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专题06 二元一次方程（组）考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一 二元一次方程（组）有关概念二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。【注意】1） 二元：含有两个未知数；2）一次：所含未知数的项的次数都是1。例如：xy=1，xy的次数是二，属于二元二次方程。2） 方程：方程的左右两边必须都是整式（分母不能出现未知数）。二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解【注意】1） 在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以求出另一个未知数的值。2） 二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解。二元一次方程组的概念：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组【注意】1）二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，如也是二元一次方程组。这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须一共含有两个未知数。3） 方程组中的各个方程中，相同字母必须代表同一未知量。4） 二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。【注意】1）二元一次方程组的解是方程中每个方程的解。2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的，但是有的方程组有无数个解或无解。如：有的方程组无解，如：【典型例题】1（2019天津中考模拟）方程组的解是（ ）ABCD【答案】D【解析】A不满足方程组，故不符合题意；B，不满足方程组，故不符合题意；C，不满足方程组，故不符合题意；D，满足方程组，故符合题意，故选D2（2019湖北中考真题）把一根长9m的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有（）A3种B4种C5种D9种【答案】B【详解】解：设的钢管根，根据题意得：，、均为整数，故选：B考查题型一 利用二元一次方程的定义求解参数值1（2017山东中考模拟）已知关于x、y的方程是二元一次方程，则m、n的值为（ ）Am=1，n=-1Bm=-1,n=1Cm=,n=Dm=，n=【答案】A【详解】方程是二元一次方程，解得：故选A2（2016贵州中考真题）已知关于的方程是二元一次方程，则的值为（ ）A BC D【答案】A【解析】二元一次方程是指含有两个未知数，且未知数的次数都是一次的整式方程，依题意，有：2m-n-2=1m+n+1=1，解得：m=1，n=-1.3（2017江苏中考模拟）如果是二元一次方程，那么、的值分别是( )A3、1 B3、2 C2、1 D2、-1【答案】B【解析】试题解析：依题意，得，解这个方程组得a=3，b=2故选B.考查题型二 二元一次方程（组）解得应用方法1（2017湖北中考模拟）方程组的解是，则m的值是（ ）A3B-3C2D-2【答案】C【解析】将x=4，y=2代入方程组得：4m+2=10，解得：m=2.故选C2（2019辽宁中考真题）关于x，y的二元一次方程组的解是，则的值为（ ）A4B2C1D0【答案】D【详解】解：把代入得：，解得：，故选：D3（2012山东中考真题）关于x、y的方程组的解是，则的值是（ ）A5B3C2D1【答案】D【详解】解：方程组的解是，解得所以，|m-n|=|2-3|=1故选D4（2012山东中考真题）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（ ）A2BC2D4【答案】C【解析】是二元一次方程组的解，解得。即的算术平方根为2。故选C。知识点二 解二元一次方程组消元的思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，即可先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元的思想。代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。基本思路：未知数由多变少。代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1.变：将其中一个方程变形，使一个未知数用含有另一个的未知数的代数式表示。 2.代：用这个代数式代替另一个方程中的相应未知数，得到一元一次方程。3.解：解一元一次方程4.求：把求得的未知数的值带入代数式或原方程组中的任意一个方程中，求得另一个未知数的值。 5.写：写出方程组的解。6.验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。考查题型三 用代入法解二元一次方程组的方法1（2019北京中考模拟）二元一次方程组的解是ABCD【答案】B【详解】，+得：3x=6，即x=2，把x=2代入得：y=0，则方程组的解为，故答案选B.2（2019丹东市第十四中学中考模拟）以方程组的解为坐标的点(x，y)在平面直角坐标系中的位置是( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【解析】，+得，2y=1，解得,y=.把y=代入得, =x+2，解得x=.0, 0，根据各象限内点的坐标特点可知，点(x,y)在平面直角坐标系中的第一象限。故选：A.3（2017内蒙古中考模拟）已知一个等腰三角形的两边长x，y满足方程组，则此等腰三角形的周长为（ ）A5B4C3D5或4【答案】A【解析】先解二元一次方程组,解得,所以等腰三角形的两边长为2,1.若腰长为1,底边长为2,由三角形三边关系可知这样的三角形不存在,若腰长为2,底边长为1,根据三边关系可知可以构成三角形,所以这个等腰三角形的周长为5.加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1.变形：将两个方程中其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数）。2.加减：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程。3.求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。4.回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。5.写解：写出方程组的解。6.检验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。考查题型四 用加减法解二元一次方程组的方法1（2018广西中考真题）若，则x，y的值为（ ）ABCD【答案】D【解析】，将方程组变形为，+2得，5x=5，解得x=1，把x=1代入得，3-2y=1，解得y=1，方程组的解为故选：D2（2019广东华南师大附中中考模拟）已知a，b满足方程组a+5b=123a-b=4则a+b的值为（ ）A4B4C2D2【答案】B【解析】试题解析：a+5b=123a-b=4，+：4a+4b=16则a+b=4，故选B 3（2019黑龙江中考模拟）由方程组可得出x与y之间的关系是()Axy1Bxy1Cxy7Dxy7【答案】C【详解】原方程可化为 ，+得，x+y=7故选C整体消元法：根据方程组各系数的特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，带入另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，并求得方程的解。例 令x+5=m，y-4=n原方程可写为 解得m=6，n=2，所以x+5=6,y-4=2， 所以 特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。考查题型五 用整体消元法解二元一次方程组的方法1（2017浙江中考真题）若二元一次方程组的解为则（ ）ABCD【答案】D【解析】x+y=3，3x-5y=4，两式相加可得：（x+y）+（3x-5y）=3+4，4x-4y=7，x-y=，x=a，y=b，a-b=x-y=故选D.2（2018河北中考模拟）若方程组的解是，则方程组的解是（ ）ABCD【答案】A【解析】解：令x+1=m，y2=n，方程组可化为方程组的解是，x+1=2，y2=1，解得：故选A考查题型六 利用同解方程组确定字母取值的方法1（2019杭州绿城育华学校中考模拟）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y6的解，则k的值为（）ABCD【答案】A【详解】解： ，+得：2x14k，解得：x7k，得：2y4k，解得：y2k，把x7k，y2k代入方程得：14k6k6，解得：k ，故选：A2（2018天津中考模拟）已知关于x，y的方程组 ，与，有相同的解，则a，b的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】关于x,y的方程组 与,有相同的解,所以,解得,将代入可得,解得,故选B.3.（2015广东中考模拟）方程5x2y9与下列方程构成的方程组的解为的是()Ax2y1B3x2y8C5x4y3D3x4y8【答案】D【解析】解：方程5x+2y=9与下列方程构成的方程组的解为的是3x4y=8故选D4（2019河北中考模拟）关于x、y的方程组的解是方程3x+2y34的一组解，那么m的值是( )A2B1C1D2【答案】D【详解】 ，得，3y6m，解得，y2m，把y2m代入得，x7m，由题意得，37m22m34，解得，m2，故选：D5（2019江苏中考模拟）关于x，y的方程组的解满足xy，则k的值是（）A1B0C1D2【答案】B【详解】解方程组得：，xy，解得：k0故选B6（2019北京青云店中学中考模拟）若方程xy1的一个解与方程组的解相同，则k的值为_【答案】-4【详解】解：联立方程得：，解得：，代入方程得：26k，解得：k4，故答案为47（2018江苏中考模拟）若两个关于 x，y 的二元一次方程组mx+3ny=13x-y=6与5x-ny=n-24x+2y=8有相同的解， 则 mn 的值为_【答案】6【详解】联立得：3x-y64x+2y8，2+，得：10x=20，解得：x=2，将x=2代入，得：6-y=6，解得：y=0，则x2y0，将x=2、y=0代入mx+3ny15x-nyn-2，得：2m110n-2，解得：m12n12，则mn=6，故答案为：6考查题型七 已知二元一次方程组的解满足条件求参数1（2019山东中考模拟）若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（）A3B2C1D0【答案】B【详解】解：，-得：x-y=3m+2，关于x，y的方程组的解满足x-y-，3m+2-，解得：m，m的最小整数解为-1，故选B2（2017广东中考模拟）已知方程组的解 x，y 满足 x+2y0，则 m 的取值范围是 （ ） .AmBm1Cm1Dm-1【答案】C【解析】详解： -，得 解得： 故选C.3（2018江苏中考模拟）已知，且，则k的取值范围为ABCD【答案】D【详解】 ，得将代入，得：故选D4.（2018江苏中考模拟）方程组的解x、y满足不等式2xy1，则a的取值范围为（）AaBaCaDa【答案】B【详解】 +得： 解得： 故选：B解二元一次方程的基本步骤：1.消元 2.求解 3.回代 4.写解 5.检验解三元一次方程的基本步骤1.变形（变三元一次为二元一次） 2.求解：解二元一次方程组 3.回代：将求得的未知数的值代入原方程组的一个适当的方程中，得到一个一元一次方程 4.求解：解一元一次方程，求出第三个未知数 5.写解：用大括号将所求的的三个未知数的值联立起来，即得原方程组的解。考查题型八 利用消元思想解三元一次方程组的方法1（2018江苏中考模拟）已知 ，那么x：y：z为（ ）A2：（1）：3B6：1：9C6：（1）：9D【答案】C【解析】方程组整理得：,-得：3x=2z，即x=z，将x=z代入得：y=-z，则x：y：z=z：（-z）：z=6：（-1）：9故选C2（2017四川中考模拟）三元一次方程组的解为（）ABCD【答案】C【解析】解方程组得C.知识点三 列二元一次方程组解应用题列二元一次方程组解应用题的一般步骤：1. 审：审题，明确各数量之间的关系。2. 设：设未知数3. 找：找题中的等量关系4. 列：根据等量关系列出两个方程，组成方程组5. 解：解方程组，求出未知数的值6. 答：检验方程组的解是否符合题意，写出答案。考查题型九 列二元一次方程解决分配问题1（2019浙江中考模拟）某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满，设大房间有个，小房间有个.下列方程正确的是( )ABCD【答案】A【详解】大房间有个，小房间有个，由题意得：，故选A.2（2018河南中考真题）九章算术中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三,问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）ABCD【答案】A【解析】设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为：故选A3（2018湖北中考真题）我国古代数学著作九章算术卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程（组）为（）ABCD【答案】A【详解】设有x人，物品的价格为y元，根据题意，可列方程：，故选A考查题型十 列二元一次方程解决销售利润1（2018山东中考真题）夏季来临，某超市试销、两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，型风扇每台200元，型风扇每台150元，问、两种型号的风扇分别销售了多少台？若设型风扇销售了台，型风扇销售了台，则根据题意列出方程组为（ ）ABCD【答案】C【解析】设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为： 故选C2（2018山东中考模拟）为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，若设每个排球x元，每个实心球y元，则根据题意列二元一次方程组得（）ABCD【答案】B【解析】设每个排球x元，每个实心球y元，则根据题意列二元一次方程组得： ，故选B3（2019河北中考模拟）陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（ ）A19B18C16D15【答案】C【解析】要求出第三束气球的价格，根据第一、二束气球的价格列出方程组，应用整体思想求值：设笑脸形的气球x元一个，爱心形的气球y元一个，由题意，得，两式相加，得，4x+4y=32，即2x+2y=16故选C4.（2015湖北中考模拟）某商店经销一种商品，由于进价降低了5%，售价不变，使得利润率由m%提高到（m+6）%，问：m值为多少？（ ）A12B14C16D18【答案】B【解析】设原进价为x，则：x+m%x=95%x+95%x（m+6）%，1+m%=95%+95%（m+6）%，100+m=95+095（m+6），005m=07解得：m=14故选B考查题型十一 列二元一次方程解决行程问题1（2018黑龙江中考模拟）小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路她去学校共用了16分钟假设小颖上坡路的平均速度是3千米时，下坡路的平均速度是5千米时若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为ABCD【答案】B【详解】小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意得，故选B2（2019浙江中考模拟）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：计费项目里程费时长费远途费单价1.8元/公里0.3元/分钟0.8元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元.小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（ ）A10分钟B13分钟C15分钟D19分钟【答案】D【详解】设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，依题可得：1.86+0.3x=1.88.5+0.3y+0.8（8.5-7）,10.8+0.3x=16.5+0.3y,0.3（x-y）=5.7,x-y=19,故答案为D.考查题型十二 列二元一次方程解决和、差、倍、分问题1.（2018湖北中考模拟）已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这个两位数所列的方程组正确的是（ ）ABCD【答案】D【解析】本题考查的是根据实际问题列方程组根据等量关系：十位上的数字比个位上的数字大，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小，即可列出方程组。根据十位上的数字比个位上的数字大，可列方程为，根据若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小，可列方程为，则可列方程组为，故选D。2（2019浙江中考模拟）一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1，若将这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（）A86B68C97D73【答案】D【详解】设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y则，解得故选D3（2014辽宁中考真题）为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的如果6只饭碗摞起来的高度为15cm，9只饭碗摞起来的高度为20cm，那么11只饭碗摞起来的高度更接近（ ）A21cmB22cmC23cmD24cm【答案】C【详解】试题分析：设碗的个数为x个，碗的高度为ycm，由题意可知碗的高度和碗的个数的关系式为y=kx+b，由题意得，解得：，则11只饭碗摞起来的高度为：11+5=（cm）更接近23cm故选C4（2017浙江中考模拟）已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍设甲数为x，乙数为y，根据题意，列方程组正确的是（）ABCD【答案】A【详解】设甲数为x，乙数为y，根据题意得： ，故选A.5（2019山东中考模拟）甲数的2倍比乙数大3，甲数的3倍比乙数的2倍小1，若设甲数为x，乙数为y，则根据题意可列出的方程组为（）ABCD【答案】C【解析】解：设甲数为x，乙数为y，根据题意得：，故选C考查题型十三 列二元一次方程解决方案问题1（2019黑龙江中考模拟）某校九年级（1）班为了筹备演讲比赛，准备用200元钱购买日记本和钢笔两种奖品（两种都要买），其中日记本10元/本，钢笔l5元/支，在钱全部用完的条件下，购买的方案共有（ ）A4种B5种C6种D7种【答案】C【详解】设购买日记本x本，钢笔y支，10x+15y=200，即2x+3y=40，x、y均为整数，x=2时，y=12，x=5时，y=10，x=8时，y=8，x=11时，y=6，x=14时，y=4，x=17时，y=2，共有6种购买方案，故选C.考查题型十四 列二元一次方程解决几何问题1（2018黑龙江中考真题）如图，在长为15，宽为12的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，则图中阴影部分的面积为（）A35B45C55D65【答案】B【详解】解：设小矩形的长为a，宽为b，可得方程组：a+2b=15，a=3b，可得解：a=9，b=3，故阴影部分的面积：1512-539=45，故选B.2（2015四川中考真题）一副三角板按如图方式摆放，且1的度数比2的度数大50，若设1=x，2=y，则可得到方程组为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据平角和直角定义，得方程x+y=90；根据1比2的度数大50，得方程x=y+50可列方程组为，故选D3（2019河南中考模拟）如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x，宽为y，则依据题意可得二元一次方程组为（）ABCD【答案】A【详解】解：设每一个小长方形的长为x，宽为y，依题意，得：故选A25
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