数学专题4 等腰三角形中辅助线的作法

等腰三角形中辅助线的作法等腰三角形底边上的中线、底边上的高线、顶角的平分线互相重等腰三角形底边上的中线、底边上的高线、顶角的平分线互相重合，我们将等腰三角形这一性质称之为合，我们将等腰三角形这一性质称之为“三线合一三线合一”，“三线合一三线合一”适用于等腰三角形问题，用其可以解决同一三角形内部的边角问题适用于等腰三角形问题，用其可以解决同一三角形内部的边角问题. .类型一：类型一：利用利用“三线合一三线合一”作辅助线作辅助线一、已知等腰作垂线一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线或中线、角平分线)又又CDAD，AEBCACD和和ABE均为直角三角形均为直角三角形在在RtACD和和RtABE中中BE=CDAB=AC RtACDRtABE(HL)ACDB 在在ABC中，中，ADBC，B2C，求证：，求证：ABBDCD二二、构造等腰三角形、构造等腰三角形 在在ABC中，中，ADBC，B2C，求证：，求证：ABBDCD证明：在证明：在DC上截取上截取DEDBADBCADBADE又又ADADADBADE(SAS)ABAE，ABDAEDB2CAED2C又又AEDCEACCEACAECEABBDAEDECEDECD. 在在中如果条件中如果条件B2C与结论与结论ABBDCD互换，仍然成立吗？试说互换，仍然成立吗？试说明理由明理由.解：仍然成立，理由如下：解：仍然成立，理由如下：在在DC上截取上截取DEDBADBCADBADE又又ADADADBADE(SAS)ABAE，BAEDABBDCDAEDECD而而CEDECDAECEEACC而而AEDEACCAED2CB2C在等腰三角形中，如遇等边或等角，可以考虑作底边上的高线，运在等腰三角形中，如遇等边或等角，可以考虑作底边上的高线，运用用“三线合一三线合一”性质解题；如遇垂直平分，可以考虑构造等腰三角形性质解题；如遇垂直平分，可以考虑构造等腰三角形解题解题. .等腰三角形中辅助线的作法等腰直角三角形和等边三角形是特殊的等腰三角形，它们除具有等腰直角三角形和等边三角形是特殊的等腰三角形，它们除具有等腰三角形的所有性质外，还有自身独特的性质，因而在解题中，可等腰三角形的所有性质外，还有自身独特的性质，因而在解题中，可以充分利用它们独特性质构造全等的三角形，以突破解题的难点以充分利用它们独特性质构造全等的三角形，以突破解题的难点. .类型二：巧用等腰直角三角形构造全等类型二：巧用等腰直角三角形构造全等如图如图1，OA=2，OB=4，以，以A点为顶点，点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角为腰在第三象限作等腰直角ABC.(1)点求点求C的坐标；的坐标；(2)如图如图2，P为为y轴负半轴上一个动点，当轴负半轴上一个动点，当P点向点向y轴负半轴向下运动时，以轴负半轴向下运动时，以P为顶为顶点，点，PA为腰作等腰直角为腰作等腰直角APD，过，过D作作DEx轴于轴于E点，求点，求OPDE的值的值.图图2图图1如图如图1，OA=2，OB=4，以，以A点为顶点，点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角为腰在第三象限作等腰直角ABC. (1)点求点求C的坐标；的坐标；解解:(1)如图如图1，过，过C作作CMx轴于轴于M点，点，MAC+OAB=90，OAB+OBA=90，则则MAC=OBA，又又CMA=AOB=90，AC=AB,MACOBA(AAS),CM=OA=2，MA=OB=4，OM=OA+AM=2+4=6,点点C的坐标为的坐标为(-6，-2).图图1解解:(2)如图如图2，过点，过点D作作DQOP于于Q点，点，则则DE=OQ,OP-DE=OP-OQ=PQ,APO+QPD=90， APO+OAP=90，QPD=OAP,又又AOP=PQD=90，AP=PD， AOPPQD(AAS),PQ=OA=2.即即OP-DE=2.(2)如图如图2，P为为y轴负半轴上一个动点，当轴负半轴上一个动点，当P点沿点沿y轴负半轴向下运动时，以轴负半轴向下运动时，以P为顶点，为顶点，PA为腰作等腰直角为腰作等腰直角APD，过，过D作作DEx轴于轴于E点，求点，求OP-DE的值的值.图图2类型类型三三：等腰：等腰( (边边) )三角形中截长补短构造全等三角形中截长补短构造全等或等边三角形或等边三角形如图，如图，ABC是正三角形，是正三角形，BDC是顶角是顶角BDC120的等腰三角形，以的等腰三角形，以D为顶点作一个为顶点作一个60的角，角的两边分别交的角，角的两边分别交AB、AC于于M、N两点，连结两点，连结MN，求，求证：证：MNBMCN.如图，如图，ABC是正三角形，是正三角形，BDC是顶角是顶角BDC120的等腰三角形，以的等腰三角形，以D为顶点作一个为顶点作一个60的角，角的两边分别交的角，角的两边分别交AB、AC于于M、N两点，连结两点，连结MN，求，求证：证：MNBMCN证明：延长证明：延长MB至点至点E使使BECNBDC120，DBDC2330ABC是正三角形是正三角形160,ABD90同理同理ACD90DBEDCN90由得由得DCNDBEDNDE，36460，BDC1205360MDE5660MDE4DMDM由得由得MEDMNDMNMEMBEBMBCN遇等腰直角三角形时，通常结合腰相等和锐角互余来添加辅助线、构遇等腰直角三角形时，通常结合腰相等和锐角互余来添加辅助线、构造全等三角形；造全等三角形；如遇等边三角形，通常以某条线段为边构造一个合适的等边三角形，如遇等边三角形，通常以某条线段为边构造一个合适的等边三角形，同时构造全等三角形同时构造全等三角形. .