资源描述
如图1,为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以正方 体为载体，以。为原点，分别以射线OA OC OD的方向为正方向， 以线段OA OC OD的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z驰，这时我们说建立了一个 空间直角坐标系,其中点O叫做坐标 原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面， 分别称为xOy 平面、zOx平面、yOz平面,通常建立的坐标系为 右手直角坐标系，即 右手拇指 指向x轴的正方向， 食指 指向y轴的正方向,中指指向z轴的正方向.空间直角坐标系中的坐标空间一点M的坐标可用有序实数组（x, y, z）来表示，有序实数组（x, y, z）叫做点M在此 空间直角坐标系中的坐标，记作 Mx, y, z）,其中x叫做点M的横坐标 ,y叫 做点M的纵坐标 ，z叫做点M的 竖坐标例1在空间直角坐标系中，作出点 M6, 2,4）.例 2 长方体 ABCD- ABGD 中，| AB =a, | Bq =b, | CC| 4=c,将此长方体放到空间直角坐标系中的不同位置（如图3）,分F /别写出长方体各顶点的坐标.变式1:棱长为2的正方体，将此正方体放到空间直角坐标系中的不同位置，分别写出几 何体各顶点的坐标。2 .底面为边长为4的菱形，高为5的棱柱，将此几何体放到空间直角坐标系中的不同位置 分别写出几何体各顶点的坐标3 .在棱长均为2a的正四棱锥P ABCM,建立恰当的空间直角坐标系，(1)写出正四棱锥P-ABCD&顶点坐标；(2)写出棱PB的中点M的坐标.解：连接AQ BD交于点Q连接PQ /P-ABCM正四棱锥，且棱长均为2a.四边形ABCD 为正方形，且 POL平面 ABCD；OA=啦a. P0=护2-OA=4?2a?2-?J2a?2=V2a.以。点为坐标原点，OA OB OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标 系.(1)正四棱锥 P- ABC时各顶点坐标分别为 A(y2a,0,0) , B(0, 42a, 0) , C( -72a, 0,0), D(0 ,亚,0), P(0,0 ,/a).(2) M为棱PB的中点，由中点坐标公式，得M00, /当+ 0, 0+22a),即M。，乎a 2a, 2a) ,例3在空间直角坐标系中，点P( -2,1,4).(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2, 1, 4)的对称点的坐标.解(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为 原来的相反数，所以对称点为 Pi(-2, 1, -4).(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原 来的相反数，所以对称点为 PX2,1 , -4).(3)设对称点为P3(x, y, z),则点M为线段PR的中点，由中点坐标公式，可得x = 2X2 ( 2)=6, y = 2X(1) 1 = 3, z = 2X( 4) 4=12,所以 P3(6 , 3, 12).变式：1.写出点P(6, 2, 7)在xOy面，yOz面，xOz面上的投影的坐标以及点 P关于 各坐标平面对称的点的坐标.解：设点P在xOy平面、yOz平面、xOz平面上的投影分别为点 A, B, C,点P关于xOy 平面、yOz平面、xOz平面的对称点分别为点 A , B , C,由PZ平面xOy, PB,平面 yOz, PC平面xOz及坐标平面的特征知，点 A(6, 2,0),点B(0 , 2, 7),点q6,0 , 7);根据点P关于各坐标平面对称点的特征知，点 A (6, -2,7) , B (-6, -2,- 7) ， C (6,2 , -7).2.在棱长都为2的正三棱柱ABC- ABG中，建立恰当的直角坐标系，并写出正三棱柱ABC- ABC各顶点的坐标.正解取BQ BG的中点分别为O, O,连线OA OQ根据正三棱柱的几何性质，OA。耳oo两两互相垂直，且|OA邛 X 2=0以OA OB OO所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，如图5所示，则正三棱柱 ABC-AB1G各顶点的坐标分别为 AV3, 0,0) , B(0,1,0) , C(0 , 1,0) , A(J3, 0,2),B(0,1,2)，G(0, -1,2).三.空间向量在立体几何中的应用1 .直线的方向向量与平面的法向量(1)直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量.(2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面a,那么称向量n垂直于平面a,记作nL a .此时把向量n叫做平面a的法向量.2 .线面关系的判定直线li的方向向量为e = (ai, bi, ci),直线12的方向向量为e=(a2, b2, C2),平面 a的法向量为n1 = (xi, y，zi),平面B的法向量为 止=(x 2, 4 Z2).(1) 如果 1 i H 12,那么 ei H e2e2=入 eia2=Oi, b2=2ibi, C2=2ici.(2) 如果 1 i_L 12,那么 ei _Le2ei , e2 0a1a2+ bib?+ ciC2 0.(3) 若 1 1/a ,则einia .ni = 0aixi+ b0, y00),且 x2+ y0 = 4,则EF= (x。，y。一1, 2), 是(0 , 1,0),14EFXDE 即之，DE,则EF DE= y01 = 0,故 y0= 1. F(V3, 1, 0), EF= (V3, 0, -2),血(0, -2, 2).设异面直线EF与BD所成角为a ,则COS a = Z1= 0, 即,3x + y= 0.|E F|B D|nOD(2)设平面ODF勺法向量为Q = (x1, y% z。,则n阱令=1,得y1= 43,平面ODF勺一个法向量为 m=(1 ,也,0).设平面DEF的法向量为窕=(x2, y2, Z2),工=走：7 7 .；42 sin B = 7 .同理可得平面DEF的一个法向量为 亮=1, 0,孚.ni - n2设二面角F-OD-E的平面角为B ,则|cos B | = |n |n 2|(翻折问题)例4.(2013广东韶关第二次调研)如图甲，在平面四边形 ABCDK已知/A = 45 , / C= 90 , / AD谖105 , A况BD,现将四边形 ABCDft BD折起，使平面 ABDL 平面BDC口口图乙)，设点E、F分别为棱AG AD的中点.(1)求证：DCL平面ABC (2) 求BF与平面ABCff成角的正弦值；(3)求二面角B-EF- A的余弦值.解：(1) V 平面 ABDL平面 BDC 又; AB BR. AB，平面 BDC 故 AB! DC 又丁 ZC = 90 ,. DC BG BC ABCFF面 ABC DC 平面 ABC 故 DC1平面 ABC.(2)如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，设 C5a,贝U BAAB= 2a, BO木a, A又2pa,可得 B(0, 0, 0), D(2a, 0, 0), A(0, 0, 2a), C,奈,0 , F(a, 0, a),CD= 2a,一中a, 0 , BF=(a, 0, a).设BF与平面ABCff成的角为9 ,由知DCL平面ABC1 2冗CbBF2a也V2万 一e 二|CDr74，. sin4.(3)由(2)知 FE平面 ABC,又 丁 BE1平面 ABC AE1 平面 ABC FE BE, FE AE,一 一_ 11 丁 /AE助二面角 B- EF A的平面角.在4AEB中，ABE= 2Ao2JAB2+ B cos/AE氏A2既1AB =-1,即所求二面角B- EF-A的余弦为一；2AE , BE 77AiBiCi-ABC, ABAG AB= AC课后巩固练习：1.(2013 江苏卷)如图所示，在直三棱柱=2, AA= 4,点D是BC的中点.(1)求异面直线AB与GD所成角的余弦值;(2)求平面ADCf平面ABA所成二面角的正弦值.解：(1)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A xyz,则 A(0, 0, 0) , B(2,0, 0), C(0, 2, 0), D(1,1, 0), A(0, 0, 4), G(0, 24),所以 Afe= (2, 0, -4) , CCD=(1 ， -1, -4).因为 cosAfe, CCDAfe - CCD18|Q|C 加V20XV18率0,所以异面直线AB与GD所成角的余弦值为耳?.(2)设平面ADC的法向量为Q = (x , y, z),因为 AD= (1 ,1,0), AC=(0, 2, 4),所以 m - AD 0, m AC = 0,即 x+y=0 且 y + 2z =0,取z=1,得x = 2, y= 2,所以，。=(2, 2, 1)是平面ADC的一个法向量.取平面AAB的一个法向量为 窕=(0, 1,0),设平面ADC与平面ABA所成二面角的大小为9 .由 |cos 0 | 二ni n2|ni|n 2I 一道义不=3，得 sin 0 =坐因此，平面ADCf平面ABA所成二面角的正弦值为253 .2. (2013 新课标全国卷H )如图所示，直三棱柱ABCAiG 中，D E 分别是 AR BB的中点,AA=AO CB=证明：BC/平面AiCR (2)求二面角DACE的正弦值.证明：连结AC交AiC于点F,则F为AC中点.又D是AB中点，连结DF,则BC/ DF.因为DF1 平面ACD BC平面 ACR所以BC/平面ACD.x/2 一 j 由AO C及号RB得ACL BC.以C为坐标原点，CA勺万向为x轴正万向，建立如图所 示的空间直角坐标系Cxyz.设 CA= 2,则 D(i, i, 0), E(0, 2, i), Ai(2 , 0, 2) , (i , i, 0),恒(0 , 2,i), CA=(2, 0, 2).设n=(xi, yi, zi)是平面ACD的法向量，则n - CD= 0,n - CA= 0,Xi + yi=0即2xi+2zi=0.可取 n = (1 , 1, 1).m恒0,同理，设m为平面ACE的法向量，则可取m= (2,1, 2).m- CA= 0.nm 3 ,6i -从而cos n, mo =|川阿 =上,故sin n, mo =、-.即二面角D-AC-E的正弦值为63 .3. (2013 重庆)如图所示，四棱锥 PABC叶,PAL底面ABCD BO C52, AO4,/AC氏 Z ACD- -, F 为 PC 的中点，AF PB. 3(1)求PA的长；(2)求二面角B-AF-D的正弦值.解：(1)如图，连结BD交AC于Q因为BO CD即ABCD为等腰三角形，又AC平分/BCD故ACLBD.以O为坐标原点，OB OC AP勺方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建、一，一，一一 一. 九_.一 一 九立空间直角坐标系 Oxyz,则OC= CDcoq = 1,而AO 4,得A氏AC OC= 3.又OD- CDsin= V3,故 A(0, 3, 0), B(V3, 0, 0), C(0, 1, 0), D(-V3, 0, 0).因为PAL底面ABCD可设P(0, 3, z),由F为PC边中点，得F 0, - 1, | ,又AF2=0, 2, 2 , PB= (#, 3, 一z),因 AFPB,故AF必0,即 6-，= 0, z = 2a/3(舍去2小),所以|PA| =2斓.(2)由知 县 (一木,3, 0),丽=b/3, 3, 0), AF= (0, 2,木).设平面 FAD 的法向量为m=(xi, yi, zi),平面FAB的法向量为n2= (x2, y2, Z2).3xi + 3yi = 0, 得2yi+ 3zi=0,由 ni - AD= 0, ni AF= 0,因此可取 ni = (3，3, -2).由 n2 AB= 0, n2 - AF= 0,73x2+3y2= 0,L得 故可取n2=(3, -V3, 2).从而向量ni, n2的夹角的余弦值为cosni, 2y2+ 3Z2= 0,ni n2in22 |ni| |n2|8.故二面角B-AF-D的正弦值为平.4. (20i3 连云港调研)在三棱锥SABC,底面是边长为2A/3的正三角形，点S在底 面ABCk的射影。恰是AC的中点，侧棱SB和底面成450角. 若D为侧棱SB上一点，当 澎何值时，CD! AB;(2)求二面角S-BC-A的余弦值大小.解：以。点为原点，OB为x轴，0gy轴，OS为z轴建立空间直角坐标系 O-xyz.由 题意知/ SBO= 450 , S0= 3.0(0, 0, 0), C(0, 0), A(0, -3, 0), S(0, 0, 3), B(3, 0, 0).(i)设加入曲。&入(1 +入)OB+入谆(3(i +入)，所以加 (3(1 入)，一班，3人).因为甚(3, 43, 0), CEU AB,所以 CDAB= 9(1 入)3 = 0,解得上回1故而 二.寸，CD AB.DB 2=0,n2 - SC0,则3x 3z=0, 圾3z=0,解得x = z, y=T3z,取 n2=(1 , V3, 1),(2)平面ACB的法向量为m = (0 , 0, 1),设平面SBC的法向量 巾=(x , y, z),则n2 ED所以 cos (0,1, 0)-(1 ， 0, 0) = ( 1, 1, 0).设平面AED 平面AEC勺法向量分别为mn= (a, b, 1), n=(c, d, 1).ED)- mn= 0,ab+1 = 0,a = 2,Abn=0,由台今 由AE- m0b+ 1 = 0b=T，Ae- n=0一 c+ d= 0,c= 一 1,=今d+1 = 0d=1,. m，n 2+1 + 1.*a 1,1), n=(1, 1,1), .c。” 项 n) =?mFnnr=-3=0， 二面角DAEC的大小为90 .(2) 证明：取DD的中点G 连结GB GF. E、F分别是棱BB、AD的中点,.GF/ AD, BE/ DGH BE= DG,.四边形 BEDG为平行四边形，. DE/ BG.又 DE、DAC 平面 ADE, BG GF 平面 ADE,BG/ 平面 ADE, GF/ 平面 ADE.GR GBL 平面 BGF 平面 BGF/平面 ADE.,. BF 平面ADE,直线BF/平面 ADE.求直线DB与平面AGD所成角的正弦值;a解:(1)由题意，A(0, 0, 0)B(2, 0, 0), C(0, 4, 0), D(1, 2, 0), Ai(0, 0, 3),Bi(2 , 03), G(0, 4, 3).A iD= (12, 3),比=(0, 4, 0).(或者：建立空间直角坐标系，用空间向量来证明直线BF/平面ADE,亦可)6. (2013 苏州调研)三棱柱ABC- ABC在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB= 2,AC= 4, AiA= 3.D 是 BC的中点.求二面角Bi-AD-Ci的正弦值.设平面ACD的一个法向量为n=(xy, z) . ; n Ab= x + 2y 3z=0, n - AiCi=4y=0.x =3z, 丫=0.令2=1,得x = 3. n=(3, 0, 1).设直线DB与平面AGD所成角为9 ,v DBi = (1 , 2, 3), 二 sin 9 = |cos DB n| =3Xi + 0X ( 2) +ix 3 3. 35Vi0X/T4(2)设平面ABD的一个法向量为 m= (a, b, c).ABi=(2, 0, 0), v m Ab= a+2b 3c=0, m- ABi = 2a= 0,a=0, 2b = 3c.令 c = 2,得 b=3. m= (0 , 3, 2).设二面角BAiDC的大小为a ,|cos a | =cos| |m n| |0 X3+ 3X0+2X1| 吃马.|m| |m厂 正班 二病则sin3,7 ,65二3 ,45565而角BA1DC的正弦值为管7. (2013 南通二模)如图，在三棱柱 ABCABiG中，AB，平面 ABC AB AG 且AB=AC= AiB= 2.求棱AA与BC所成的角的大小;在棱BC上确定一点P,使二面角P AB- A的平面角的余弦值为解:(1)如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则C(2, 0, 0)B(02, 0), A(0,2, 2) , Bi(0 , 4, 2) , AA=(0 ,2,2), BO BiG = (2 , -20). cos AAiBbAA BC|AAi| - |BC|-4i ,一九=电.m1故AA与棱BC所成的角是.P为棱BC中点，设BP=入跄=(2入，一2人，设平面PAB的法向量为ni=(x, y, z)0),则 P(2 入，AP= (2 入，4 2 入，2),ni AP= 0,入 x + 2y入 y + z=0ni - AB= 0. 2y一 0.y=X x,0.故 ni = (1 , 0,一入)，而平面ABA的法向量是n2 = (1 , 0, 0)贝 cos =ni n2-1 解得人=2,即P为棱BC1中点，其坐标为P(1, 3, 2).1.12010高考北京理第16题】(14分)如图，正方形ABC刖四边形ACE所在的平面互相垂直，CE! AG EF/ AG AB= & , CE= EF= 1. 求证：AF/平面BDE (2)求证：CF1平面BDE (3)求二面角A-BE-D的大小.1【答案】 设AC与BD父与点 G 因为EF/AG,且EF=1, AG=-AC=1.所以四边形AGE的平行四边形.所以AF/平面EG因为EG 平面BDEAF平面BDE 所以AF/平面BDE.CE AG所以CE平面(II )因为正方形ABCDffi四边形ACEF所在的平面相互垂直，且ABCD.如图，以C为原点，建立空间直角坐标系 C-xyz.则C (0, 0, 0), A( J2, J2, 0), B所以CFy(ff,1)220 110, cF|dEBE (0, .2,1)10 10BE, CF DE.所以 CF BDE.(，-20,1)(0,区 0).(III) 由(II )知，CF (且近是平面 BDE的一个法向量.设平面 ABE的法向量22n (x,y,z),则 n|BA 0, n|cE0.即(x，y，z) (J2,0,O) 0 所以 x 0,且 z /y,令 y 1,则 z 版.所以 n (0,1,72). (x,y,z) (0,0,1) 0从而cosn,CFnICF 叵。因为二面角A BE D为锐角，所以二面角A BE D|n|CF|2的大小为一.62.12011高考北京理第16题】(共14分)如图，在四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD底面 ABCM菱形，AB= 2 ,BAD= 60 .(1)求证：BD 平面PAC(2)若PA= PB ,求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBCt平面PDC直时，求PA的长.3.12012高考北京理第16题】(本小题共14分)如图 1,在 RtzXABC中，/C=90 , BC=3 AC=6 D, E分另U 是AG AB上的点，且 DE/ BG DE=Z将ADES DE折起到 A1DE的位置，使 AC CD,如图2.(I)求证：AC,平面BCDE (II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小;cos|CM | |n|(III)线段BC上是否存在点P,使平面ADP与平面ABE垂直？说明理由1 34_21 4 3 1 3 2 2 22 CM与平面ABE所成角白大小454.12013高考北京理第17题】(本小题共14分)如图，在三棱柱ABO ABC中，AAGC是边长为4的正方形.平面 ABCL平面AAGC, AB= 3, BC= 5, (1)求证：AA，平面ABC (2)求二面角Ai-BG-Bi的余弦值;证明：在线段BC上存在点D,使得ADLAB,并求型的值.BC1【答案】解：(1)因为AACC为正方形，所以AAiXAC 因为平面ABCL平面AACC,且AA垂直于这两个平面的交线 AQ所以AA，平面ABC (2)由(1)知 AAAQ AALAB 由题知 AB= 3, BC= 5, AC= 4,所以 ABAC如图，以A为原点建立空间直角坐标系 A-xyz,则B(0,3,0),4(0,0,4) , B(0,3,4), G(4,0,4).设平面ABC的法向量为n=(x, y, z),则n AB 0,即3y 4z 0,n AC1 0, 4x 0.令z = 3,则x = 0, y = 4,所以n= (0,4,3).同理可得，平面BBC 的法向量为m= (3,4,0).所以cos n, mr = 上旦 16.由题知二面角A BCB为锐角, |n|m| 25所以二面角AiBCBi的余弦值为16.255.12014高考北京理第17题】(本小题满分13分)如图，正方体MADE的边长为2, B , C分别为AM , MD的中点，在五棱锥P ABCDE中, F为棱PE的中点，平面 ABF与棱FD , PC分别交于G , H .(1)求证：ABFG;(2)若PA 底面ABCDE ,且PA AE ,求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段 PH的长.6.12015高考北京，理17】如图，在四棱锥A EFCB中，AAEF为等边三角形，平面AEF 平面 EFCB , EF / BC , BC 4 , EF 2a , EBC FCB 60 , O 为 EF 的中点.(I )求 证：AO BE; (U)求二面角F AE B的余弦值；(田)若BE 平面AOC,求a的值.【解析】解：(I)证明：;AEF为等边三角形，。为EF中点，AO EF又；平面AEF 平面EFCB ,平面AEFp平面EFCB EF , AO，平面EFCB , AO BE ,(II)以 O 为原点建立如图坐标系 E a,0,0 , F a,0,0 , A 0,0, 73a , B 2,73 2 a ,0EA a,0,底，EB 2 a, 73 2 a ,0平面AEF的法向量m 0,1,0 ;设平面AEB的法向量x,y,zn EA 0取 n , 3, 1,1 cos m，nn EB 0又二面角F AE B为钝角， 二面角F AE B的余弦值为 15 .(m) ；BE,平面 AOC, BEXOC , OC 2,曲 2 a ,0 ,BE OC 22a/3 2a W 2a 0,解得 a 2 (舍)或 a，3考点定位：本题考点为线线垂直的证明和求二面角，要求学生掌握空间线线、线面的平行与垂直的判定与性质，利用法向量求二面角以及利用数量积为零解决垂直问题.7.12016高考北京理数】(本小题14分)如图，在四棱锥 P ABCD中，平面 PAD 平面 ABCD , PA PD , PA PD , AB AD , AB 1, AD 2, AC CD 75. (1)求证：PD 平面PAB;(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M ,使得BM /平面PCD ?若存在，求AM的值；若不存在,AP说明理由.【解析】丁面 PAD n 面 ABCD AD 面 PAD 面 ABCD : AB AD , AB 面 ABCDAB 面xPAD: PD 面 PADAB PD 又 PD PAPD 面 PAB取AD中点为O ,连结CO ,PO : CD AC 代CO AD : PA PD . POAD 以。为原点，如图建系易知 P(0,01) , B(1,10) , D(0, 1,0), C(2,0,0),则 PB (1,1, 1), PD(0, 1, 1), PC (2,0, 1),(2, 1,0)设n为面pdc的法向量，令n(X0, y0,1)0L 1,1 , M PB与面PCD夹角2假设存在M点使得BM II面PCD设任AP 0, 1,1,B 1,1,0 , AMAP0, y 1,z有 AMaPM 0,1,M 0,y,z由(2)知 A 0,1,0 , P 0,0,1 ,/. BM 1,: BM II面PCD, n为PCD的法向量0 二4；综上,存在M点，即当AM -时,M点即为所求.
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