直线圆锥曲线与向量的综合问题

直线圆锥曲线与向量的综合问题咼考考什么知识要点：1 直线与圆锥曲线的公共点的情况(1)没有公共点方程组无解(2)一个公共点(1)没有公共点方程组无解(2)一个公共点i) 相交A0ii) 相切A0,0(3)两个公共点A0,0连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式:AB|1k2x,x22 以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题4.几何与向量综合时可能出现的向量内容(1) 给出直线的方向向量或；给出亠1与止弓相交,等于已知1过廿的中点;(2) 给出逼,等于已知F是C的中点；(4)(4)给出,等于已知Ab与pq的中点三点共线；(5)给出以下情形之一：-;存在实数-；若存在实数隔炖且抚0=1,便02*=段Q4+0OE等于已知玄罠C三点共线0虫+見0E1十2(6)给出等于已知匸是丄的定比分点,；为定比，即止-(7)给出-,等于已知一也丄匕左,即小三是直角,给出出也-于已知二:三是钝角,给出-m-v,等于已知一二三是锐角(8)给出等于已知拦吓是-二：三的平分线文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.kkhk（9）在平行四边形中，给出，等于已知-汀二是菱形；（10）在平行四边形中，给出亠一丄川，等于已知三匕是矩形；（11）在日匚中，给出丄】（11）在日匚中，给出丄】，等于已知二是二盯匚的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在亠匚中，给出-，等于已知匚是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在一1比中，给出-丄，等于已知匚是_】三匚的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；_毗竺I竺）（14）在AABC中，给出OP=OA-ABAC（几总尺冷等于已知丿尸通过口呂匚的内心;（15）在丄扛匚中，给出-等于已知匸是一扛匚的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；曲（殛+走）（16）在亠中，给出-,等于已知日是亠二中口边的中线；咼考怎么考主要题型：1三点共线问题；2公共点个数问题；3弦长问题；4.中点问题；5.定比分点问题；6.对称问题；7.平行与垂直问题；8.角的问题。近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为（1）考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。（2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。特别提醒：法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。高考真题1.2012上海卷若n=（2,1）是直线I的一个法向量，则I的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示).arctan2解析考查直线的法向量和倾斜角，关键是求出直线的斜率.1由已知可得直线的斜率kx=1,.k=2,k=tana,所以直线的倾斜角a=arctan2.-22.2012重庆卷如图13,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为Fi,F2，线段OFi,OF2的中点分别为Bi,B2,且厶AB1B2是面积为4的直角三角形.图13(1) 求该椭圆的离心率和标准方程；过B1作直线I交椭圆于P,Q两点，使PB2丄QB2,求直线l的方程.解：(1)设所求椭圆的标准方程为|2+b=1(ab0)，右焦点为F2(c,0).因MB1B2是直角三角形，又|AB1|=AB2|，故/B1AB2为直角，因此QA|=|0B2|,得b=号结合c2=a2b2得4b2=a2b2,故a2=5b2,c2=4b2，所以离心率e=；5.在RtAB1B2中，OA丄B1B2，故1c2SmB1B2=2|B1B2|OA|=|OB2|OA|=2b=b2.由题设条件SAB1B2=4,得b2=4,从而a2=5b2=20.因此所求椭圆的标准方程为：x220+4=1.(2) 由(1)知B1(2,0),B2(2,0).由题意知直线I的倾斜角不为0,故可设直线I的方程为：x=my2.代入椭圆方程得(m2+5)y24my16=0.设P(X1,y1)、Q(x2,y2)，贝Uy1,y2是上面方程的两根，因此4m16y1+y2=r;,小2=,m+5m+5又B2P=(x12,y1),B2Q=(x22,y2)，所以-2-2B2PB2Q=(x12)(X22)+y1y2=(my14)(my24)+目旳2=(m2+1)y1y24m(y1+y2)+1616m2+116m2=22+16m2+5m2+516m264=2m2+5由PB2丄QB2，得EPb2Q=0，即16m264=0，解得m=2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x+2y+2=0和x2y+2=0.32012湖北卷设A是单位圆X2+y2=1上的任意一点，I是过点A与X轴垂直的直线，D是直线I与X轴的交点，点M在直线I上，且满足|DM|=m|DA|(m0，且m1).当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.(1) 求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2) 过原点且斜率为k的直线交曲线C于P,Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m,使得对任意的k0,都有PQ丄PH?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.解：如图，设M(x,y),A(X0,y0)，则由|DM|=m|DA|(m0,且m1),1可得x=X0,|y|=m|y|,所以X0=x,|y|=后艸因为点A在单位圆上运动，所以x0+y0=1将式代入式即得所求曲线C的方程为x2+芯=1(m0,且m1).m因为m(0,1)U(1,+s)，所以当0vmv1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(_,1m2,0),(-1m2,0);当m1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，-m21),(0,(2)方法1：如图、(3)，对任意的k0，设P(X1,kx1),H(x2,y2)，贝UQ(X1,kx1),N(0,kx1)，直线QN的方程为y=2kx+kx1，将其代入椭圆C的方程并整理可得(m2+4k2)x2+4k*x+k2x1m2=0.依题意可知此方程的两根为X1,X2，于是由韦达定理可得2224kX1口口mx1厂、亠+八、十2kmX1X1+X2=2，即X2=.因为点H在直线QN上，所以y2kx1=2kx2=-.m2+4k2m2+4k2m2+4k2m21).于是PQ=(2xi，2kxi),224kX12kmX1PH=(X2X1,y2kx1)=一m2+4k2,m2+4k2tt42m2k2x1而PQ丄PH等价于PQPH=0，即2m2=0,又m0,得m=.2,m2+4k2故存在m=、2,使得在其对应的椭圆x2+专=1上，对任意的k0，都有PQ丄PH.方法2:如图(2)、(3)，对任意X1(0,1)，设P(X1,y1),H(X2,y2)，则Q(X1,y”,N(0,y)m2x2+y2=m2,因为P,H两点在椭圆C上，所以m2x2+y2=m2,两式相减可得m2(x1x2)+(y1y2)=0依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限故(XIX2)(X1+X2)M0.于是由式可得且P,H不重合,y1y2y1+y2=m2.又Q,N,H三点共线，所以X1X2X1+X2细y1+y2kQN=kQH，即=X1X1+X2y1y1y21y1y2y1+y2于是由式可得kPQkPH=-=2X1X1X22X1X2X1+X22而PQ_LPH等价于kPQkPH=1,即一岁=1，又m0，得m=、：；：2,故存在m=、2,使得在其对应的椭圆x2+专m22.1上，对任意的k0，都有PQ丄PH.4大纲文数2011全国卷已知O为坐标原点,F为椭圆C:x2+2=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为一.2的直线I与C交于A、B两点，点证明：点P在C上；(1) 设点P关于点0的对称点为Q,证明：A、【解答】(1)证明：4x222x1=0.设A(X1,y1),B(X2,则騙则X1=4，X2=图14P满足OA+OB+OP=0.P、B、Q四点在同一圆上.F(0,1),l的方程为y=.2x+1,代入x2+f=1并化简得y2),P(X3,y3),4,X1+X2=，y1+y2=飞$2(X1+X2)+2=1,由题意得X3=(X1+X2)=-2,y3=(y1+y2)=1.返12，.t,1满足方程X2+2所以点P的坐标为2=1,故点p在椭圆c上.1和题设知Q2,1,PQ的垂直平分线l1的方程为y=#x.设AB的中点为M,贝UM乎,I,AB的垂直平分线12的方程为丫=寻+.由、得1仆|2的交点为N,1.88222,112=虻2888经验证，点P的坐标(2)证明：由P22|NP|=|AB|=71+-迈2|X2X1|=普,|AM|=乎,mnZ半+半2+2-=攀|NA|=p|AM|2+|MN|2=,故|NP|=|NA|.又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|,所以|NA|=|NP|=|NB|=|NQ|,由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上.一x2y2152012福建卷如图椭圆E:孑+詁=1(ab0)的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e=?,过F1的直线交椭圆于A、B两点，且厶ABF2的周长为8.(1) 求椭圆E的方程；(2) 设动直线I：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.解：解法一：(1)因为AB|+|AF2|+|BF2|=8,即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2=8，又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2=2a,c1所以4a=8,a=2.又因为e=2,即-=2,所以c=1,a2所以b=a2c2=,3.22故椭圆e的方程是y+y=1.43y=kx+m,由x2y2得(4k2+3)x2+8kmx+4m212=0.4十31,因为动直线I与椭圆E有且只有一个公共点P(xo,yo)，所以mz0且=0,即64k2m24(4k2+3x4m212)=0,化简得4k2m2+3=0.(*)此时X0=他応=4k,y0=kx0+m=口，所以P-，m.由mmmmx=4,4k2+3得Q(4,4k+m).y=kx+m假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上.设M(xi,0)，则MPMQ=0对满足(*)式的m、k恒成立.因为IMP=辛一xi,m，Mq=(4Xi,4k+m),丄-/口16k4kxi212k由MPMQ=0,得一+4xi+xi+3=0,mmmk整理，得(4x14扁+x24x1+3=0.(*)由于(*)式对满足(*)式的m,k恒成立，4x14=0,所以解得X1=1故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.X?4x1+3=0,解法二：(1)同解法一.y=kx+m,(2)由x2y2得(4k2+3)x?+8kmx+4m212=0.+=14十3!,因为动直线I与椭圆E有且只有一个公共点P(X0,y0)，所以mz0且=0,即64k2m24(4k2+3x4m212)=0,化简得4k2m2+3=0.(*)此时此时X。4km4k2+34k34k3丄m,y0=kx+m=m所以Pm,m.由x=4,y=kx+m,得Q(4,4k+m).假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上.取k=0,m=,3,此时P(0,3),Q(4,3)，以PQ为直径的圆为(x2)2+(y.3)2=4,1交x轴于点M1(1,0),M2(3,0);取k=2m=2,35345此时P1,3,Q(4,0)，以PQ为直径的圆为x52+y32=,交x轴于点M3(1,0),M4(4,0).所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1,0).以下证明M(1,0)就是满足条件的点：因为M的坐标为(1,0)，所以MP=瓷1,m,MQ=(3,4k+m),tt12k12k从而MPMQ=3+3=0,mm故恒有IMP丄MQ,即存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.突破重难点例1.过点Rx,y)的直线分别与乂訊叫半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称，。为坐标原点，若BP2PA且OQ?AB1,则点P的轨迹方程是(D)A.2323xy21(x0,y0)B.2323x2y21(x0,y20)C.322x3y21(x0,y0)D.322x3y1(x0,y20)例2.已知椭圆C1:羊+y2=1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率(1)求椭圆C2的方程;设。为坐标原点，点A,B分别在椭圆C1和C2上,OB=2OA,求直线AB的方程.y2X2解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为色+=1(a2),a4其离心率为迈3，故a=申，则a=4，故椭圆C2的方程为必解法一：A,B两点的坐标分别记为(xa,yA),(xb,yB),由OB=2OA及(1)知，O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y=kx.xA=174k2,X2将y=kx代入4+y2=1中，得(1+4k2)x2=4,所以y2X2将y=kx代入16+4=1中，得(4+k2)x2=16,所以xB=6,又由OB=2OA，得xB=4xA,4+k2即芈=叫4+k21+4k2yB),解得k=，故直线AB的方程为y=x或y=x.解法二：A,B两点的坐标分别记为(xa,yA),(xb,由OB=2OA及(1)知，O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y=kx.X2将y=kx代入4+y2=1中，得(1+4k2)x2=4,所以xA=，由oB=2oA,1+4k2/口216216k2得xB=2，yB=21+4k21+4k2v2X2将xB,yB代入話+X4=1中,得上兰=1,即4+k2=1+4k2,1+4k2解得k=，故直线AB的方程为y=x或y=x.例3.在平面直角坐标系xoy中，直线I与抛物线y2=2x相交于A、B两点.(1) 求证：“如果直线I过点T(3,0),那么OAOB=3”是真命题；(2) 写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.解(1)设过点T(3,0)的直线I交抛物线y=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).当直线I的钭率不存在时，直线I的方程为x=3，此时，直线I与抛物线相交于,J/*h点A(3,.6)、B(3,.6).OAOB=3;当直线I的钭率存在时，设直线I的方程为yk(x3)，其中k0,y22X由得ky22y6k0y1V26yk(x3)又I，X11V12,x22V22,UUu皿2OA?OBX1X2V1V24(22)V1V23,综上所述，命题“如果直线I过点T(3,0)，那么OAOB=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线I交抛物线y2=2x于AB两点，如果OAOB=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.1 uuuuuu2例如：取抛物线上的点A(2,2),B(,1)，此时OA?OB=3,直线AB的方程为：yf(x1)，而T(3,0)3不在直线AB上;说明：由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)、B(x2,y2)满足OAOB=3,可得y1y2=6，或y1y2=2，如果yty2=6,可证得直线AB过点(3,0);如果丫$2=2,可证得直线AB过点(1,0),而不过点(3,0).uuu例4已知A,B为抛物线X2=2py(p0)上异于原点的两点，OA求证：A,B,C三点共线；若AM=BM(2X1说明：由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)、B(x2,y2)满足OAOB=3,可得y1y2=6，或y1y2=2，如果yty2=6,可证得直线AB过点(3,0);如果丫$2=2,可证得直线AB过点(1,0),而不过点(3,0).uuu例4已知A,B为抛物线X2=2py(p0)上异于原点的两点，OA求证：A,B,C三点共线；若AM=BM(2X1(1)(2)(1)证明：设A(x1,-),B(x2,2p2puuurruuuR)且OMAB2X2)，0试求点uuuuuu由OAOBX-|2X22uuuOB0,点C坐标为(0,2p)M的轨迹方程。uuur又QAC(2X20得X1X22p2px2uuuX1,2pjAB2p2X10,(X2X1X24p2，2X2X1,一2p2X1)X|2，r-(2p护x2X2puuuruuuAC/AB，即A,B,C三点共线。X1)uuuuuuu又由OMAB所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点22例5椭圆笃爲ab0及AM=BM(R)知OMAB,M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x0,y41(a,b0)的两个焦点F1、F2,点P在椭圆C上，且PF丄FF,|PF|=,|3(2)由(1)知直线AB过定点C,垂足为M0)。(I)求椭圆C的方程；.22.(II)若直线l过圆x+y+4x-2y=0的圆心M交椭圆于AB两点,方程。且A、B关于点M对称，求直线I的解法一：(i)因为点P在椭圆C上，所以2aPF1PF26,a=3.在RtPFF2中,F1F2；|PF2PF125,故椭圆的半焦距c=-.5,22从而b2=a2c2=4,所以椭圆C的方程为丄=1.94(n)设A,B的坐标分别为(X1,yJ、(X2,y2).由圆的方程为(x+2)2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为(一2,1).从而可设直线I的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程得2222(4+9k)x+(36k+18k)x+36k+36k27=0.2因为A,B关于点M对称.所以空生空舉2.249k解得k8,9所以直线l的方程为y8(x2)1,即8x-9y+25=0.(经检验，符合题意)9解法二：(I)同解法一.(n)已知圆的方程为(x+2)2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为(一2,1)因为AB关于点M对称，所以X1+x2=4,y1+y2=2,设A,B的坐标分别为(X1,y1),(X2,y2).由题意X1X2且2222y11,X2h1,9494由一得爼X2)(X1X2)(y1y2)(y1y2)0.94文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.代入得yi一y2=-，即直线l的斜率为8,X!x299所以直线I的方程为y1=-(x+2),9即8x9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)2例6设Fi、F2分别是椭圆y21的左、右焦点.4UUTULUU(I)若P是该椭圆上的一个动点，求PF1PF2的最大值和最小值；AB,且/AOB为锐角(其中0为坐标原点)，AB,且/AOB为锐角(其中0为坐标原点)，(n)设过定点M(0,2)的直线I与椭圆交于不同的两点求直线I的斜率k的取值范围.解：(1)解法一：易知a2,bl,c、3,所以F1.3,0,F23,0，设Px,y,UULT则PF12x,yxx243x28因为x2,2，故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时,UULTPF1UULUIpf2有最小值-2UULTUUU当x=2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1PF2有最大值解法二：易知a2,b1,c.3，所以F1、3,0,F2,3,0，设Px,y，则x.312xy23(以下同解法一)联立又00显然直线y2X4X24k0不满足题设条件,可设直线l:ykx2,AX1,y2,BX2,y2,kx4kk2消去1X14A0B900kx12kx2y，整理得:k2x24kx3X2cos3k2丄44k23A0B00得:uuuOA2kx1x22kx-.uuuOBUUTUUU二OAOBnx2X23k2.21k48k2.21k4k21.21k4k210，即k22k2故由、得2k22F,、F2，过F,的直线交椭圆于BD两点，过F2的直线例7已知椭圆y1的左、右焦点分别为2 2交椭圆于AC两点，且ACBD，垂足为P.22(I)设P点的坐标为(x0,y0)，证明：型红1；32当BD的斜率k存在且k0时，BD的方程为y当BD的斜率k存在且k0时，BD的方程为yk(x22代入椭圆方程1，并化简得(3k22)x26k2X323k2设B(X1,yj,D(X2,y2)，则：X1X26k23k22,XrX23k263k221)，6BD.1k2x2)24x-|X243(k23k22(H)求四边形ABCD勺面积的最小值。I)证明：椭圆的半焦距c321，由AC丄BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故X：y1,所以,AC43评14.3(k21)3古2k23四边形ABCC的面积S?BD?AC22224(k1)22(k1)96(3k22)(2k23厂(3k22)(2k23)225等号当k2=1时，上式取毕耳(ii)当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD勺面积S=4.(I(II96综上，四边形ABCD勺面积的最小值为96.258已知函数ykx与yx22(x0)的图象在A,)求k的取值范围;)设t为点M的横坐标，当(III解:x22(x0)的图象相交于A(Xi,yi),B(X2,y?),li,I2分别是B两点的切线，M,N分别是li,I2与x轴的交点.XiX2时，写出t以Xi为自变量的函数式，并求其定义域和值域;)试比较0M与ON的大小，并说明理由(0是坐标原点).(II由yiXiykx,2I)由方程2消y得xkx2yx22依题意，该方程有两个正实根，故)由f(X)Xi22,k2822x，求得切线li的方程为XiXi的增函数，定义域为(0,2)，所以值域为(III)当XX2时,由(II)可知OM类似可得ONX22.|OMX2ONXik28x2k2x(xXi,XiXi是关于Xi由可知x)x22.从而OMON当x2Xi时，有相同的结果自我提升i、其中A.OMON0,0,Xi)x2是解得k2._2.yi,方程的两实根，且XiX2k的减函数，所以Xi的取值范围是(0,2).XiX20.所以t是关于Xixix2X-|X2OMO为坐标原点，已知A(3,i),C的轨迹方程为(D)22平面直角坐标系中，R且=i,则点3x+2y-i仁0B.(x-i)2+(y-2)2=5C.2x-y=0已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=(x2)i则点Px,y)的轨迹是.(C)A.椭圆B.双曲线C.线段D.射线2、ON.B(-i,yj,3、中心在原点，焦点在坐标为(0,52)的椭圆被直线3),若点C满足OCOAx+2y-5=0b=(x2)iyj,且满足|al+l3xy2=0截得的弦的中点的横坐标为OB,b|=4.则椭圆方程为(C)2x4、直线y=kx+1与椭圆一5A、m1且mr5B、2ym11恒有公共点，则m的取值范围是(A).D、mfC55、已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=(x.3)iyj,b=(x,3)iyj,且满足|a|-|b|=2.2号1(x0).C、mr5则点Rx,y)的轨迹C的方程为.(X5.2012许昌一模设Fi、F2分别是双曲线1的左、右焦点.若点P在双曲线上，且PF1Pf2=0，则|PF1+P?2|=()A.2:2B.10C.425.D解析根据已知厶PF1F2是直角三角形，向量D.210PF1+P?2=2PO，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出.P?1P?2=0,则|P?1+P?2|=2|PO|=|F1F2|=2/10.6.已知AB为抛物线x2=2py(p0)上两点，直线AB过焦点F,AB在准线上的射影分别为C、D,则KA?KF0:CF?DF0;存在实数使得ADAO:若线段T,有FT?AB0。中说法正确的为y轴上恒存在一点K,使得AB中点P在在准线上的射影为x27.已知椭圆uuuruur2AQPB，求直线y21,过P(1,0)作直线I，使得I与该椭圆交于A,B两点，I与y轴的交点为Q且的方程。解：直线I过P(1,0)uuur，故可设方程为y=k(x-1),因为AQAB的中点与PQ的中点重合.2x由2yk(x1得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0所以xA1)XbXp+XQ=1故上匚1得k迈，所求的直线方程为12k28.2012瑞安质检设椭圆M:2+y=1(a；：2)的右焦点为a2F1,直线I:x=彩-2与x轴交于点A,若EF为圆N:x2+(y2)2=1的任意一条直径(E,F为直径的两个端点),OF1+2AF1=0(其中O为坐标原点).(1)求椭圆M的方程；设P是椭圆M上的任意一点，求PEPF的最大值.解：(1)由题设知,由OF1+2AF1=0,A*2,0,F1(22,0),得/a口=2書匕.解得a2=6所以椭圆M的方程为X+y=1.62解法1:设圆N:x2+(y2)2=1的圆心为N,贝yPEpf=(NENP)(NFNP)=(NFNP)(-NFNP)=NP2NF2=NP21.设P(X0,y0)是椭圆M上一点，贝U曽+弓=1,所以NP2=x2+(y02)2=2(y+1)2+12.文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.因为y-2,-2，所以当y=-1时，NP故椭圆的离心率e=取得最大值12.所以PEPF的最大值为11.X2=X1解法2:设点E(X1,y1),F(x2,y2),P(x0,y0)，所以可得y2=4y1.PEPF=(x1-X0)(x2X0)+(y1-y0)(y2y。)=(X1x)(-X1x)+(y1-y)(4-y1-y)=x0X1+y2y1+4y14y0=x2+y24y0(X1+y24y1).3.因为点E在圆N上，所以X2+(y12)2=1，即卩X2+y24y1=又因为点P在椭圆M上，所以X0+y0=1,62即x2=63y2.所以PEPF=2yj4y+9=2(y+1)2+11.因为y0.2,.2，所以当2X29.设椭圆C:ayo=-1时，(PEPF)min=11.于另外一点P,交21(abb0)的左焦点为F,上顶点为APx轴正半轴于点Q且8-PQ5A,过点A作垂直于AF的直线交椭圆C(1) 求椭圆C的离心率;(2) 若过AQF三点的圆恰好与直线I:0相切，求椭圆C的方程解：设Q(xo，0)，由F(-c，0)*A(0,b)知FA(c,b),AQ(x,b)P(X1,yJ由AP8PQ设5，得8b2型)213c2因为点P在椭圆上，所以a型)213c2因为点P在椭圆上，所以a(討b2整理得2b2=3ac，即即2(a2-c2)=3ac，整理得2b2=3ac，即即2(a2-c2)=3ac，2e23e2b2由知3ac,得丄2a；c2是F(-2a,0),Q(fa,0)1所以5|a，解得a=2,c=1,b=3,2x所求椭圆方程为4