXDZEYXZ且它们相互独立，则且它们相互独立，则若若, 2 , 1),(2niNXiii .)0,(:212211仍然服从正态分布仍然服从正态分布的常数的常数是不全为是不全为它们的线性组合它们的线性组合nnnCCCXCXCXC ),(12212211 niiiniiinnCCNXCXCXC 且且第52页/共69页例例气缸的计以设活塞的直径),03. 0 ,40.22()(2NXcm,.),04. 0 ,50.22(2任取一支活塞相互独立和直径YXNY.,率求活塞能装入气缸的概任取一只气缸解解.0,YXPYXP即求按题意需求由于由于)0025. 0 ,10. 0(NYX故有故有9772. 0)2()05. 010. 0(0025. 0)10. 0(00025. 0)10. 0()(0YXPYXPYXP第53页/共69页)();(, 010),1(2)(. 2XDXExxxfX求求其他其他设设例例 10;31)1(2)(dxxxXE解：解：61)1(2)(1022 dxxxXE1813161)()()(222 XEXEXD)(),();(, 00,)(2XDeXEXExexfXXx 求求其他其他设设例例 0; 1)(dxxeXEx解：解： 0223111)()()(dxeeeEXEeXExxXX 022; 2)(dxexXEx112)()()(22 XEXEXD第54页/共69页3 . 07 . 0105 . 05 . 010Y. 3pYpXX的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为与与设设例例)(),(),3(),2(),(),(YDXDXYEYXEYEXE 求求5 . 05 . 015 . 00)( XE解：解：5 . 05 . 015 . 00)(222 XE25. 0)5 . 0(5 . 0)(2 XD3 . 03 . 017 . 00)( YE; 3 . 03 . 017 . 00)(222 YE21. 0)3 . 0(3 . 0)(2 XD1 . 03 . 025 . 0)(2)()2( YEXEYXE3 . 01 . 031 . 0114 . 0012 . 0103 . 000(3)(3)3( XYEXYE第55页/共69页)(0, 00,2)(;0, 00,2)(YX,. 442YXDyyeyfxxexfyYxX 求求相互独立，密度分别为相互独立，密度分别为设随机变量设随机变量例例)()()(41)(;21)(,22YDXDYXDYDXDYX 服从指数分布，服从指数分布，解：解：165 第56页/共69页的联合密度为的联合密度为设随机变量（设随机变量（例例Y)X,. 5)(),(),(),(),(, 010 ,12),(2YDXDXYEYEXExyyyxf，求，求其他其他 解：先求边缘密度解：先求边缘密度 dyyxfxfX),()( 其他其他, 010,1202xdyyx 其他其他, 010,43xx dxyxfyfY),()( 其他其他, 010,1212ydxyy 其他其他, 010),1(122yyy53)1(12)(;544)(102103 dyyyyYEdxxxXE2112)(10 02 dydxyxyXYEx第57页/共69页)(),(),(),(),(, 010 ,12),(2YDXDXYEYEXExyyyxf，求，求其他其他 7525464)()()(2222 XEXEXD251533012)()()(222 YEYEYD3012)1(12)(;644)(1022210322 dyyyyYEdxxxXE第58页/共69页二、选择题6)(10)(9)(1 )()(),(313,) 1 (2321321DCBACYEXXXYXXX则令的泊松分布，相互独立服从参数设1091)()()(1391)(31)(3331)(31)(:22321321YEYDYEXXXDYDXXXEYE解第59页/共69页二、选择题6)(10)(9)(1 )()(),(31,3,)2(2321321DCBACYEXXXYXXX则令分布的泊松相互独立同服从参数设312313123122113331113910:( )( ()()( )( ()()()( )( )kkkkE YEXXXE XD YDXXXD XE YD YE Y 解第60页/共69页定义定义1 设设X是离散型随机变量，它的分布率是是离散型随机变量，它的分布率是: PX=xk=pk , k=1,2,请注意请注意 :离散型随机变量的数学期望是一个绝对收离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和敛的级数的和.数学期望简称期望，又称为均值。数学期望简称期望，又称为均值。1)(kkkpxXE若级数若级数 1kkkpx绝对收敛，绝对收敛，则称级数则称级数 1kkkpx)(XE即的和为的和为随机变量随机变量X的数学期望的数学期望，记为，记为 ,第61页/共69页 同离散型，连续型数学期望的性质同离散型，连续型数学期望的性质 1. 设C是常数，则E(C)=C; 4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X); 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);niiniiXEXE11)(:推广niiniiXEXE11)(:推广（诸Xi相互独立时）请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y 独立第62页/共69页 上一节我们介绍了随机变量的数学期望，上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.第63页/共69页例例2。，求，求设设)()(XDX 解解X的分布率为的分布率为0, 2 , 1 , 0,! kkekXPk上节已算得上节已算得而而,)( XE)1()(2XXXEXE )()1(XEXXE 0!)1(kkkekk 222)!2(kkke 22ee 22)()()(XEXEXD因此因此,泊松分布泊松分布 )(,)(XDXE第64页/共69页2222)(;)(),()3()(;)(;, 00,1)(X)2(12)()(;2)(),()1( XDXENXXDXExexfabXDbaXEbaUXx正态分布正态分布其他其他指数分布指数分布均匀分布均匀分布几个常用的随机变量的期望、方差几个常用的随机变量的期望、方差)1()(;)(;110)10)(1(ppXDpXEpppXk 分布：分布：)1()(;)();,()2(pnpnpqXDnpXEpnbX )()();()3(XDXEX第65页/共69页下面我们证明性质3证明证明)()(2)()()()(2)()()()()()()(2222YEYXEXEYDXDYEYXEXEYEYEXEXEYEYXEXEYXEYXEYXD 若若 X,Y 相互独立相互独立, 由数学期望的性质由数学期望的性质4得得)()()(YDXDYXD 此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况的情况.第66页/共69页），（，则，则若若10),(2NXZNX 1)(, 0)( ZDZE质得质得由数学期望和方差的性由数学期望和方差的性而而, ZX )()()()(EZEZEXE22)()()()( DZDZDXD，则，则若若),(2 NX2)(,)( XDXE差所确定。差所确定。可由它的数学期望和方可由它的数学期望和方布完全布完全望和方差，因而正态分望和方差，因而正态分分别是该分布的数学期分别是该分布的数学期和和概率密度中的两个参数概率密度中的两个参数这就是说，正态分布的这就是说，正态分布的2 第67页/共69页)(),(),(),(),(, 010 ,12),(2YDXDXYEYEXExyyyxf，求，求其他其他 7525464)()()(2222 XEXEXD251533012)()()(222 YEYEYD3012)1(12)(;644)(1022210322 dyyyyYEdxxxXE第68页/共69页感谢您的观看！第69页/共69页