资源描述
. 实数的概念实数可以分为有理数和无理数两类,或代数数和超越数两类,或正实数,负实数和零三类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。而 表示 n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。实数可以用来测量连续的量。理论上,任何实数都可以用无限小数的方式表示,小数点的右边是一个无穷的数列可以是循环的,也可以是非循环的。在实际运用中,实数经常被近似成一个有限小数保存小数点后 n 位,n为正整数。在计算机领域,由于计算机只能存储有限的小数位数,实数经常用浮点数来表示。实数的运算法那么1、加法法那么:1同号两数相加,取一样的符号,并把它们的绝对值相加;2异号两数相加,取绝对值大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变即:加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或先把后两个数相加,和不变即:2、减法法那么:减去一个数等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)3、乘法法那么:1两数相乘,同号取正,异号取负,并把绝对值相乘。 2n个实数相乘,有一个因数为0,积就为0;假设n个非0的实数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有偶数个时,积为正;当负因数为奇数个时,积为负。3乘法可使用乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积不变即: 乘法结合律 :三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变即: 。分配律 : 一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加即: 4、除法法那么:1两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。2除以一个数等于乘以这个数的倒数。即30除以任何数都等于0,0不能做被除数。5、乘方: 所表示的意义是n个a相乘,即正数的任何次幂是正数,负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数乘方与开方互为逆运算。6、实数的运算顺序:乘方、开方为三级运算,乘、除为二级运算,加、减是一级运算,如果没有括号,在同一级运算中要从左到右依次运算,不同级的运算,先算高级的运算再算低级的运算,有括号的先算括号里的运算。无论何种运算,都要注意先定符号后运算。实数计算的常见类型及方法一、实数的运算 (1)加法 同号两数相加,取原来的符号,并把绝对值相加; 异号两数相加。取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值; 任何数与零相加等于原数。 (2)减法 a-b=a+(-b) (3)乘法 两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;零乘以任何数都得零即(4)除法(5)乘方(6)开方 如果x2a且x0,那么x; 如果x3=a,那么在同一个式于里,先乘方、开方,然后乘、除,最后加、减有括号时,先算括号里面3实数的运算律 (1)加法交换律 a+bb+a (2)加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) (3)乘法交换律 abba (4)乘法结合律 (ab)c=a(bc) (5)分配律 a(b+c)=ab+ac其中a、b、c表示任意实数运用运算律有时可使运算简便一、加法运算中的方法与技巧 例1 计算:分析:题的关键是确定运算顺序,有括号的还应先计算括号的;2题的关键是求出绝对值符号中式子的值,进而求出整个式子的值进展有理数的混合计算时,小学学过确实定运算顺序的方法仍然适用【小结】巧用加法的交换律与结合律,以到达简化的目的,同时注意交换加数位置时,一定要连同前面的符号一起移动.实数加法运算常有以下规律:互为相反数的两个数先相加“相反数结合法;符号一样的数先相加“同号结合法;分母一样的数先相加“同分母结合法;几个数相加得到整数先相加“凑整法;整数与整数,小数与小数相加“同形结合法.二、乘、除运算中的方法与技巧例2:计算:分析:这里没有用括号规定运算顺序,所以我们应先算乘方,再算除法,最后算除法2用括号规定运算顺序,所以应先算括号的,再按顺序进展另外也可以利用乘法对加法的分配律去掉括号,然后再按顺序进展点评:在进展有理数的混合运算时,一要注意运算顺序的正确;二要注意符号的变化;三要注意在运算性质时不要出现错误三、幂的运算【例3】 计算:【小结】表示4个-2相乘,负数的偶次方是正数,而表示的相反数,结果为负数,两者意义不同,注意区别.同理,表示3个-2相乘,表示的相反数,表示3个相乘,表示除以5的商的相反数,两者意义不同,注意观察,当底数是分数时,底数要加括号. 四、在混合运算中灵活运用运算律【小结】 此题利用分配律计算非常简便,但同时是同学们在计算时容易出错的地方.第一种方法是把括号中的式子看作和的形式,分别相乘,再相加.第二种方法是先定符号,后面注意整体思想.第三种方法,第一局部相乘时先定符号,后定值.【小结】 善于观察,寻求解决问题的策略,是至关重要的.灵活使用交换律和分配律,使解决此题的步骤变得简捷明快.【小结】 有理数的加减乘除混合运算中,如果有括号通常先算括号里面的,如果无括号,那么按照“先乘除,后加减五、二次根式的运算例8:小东在学习了后, 认为也成立, 因此他认为一个化简过程:是正确的. 你认为他的化简对吗? 说说你的理由。分析:二次根式的化简要根据其根本性质进展,对于性质:,是有条件的即:,做题时应注意这一点。解答:他的化简过程是错误的,这是因为:根据性质:,应有条件,而该同学在的化简过程中,显然出现了违背条件的情况,与是没有意义的,因此他的化简过程是错误的。正确的应是: 点评:运算性质是运算的根底,要准确全面的把握运算性质,不能断章取义,在复习是要注这一点,对某一知识的掌握要全面、深刻而不能仅仅局限于了解、知道或模棱两可,这是总复习中的大忌。拓广:对于题目“化简并求值:,其中,甲、乙人的解答不同甲的解答是:乙的解答是:谁的解答是错误的?为什么?解:乙的解答是错误的,因为:,那么,故有:六、开放性问题【例9】 现有四个有理数3,4,-6,10运用有理数的四那么混合运算写出三种不同方法的运算式,使其结果等于24,运算如下:( 1 _2 _3 _解:1 10-634 2 10463 3 410-63【小结】 此题具有开放性、探究性,要发散思维,结合有理数的混合运算性质,多角度寻求解题途径对于任意非零实数x,y定义的新运算“:xy=ax-by,等号右边是乘法和减法的运算,:23=2,35=2,那么34=_答案:4解析:根据题意列出方程组,求出方程组的解得到a与b的值,再将所求式子利用新定义变形后计算即可求出值解:根据题意得:,3-2得:b=2,将b=2代入得:2a-6=2,即a=4,那么34=12-8=4故答案为:4在实数的原有运算法那么(“?和“-仍为通常的乘法和减法)中,我们补充定义新运算“如下:当时,;当时,.那么当时,函数的最大值等于()A.-1B.1C.6D.12答案:C小明设计了一个关于实数的运算程序如下,当输入x的值为时,那么输出的数值为_在实数的原有运算法那么中,我们补充定义新运算“如下:当ab时,ab=b2;当ab时,ab=a那么当x=2时,(1x)x-(3x)的值为_(“和“-仍为实数运算中的乘号和减号)6 / 6
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