§4.4三角函数式的求值、化简与证明

4.4 三角函数式的求值、化简与证明【一线名师精讲】基础知识要点三角函数的恒等变形主要包括求值、化简与证明三方面，这部分内容是三角函数的基础，所以要求能熟练地运用公式进行计算.1、 求值: 主要有三类求值问题(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.2、 化简: 对三角和式,基本思路是降次、消项和逆用公式；对三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对二次根式，注意二倍角公式的逆用.另外，还可用切割化弦、变量代换、角度归一等方法.三角函数式的化简要求通过对三角函数式的恒等变形(或结合给定条件而进行的恒等变形),使最后所得到的结果中:(1)所含函数和角的名类或种类最少;(2)各项的次数尽可能地低;(3)出现的项数最少;(4)一般应使分母和根号下不含三角函数式;(5)能求具体数值的要求出值.3、 三角等式的证明可分为三角恒等式的证明与三角条件等式的证明两种(1)证明三角恒等式的方法观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手（同时消除其他差异）决定从该等式的哪边证明（也可两边同时化简）.当从解决差异不易入手时,可采用转换命题法或用分析法、数学归纳法等.(2)证明三角条件等式的方法首先观察条件与结论的差异，从解决某一差异入手,确定从结论开始通过变换将已知表达式代入得出结论, 或通过变换已知条件得出结论, 如果这两种方法都证不出来,可采用分析法;如果已知条件含参数,可采用消去参数法;如果已知条件是连比的式子,可用换元法,等等.三角等式的证明要求利用已知三角公式通过恒等变形(或结合给定条件运用三角公式), 论证所给等式左、右相等，要求过程清晰、步骤完整.4、 三角函数式的求值、化简、证明的核心是进行三角函数恒等变形，而三角函数恒等变形的实质就是：变换角；变换函数名称；变换解析式结构. 要注意凑配变异求同，即凑角、凑名、凑常数，以达到理想结构变异目标.要重视常规解法的练习,注意灵活运用角的变形和公式的变形,注意角的范围对三角函数值的影响,注意角的范围的讨论.高考中，三角函数式的化简与证明已不多见，出现与之有关的题目是化简某一三角函数,综合考查这一函数的其他性质.但凡是与三角函数有关的问题,都以恒等变形、条件变形为研究手段，因此本学点内容的工具性作用不可小视.基本题型指要关于三角函数的求值问题，是每年高考的必考考点之一，它不仅考查了学生对基础知识的掌握程度，更重要的体现了学生的灵活应变能力，这与新教材的改革方针是一致的.因此，在学习中，应重点掌握，通过精练，多分析，从中去理解公式，掌握基本的应用技能是很有必要的.尤其是对基础的三角函数及的定义域进一步限制时，怎样去求值问题.题型一：给值求值【例I】设，求的值.思路: 先化简,再求值.解析：又, 原式=点评: (1)当已知与求值的两式之间的关系不明显时,常常通过化简,使其关系显露出来.(2)注意“，等变换.题型二：给值求角【例2】设、是一元二次方程的两根，且，则（ ）(A) (B) （C）或 （D）或错解: 、是方程的两根， 、 或，故选（C）错因：审题不仔细，其实两根，隐含着负根这个条件，没有挖掘出来，导致错选（C）.正解：，是方程的两根，从而，故、 ,故选（A）题型三：三角函数式的化简【例3】化简.思路：化简结果究竟是什么，我们不清楚，但化繁为简却是我们的不变目标。本题中分子是一完全平方式，分母中这两大特征应成为我们解题的功入点.解析：原式=点评:化简题一定要找准解题的切入点，其中的降次、消元和变角是常用的化简技巧.题型四：三角恒等式的证明【例4】求证：思路：观察左、右两边式子间的差异，若选择“从左证到右”，则“切化弦”的方法势在必行；若选择“从右证到左”，则倍角公式应是必用公式。解析1：左边=解析2：右边=左边点评：在三角变形中，1的变换作用不小，上例就用到换1为的“常量代换”技巧.题型五：三角条件等式的证明【例5】若、成等差数列，、成等比数列，求证：.思路：待证式中不含，故应想到须从已知式中消去解析：由题意得 ，两边平方得，即 又由、cos成等比数列， 由、得点评：观察所给条件和欲证结构间形式上的、结构上的异同点，通过“化异为同”、“求同存异”的变换，就有希望达到我们的解题目的.【阅卷老师评题】【例6】（2004年北京高考理）在中，求的值和的面积.命题目的：主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力.考情分析：绝大多数的考生都能入手解题，不致束手无策。但部分考生因数值计算出差错，三角函数值的符号判断错误导致失分.解析1： ， 又，解析2： ， +得-得（以下同解析1）【好题优化训练】A 、基础巩固1、 下列式子中，不正确的是（ ）（A）（B） （C）（D）答案：（B）解析：由三角函数公式易知选（B）2、 （2002年北京高考）若，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）答案：（A）解析：由得3、 已知，且是第二象限的角，那么的值是（ ）（A） （B） （C） （D）答案：（D）解析：由，是第二象限角，得， 故选（D）4、（2004年北京春季高考）的值为 . 答案:1解析: 利用两角和与差的正弦公式将原式展开即得.5、 已知, 答案:8解析: B、技能培训6.、 化简的结果为( )(A) (B) (C) (D)答案: (A)解析: 原式=7、 的值等于( )(A)4 (B)6 (C)8 (D)16答案: (A)解析: 同理得,故选(A)8、 若,是方程的两根,和是方程的两根, 那么有( )(A) (B) (C) (D)答案: (B)解析: ,同理 故.9、已知,则的值是( )(A)1 (B) (C) (D)答案: (D)解析: 又 由2+2得: 10、 已知,是方程的两实根, 则 .答案: 3解析: , 原式=11、(2002年上海春季高考)已知, 若,则可化简为 答案: 解析: 12、 求值:(1)(2)答案: (1) (2)解析: (1)原式= (2)原式 .13、化简下列各式:(1)(2)答案: (1) 1 (2)解析: (1)原式=(2)原式=C、 思维拓展14、设, 且,求 的值.答案: 解析: 而又，, , 故.15、已知函数(1)将表示为的多项式;(2)求曲线与至少有一个公共点的实数的取值范围.答案: (1) (2)解析: (1) (2)令cos =t，（0，），t（1，1） , (舍去)或.则, 故