上海市高考数学试卷(文科)答案与解析

2012年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有 14题，茜分56分）3 - i1. （4分）（2012?上海）计算： =1 - 2i（i为虚数单位）1+1考点：复数代数形式的乘除运算.专题：计算题.分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1-i,再由进行计算即可得到答案解答：解:3-：i (3-i) (1-i) 2-4i1H - (1+i) (1 - i)故答案为1 - 2i点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轲，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握B=x|x| V 1,则 A AB=2. (4 分)(2012?上海)若集合 A=x|2x - 10,考点：交集及其运算.专题：计算题.分析：由题意，可先化简两个集合 A, B,再求两个集合的交集得到答案解：由题息 A=x12x -10=x|x *, B” 1x0 2x - 3=0x=log23故答案为x=log 23点评：本题主要考差了利用指数哥的运算性质解有关指数类型的方程.解题的关键是要将方程4x - 2x+1 - 3=0等价变形为（2x） 2-2若-3=0然后将2x看做整体再利用因式分解 解关于2x的一元二次方程.7. （4分）（2012?上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、工为公比的等比数列，体积2分别记为 Vl, V2, , V n,则 11D （Vl+V2+Vn） _.Rf 87考点：数列的极限；棱柱、棱锥、棱台的体积.专题：计算题.分析：由题意可得，正方体的体积 V=a 3=（）是以1为首项，以工为公比的等比ng8数，由等不数列的求和公式可求解答：解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为an则an=（5）n 1甘二为3= （!） 是以1为首项，以工为公比的等比数列，5)则 lim (V1+V2+vn) = Um-8点评：本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解，属于基础试题8. （4分）（2012?上海）在 （X工）的二项式展开式中，常数项等于20考点：二项式定理的应用.专题：计算题.分析：研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得 x的指数为0,得到相应的r,从而可求出常数项.解答:解：展开式的通项为6- rT r+1= . x（Tr= (T) rCg x6 2r令 6- 2r=0 可得 r=3常数项为（-1） 3c凯_ 20故答案为：-20点评：本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是写出展开式的通项公式，同时考查了计算能力，属于基础题.9. (4 分)(2012?上海)已知 y=f (x)是奇函数，若 g (x) =f (x) +2 且 g (1) =1,贝 U g (-1) = 3 .考点：函数奇偶性的性质；函数的值.专题：计算题.分析：由题意 y=f (x)是奇函数，g (x) =f (x) +2 得到 g (x) +g (- x) =f (x) +2+f (x) +2=4 ,再令x=1即可得到1+g (T) =4,从而解出答案解答：解：由题意y=f (x)是奇函数，g (x) =f (x) +21- g (x) +g ( - x) =f (x) +2+f (- x) +2=4又 g (1) =11- 1+g ( 1) =4,解得 g ( 1) =3故答案为：3点评：本题考查函数奇偶性的性质，解题的关键是利用性质得到恒成立的等式，再利用所得 的恒等式通过赋值求函数值10. (4分)(2012?上海)满足约束条件|x|+2|y|3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有炉气1勺1=18种-33 2其中表示3个同学中选2个同学选择的项目，cl表示从三种组合中选一个， cl表 332示剩下的一个同学有 2种选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是U=227 3故答案为：23点评：本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题.12. (4分)(2012?上海)在矩形 ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1,若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，里I史L则氤讪的取值范围是1,4.|BC| |CD|考点：平面向量数量积的运算.专题：计算题.先以AB所在的直线为x轴，以 他所在的直线为x轴，建立坐标系，写出要用的点的坐标，根据两个点的位置得到坐标之间的关系，表示出两个向量的数量积，根据动点 的位置得到自变量的取值范围，做出函数的范围，即要求得数量积的范围.解答：解：以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为x轴，建立坐标系如图， AB=2 , AD=1 ,A (0, 0), B (2, 0), C (2, 1), D (0, 1),设 M (2, b), N (x, 1),. .国回|BC | | CD |b=- AN= (x, D , AM=(2,M标讪二，HL (0x2)， u1-x+l:12,气,各项均为正数的数列an满足 ai=i, an+2=f (an),二上,35 a2Qio=a2Qi2,1If。2012a2QiQ=u-(负值舍去)，由a2Qio=1+a2008Vs-i得 a2QQ8=TM-依次往前推得到Vs -1 a2Q=.13回3 a2Q+aii=26故答案为：26点评：本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念. 理解条件an+2=f(an),是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题.二、选择题（本大题共有 4题，菌分20分）15. （5分）（2012?上海）若l+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（ ）A. b=2, c=3B. b=2, c= - 1 C. b=2, c=1 D. b= 2, c=3考点：复数代数形式的混合运算；复数相等的充要条件.专题：计算题.分析：由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a, b的方程组I - 1+b+c，解方程得出a, b的值即可选出正确选项 2V2+V2b=0解答：解：由题意1+&i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0 1+2近i-2+b+&bi+c=0,即-+b+c+ （2&H飞）i二0-l+b+c=O；2V2+V2b=0,解得 b= - 2, c=3故选D点评：本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题16. （5分）（2012?上海）对于常数m、n, mn0”是 方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题：常规题型.分析：先根据mn0看能否得出方程 mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn0,即可得到结论.解答：解：当mn0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是 m, n都是负 数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m, n都大于0,且两个量不相等，得到 mn 0；由上可得： mn0”是方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故选B.点评：本题主要考查充分必要条件，考查椭圆的方程，注意对于椭圆的方程中，系数要满足大于0且不相等，本题是一个基础题.17. （5 分）（2012?上海）在 4ABC 中，若 sin2A+sin2B sin2C,则4ABC 的形状是（）A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形D.不能确定考点：三角形的形状判断.专题：三角函数的图像与性质.分析：利用正弦定理将sin2A+sin2Bvsin2C,转化为a2+b2c2,再结合余弦定理作出判断即 可.解答：解：.在 4ABC 中，sin2A+sin2Bvsin2C,由正弦定理 尸= = ： =2R得,sinA sinB sinCa2+b2 c2,2.k2 _ 2又由余弦定理得：cosC=J-12J0, 0C0, sin-5-0, - sin-121 0, sin-I2L=0? sin_2X0, . sinJULZL0, S130,而S14=0,从而可得到周期性的规律，从而得到答案.解答:tt9jr解：sin0, sin-=077M兀sin=0,.sin 好 0,7sin 丁 =07si伫 07,.T 0,77 兀.2兀,6兀.7兀S8=sin-+sin=-+ - sin-3-+sin=-+sin77778兀.2兀 .6兀.7兀zr=sinz-+ +sin=-+sin=- 0,7777S120,本。.兀-2兀 .6兀.7冗一冗.9冗 .13冗.叩 S13=sin-+sin-：+ +sin：+sin+sin+sin+ +sin-=0,777777714兀Si4=Si3+sin=0+0=0 ,7又 Si5=Si4+sin 15=0+sinU=Si 0, Si6=S20, ,S27=S13=0, S28=S14=0, 77Sl4n 1=0, Si4n=0 （n CN* ）,在 1, 2,他。中，能被 14 整除的共 7 项，在Si, S2,，Sioo中，为。的项共有14项，其余项都为正数.故在S1, S2,，S100中，正数的个数是 86.故选C.点评：本题考查数列与三角函数的综合，通过分析sin二2L的符号，找出S1, S2,，S1oo中,7S14n 1=0, S14n=0是关键，也是难点，考查学生分析运算能力与冷静坚持的态度，属于难题.三、解答题（本大题共有5题，？t分74分）19. （12分）（2012?上海）如图，在三棱锥 P-ABC中，PAL底面 ABC, D是PC的中点，已知/ BAC= , AB=2 , AC=2夷，PA=2,求： 2（1）三棱锥P-ABC的体积；（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）BC考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积.专题：常规题型；综合题.分析：（1）首先根据三角形面积公式，算出直角三角形ABC的面积：SAabC = 2,然后根据PAL底面ABC,结合锥体体积公式，得到三棱锥P-ABC的体积；（2）取BP中点E,连接AE、DE,在4PBC中，根据中位线定理得到DE/BC,所以/ ADE （或其补角）是异面直线 BC、AD所成的角.然后在 4ADE中，利用余弦 定理得到cos/ADE=之 所以/ ADE=arccos宜是锐角，因此，异面直线 BC与AD所44成的角的大小 arccos.|4 解答：解：（1） ,/ BAC= , AB=2 , AC=2正，2 1 Sa abc =- 2= 2V3又 PAL底面 ABC , PA=2 三棱锥 P-ABC 的体积为：V=1SAABC PA=l/3； 33(2)取BP中点E,连接AE、DE, PBC中，D、E分别为PC、PB中点 .DE/ BC,所以/ ADE (或其补角)是异面直线 BC、AD所成的角. .在 4ADE 中，DE=2, AE=&, AD=2 .cos/ ADE= 2 +2=,可得/ ADE=arccos (锐角)2X2X2 44因此，异面直线 BC与AD所成的角的大小arccoW.点评：本题给出一个特殊的三棱锥，以求体积和异面直线所成角为载体，考查了棱柱、棱锥、棱台的体积和异面直线及其所成的角等知识点，属于基础题.20. (14 分)(2012?上海)已知 f (x) =lg (x+1)(1)若 0V f (1-2x) - f (x) v 1,求 x 的取值范围；(2)若g (x)是以2为周期的偶函数，且当。双司时，g (x) =f (x),求函数y=g (x) (xQ1 , 2)的反函数.考点：函数的周期性；反函数；对数函数图象与性质的综合应用.专题：计算题.分析：(1)应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；(2)结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解.解答：解：(1) f (1 2x) f (x) =lg (1 2x+1 ) - lg (x+1) =lg (2 2x) - lg (x+1 ),要使函数有意义，则2 2 工 0由, T、八解得：-1 vxv 1.k+102 2 x2 2rx由 0V lg (2 2x) - lg (x+1) =lg-i1 得：Iv：- 0, x+1 v 2- 2x 10x+10,r - 1X1(2)当 xqi, 2时，2 xqo, 1,，y=g (x) =g (x 2) =g (2 x) =f (2x) =lg (3x),由单调性可知yq。，lg2,又. x=3 10y,，所求反函数是 y=3 - 10x, xq。, lg2.点评：本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题.21. (14分)(2012?上海)海事救援船对一艘失事船进行定位： 以失事船的当前位置为原点， 以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以 1海里为单位长度)，则救援船恰好在失 事船正南方向12海里A处，如图，现假设： 失事船的移动路径可视为抛物线产治之;定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t(1)当t=0.5时，写出失事船所在位置 P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度 的大小和方向.(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？考点：圆锥曲线的综合.专题：应用题.分析：(1) t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程中，可得P的纵坐标，利49用|AP|二挈，即可确定救援船速度的大小和方向；(2)设救援的时速为 v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为( 7t, 12t2), 从而可得 vt=2十, 整理得 /二 144 ( t -与)+337 ,利t用基本不等式，即可得到结论.解答：解：(1) t=0.5时，P的横坐标xp=7t=I,代入抛物线方程 ,卫/中，得P的纵坐标yP=3. N 分由|AP|=2/还，得救援船速度的大小为5/演海里/时.-4分2由tan/OAP=L,得/ OAP=arctan ,故救援船速度的方向为北偏东arctan上弧303030度.人分(2)设救援船的时速为 v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为( 7t, 12t2).由 vt= J (7 J2+ (12t +12)2，整理得 /二 144 (+白)+337 T0分因为+,2,当且仅当t=1时等号成立，所以 v2耳44X2+337=252,即v或5.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.14分点评：本题主要考查函数模型的选择与运用.选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题.22. (16分)(2012?上海)在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线 C: 2x2-y2=1 .(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若|MF|二2。力，求点M的坐标；(2)过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线， 求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k (但1，2)的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证: OPXOQ.考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系；双曲线的简单性质. 专题：计算题；综合题；压轴题；转化思想.分析：(1)求出双曲线的左焦点 F的坐标，设M (x, y),利用|MF|2= (x也)2+y2,求2出x的范围，推出M的坐标.(2)求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出平行四 边形的面积.(3)设直线PQ的方程为y=kx+b ,通过直线PQ与已知圆相切，得到 b2=k2+1,通过 求解而而=0.证明POXOQ.解答：,.一解：(1)双曲线Ci： 丁一二1的左焦点F (-经1122设 M (x, y),贝U|MF|2= (x+坐)2+y2,由M点是右支上的一点，可知所以M所以=2点，得x更2，x= 2，(2)左焦点F (-返，0),2渐近线方程为：y= 土/x.过F与渐近线y=Jx平行的直线方程为丫=、反(x+近)，即y=&x+泥, 2所以1 y 解得所以所求平行四边形的面积为S= |OF | |y |二子.(3)设直线PQ的方程为y=kx+b , 因直线PQ与已知圆相切，故 Jbl =1， r师即 b2=k2+1 ，由，得(2k2) x2_2bkx_b2_1=02k j -y &2kb或1 +犬TcP (xi, yi),Q (x2, y2),则12 2-k2-1 - b2xlx2_ 2_ 2yiy2= (kxi+b) (kx2+b).所以 OF , 0Q=xix2+yiy2= (1+k2) xix2+kb (xi+x2)+b2(1+k2) ( - 1 - b2) 2k2b* ,2+b_ l+b? - k22- k2由式可知OPOQ=0,故 POXOQ.点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的综合，向量的数量积的应用，设而 不求的解题方法，点到直线的距离的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算 能力.23. (i8分)(20i2?上海)对于项数为 m的有穷数列an,记bk=maxai, a2,，ak (k=i , 2,，m),即bk为ai,a2,，ak中的最大值，并称数列bn是an的控制数列，如i, 3,2, 5, 5的控制数列是i, 3, 3, 5, 5.(i)若各项均为正整数的数列 an的控制数列为2, 3, 4, 5, 5,写出所有的an.(2)设bn是an的控制数列, (k=1 , 2,，m).(3)设 m=100,常数 aC (, 1), an=an22n 34k 1 , 34ka4k 2,而 a4k+1 34k, a4k 1 - 34k 2= (a- 1) (8k 3),从而可求得 (b 一 a1)+ (b2 a2)+ + 100 a100)= (a2 a3)+ ( % a7)+ +25(电8一 a99)= (a4k-2 - 04k-1) =2525 ( 1 a).k=l解答：解：(1)数列an为：2, 3, 4, 5, 1; 2, 3, 4, 5, 2; 2, 3, 4, 5, 3; 2, 3, 4, 5, 4,; 2, 3, 4, 5, 5; -4 分(2) bk=maxa 1,a2,，ak,bk+1=maxa1,a2,，ak+1,- bk+1 bk 6 分- - ak+bm k+1 =C, ak+1+bm k=C,ak+1 ak=bm -k+1 bm -k用，即 ak+1 制k,8 分bk=akT0 分(3)对 k=1 , 2, -25,a4k 3=a (4k-3) 2+ ( 4k - 3), a4k 2=a (4k-2) 2+ (4k-2),a4k 1=a (4k-1) 2 (4k-1), a4k=a (4k) 2-4k, T2 分比较大小，可得 a4k-2a4k-1,- a 1,2a4k 1 _ a4k 2= (a 1) (8k 3) a4k-1；a4k_ a4k 2=2 (2a1) (4k1) 0,即 a4ka4k-2,又 04k+1 a4k,从而 b4k3=a4k3,b4k2=a4k 2,b4k1=a4k2,b4k=a4k,15 分- 1 (b 一a1)+ (b2 a2) + ,+ (b100a100)=(a2 a3)+ (a6 a7) +11+ (电8 a99)25= (a4k 2- a4k 1)k=l25=(1 - a)( 8k - 3) k=l=2525 ( 1- a)化分点评：本题考查数列的应用，着重考查分析，对抽象概念的理解与综合应用的能力，对(3)观察，分析寻找规律是难点，是难题.