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1 例例 质量为质量为 mm 的物体自空中落下的物体自空中落下, , 它除受重力外它除受重力外, , 还受到一个与速度平方成正比的阻力的作用还受到一个与速度平方成正比的阻力的作用. . 比例系数比例系数为为 k k ，k k 为正常数为正常数. . 该下落物体的该下落物体的终极终极速度速度（即最后物即最后物体做匀速直线的速度）将是体做匀速直线的速度）将是kmg(A)gk(C)kg2(B) gk(D)2（A）（B）（C）singcosg（D）cosgtangmmg1NF2NFmgFcosN12N1NsinFFtansinN1gmFa 例例 在倾角为在倾角为 的固定光滑的斜面上，放一质的固定光滑的斜面上，放一质量为量为 m 的小球，球被竖直的木板挡住，在竖直木板的小球，球被竖直的木板挡住，在竖直木板被迅速拿开的瞬间，小球获得的被迅速拿开的瞬间，小球获得的加速度加速度3（A） （B）（C） （D）需由小环质量决定需由小环质量决定 例例 一小环可在半径为一小环可在半径为R 的大圆环上无摩擦地滑动的大圆环上无摩擦地滑动, , 大圆环以其竖直直径为轴转动大圆环以其竖直直径为轴转动, , 如图所示如图所示. . 当圆环以恒当圆环以恒定角速度定角速度 转动转动, ,小环偏离圆环转轴而且相对圆环静止小环偏离圆环转轴而且相对圆环静止时时, , 小环所在处圆环半径偏离竖直方向的角度小环所在处圆环半径偏离竖直方向的角度 为为mgNcossinsin2RmNRg2cos解解 对小环受力分析，有对小环受力分析，有从以上二式可得到从以上二式可得到gmNR2)arccos(2Rg)arctan(2gR4rRhm解解 设小球位置如图设小球位置如图mgFNcosRhRRrcossin ，2gRhrmFN2sin 例例 在一只半径为在一只半径为R 的半球形碗内，有一质量为的半球形碗内，有一质量为 m的小球，当球以角速度的小球，当球以角速度 在水平面内沿碗内壁作匀速在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时圆周运动时, ,它离碗底有多高？它离碗底有多高？NFgmm5解解 设木板加速度设木板加速度 , 夹子加速度夹子加速度 .1a2aFgm2NFNFgm1NFNFNFNF 例例 一质量为一质量为 m2= 0.5 kg 的夹子的夹子, 以压力以压力FN =120 N 夹着质量夹着质量 m1=1.0 kg 的木板的木板, 已知夹子与木板间的摩擦系已知夹子与木板间的摩擦系数数 = 0.2 , 问以多大的力竖直向上拉时问以多大的力竖直向上拉时, 才会使木板才会使木板脱离脱离夹子夹子.222N2amgmFF111N2amgmFNFNFTFTFF611N22N22mgmFmgmFFN72)(2111NmmmFF222N2amgmFF111N2amgmF12aa 脱离条件脱离条件 注意注意 起重机爪钩提升物体速度安全问题起重机爪钩提升物体速度安全问题.NFNFgm1NFNFgm2NFNFNFNFTFTFF7 例例 已知一物体质量已知一物体质量 m 沿水平方向运动沿水平方向运动, 初速度为初速度为v0, 所受的阻力为所受的阻力为 Ff = k v，求停止运动时，求停止运动时, 物体运动物体运动的距离的距离.tmmakFfddvvxvvvddddtxvvvddmk vdd xmkv0v0dd0 xmkx0vxmk0vkmx 解解8tmmgddsinv解解0dsind0glvvvv)cos32(20TgglmFvddddddddvvvvltt) 1(cos220lgvvtsinmamgnTcosmamgFlmmgF/cos2Tv 例例 如图所示长为如图所示长为l 的轻绳，一端系质量为的轻绳，一端系质量为m的小球的小球, ,另一端系于定点另一端系于定点O，t=0 时小球位于最低位置，并具有时小球位于最低位置，并具有水平速度水平速度v0，求小球在任意位置的速率及绳的张力，求小球在任意位置的速率及绳的张力. . o0vvTFgmtene9F 例例 质量为质量为m的物体在摩擦系数为的物体在摩擦系数为 的平面上作的平面上作匀速直线运动，问当力与水平面成匀速直线运动，问当力与水平面成 角多大时最省力？角多大时最省力？ 解解 建立坐标系，建立坐标系，受力分析，列受力方程受力分析，列受力方程 . .xygmfFNFO0cosNF0sinmgFN联立求解：联立求解：sincosmgF分母有极大值时，分母有极大值时，F 有极小值，有极小值，sincosy, 0ddyarctan, 0/dd22y10tmktFtdd000vv202tmktmFv由由txddvtxddv有有ttmktmFxtxd )2(d020032062tmktmFx 例例 质量为质量为 m 的物体，在的物体，在 F = F0kt 的外力作用下的外力作用下沿沿 x 轴运动，已知轴运动，已知 t = = 0 时，时，x0= 0,v0= 0, , 求：物体在任求：物体在任意时刻的加速度意时刻的加速度 a，速度，速度 v 和位移和位移 x 。解解tmktFdd0 vmFa t ddvmktF011证明证明maF mFa2mxkt ddvxmxkdd2vva 中不显含时间中不显含时间 t，进行积分变量的变换，进行积分变量的变换vvdd xa02112xxmkv两边积分两边积分xmxkxxdd020vvv则则0112xxmkv 例例 一质量为一质量为 m 的物体，最初静止的物体，最初静止于于 x0 处处, , 在在力力 F = k/x2 的作用下沿直线运动，的作用下沿直线运动，试证明物体在任试证明物体在任意位置意位置 x 处的速度为处的速度为0112xxmkv12vBFrF解解 取坐标如图所示取坐标如图所示)(dd0bFmbtvvmarFmgv6B令令rbFmgF6B0tmbFdd0vv GyBF为浮力为浮力 例例 一质量一质量m, ,半径半径 r 的球体在水中静止释放沉入的球体在水中静止释放沉入水底水底. .已知阻力已知阻力 , , 为粘性系数为粘性系数, ,求求 v(t) . . vrF6r13bFt/,0Lv（终极速度）（终极速度）tmbbF)/(0e1vLL95. 0)05. 01 (vvvbmt3当当 时时ttmbbF000d)(dvvvvBFrFGyvbF0to)(dd0bFmbtvvL,3vv bmt一般认为一般认为 例例 一人握有两只哑铃一人握有两只哑铃, 站在一可无摩擦地转动站在一可无摩擦地转动的水平平台上的水平平台上, 开始时两手平握哑铃开始时两手平握哑铃, 人、哑铃、平台人、哑铃、平台组成的系统以一角速度旋转组成的系统以一角速度旋转, 后来此人将哑铃下垂于后来此人将哑铃下垂于身体两侧身体两侧, 在此过程中在此过程中, 系统系统(A) 角动量守恒角动量守恒, 机械能不守恒机械能不守恒; (B) 角动量守恒角动量守恒, 机械能守恒机械能守恒; (C) 角动量不守恒角动量不守恒, 机械能守恒机械能守恒; (D) 角动量不守恒角动量不守恒, 机械能不守恒机械能不守恒. 例例 关于力矩有以下几种说法关于力矩有以下几种说法:（1）内力矩不会改变刚体对某个轴的角动量）内力矩不会改变刚体对某个轴的角动量; （2）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零; （3）质量相等）质量相等, 形状和大小不同的两个刚体形状和大小不同的两个刚体, 在相同在相同力矩的作用下力矩的作用下, 他们的角加速度一定相等他们的角加速度一定相等; 在上述说法中在上述说法中(A) 只有（只有（2）是正确的）是正确的; (B)（1）、（）、（2）是正确的）是正确的; (C)（2）、（）、（3）是正确的）是正确的; (D)（1）、（）、（2）、（）、（3）都是正确的）都是正确的. AMBF =Mg（A）AB ; （B）AB; （C） AB ; （D）无法确定）无法确定. 例例 如图所示如图所示, A、B为两个相同的定滑轮为两个相同的定滑轮, A 滑滑轮挂一质量为轮挂一质量为M的物体的物体, B滑轮受力滑轮受力F = Mg, 设设 A、B两滑轮的角加速度分别为两滑轮的角加速度分别为 A和和B ,不计滑轮的摩擦不计滑轮的摩擦,这这两个滑轮的角加速度的两个滑轮的角加速度的大小关系为大小关系为: AMaTMgraJJTrAAA AraJJMgrFrBBB BgMT(A) 动量不守恒动量不守恒, 动能守恒动能守恒; (B) 动量守恒动量守恒, 动能不守恒动能不守恒; (C) 角动量守恒角动量守恒, 动能不守恒动能不守恒; (D) 角动量不守恒角动量不守恒, 动能守恒动能守恒. 例例 人造地球卫星人造地球卫星, 绕地球作椭圆轨道运动绕地球作椭圆轨道运动, 地球地球在椭圆的一个焦点上在椭圆的一个焦点上, 则卫星的：则卫星的： 例例 一飞轮在时间一飞轮在时间 t t 内转过角度内转过角度 ，式中式中 a、b、c 都是常量，求它的角加速度都是常量，求它的角加速度. .43ctbtat 324343)(ddctbtactbtatt232126)43(ddctbtctbtat解：解：解（解（1）2srad8 . 05 . 04 . 0rarat 例例 一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半径径 , 如果升降机从静止开始以如果升降机从静止开始以 加速度上升加速度上升, 求求 （1）滑轮角加速度；滑轮角加速度；（2） 时时角速度及转过的圈数；角速度及转过的圈数；（3） 时轮缘上一点的时轮缘上一点的加速度加速度.2sm4 . 0am5 . 0rs5ts1t已知：已知：m5 . 0r2sm4 . 0aar2tsm4 . 0 aasrad4t6 . 12n2tsm4 . 0 aa22nsm32. 0rarad10212t1srad8 .0t求（求（2） 时角速度及转过的圈数；时角速度及转过的圈数；s5t2srad8 . 0求（求（3） 时轮缘上一点的加速度时轮缘上一点的加速度.s1tm5 . 0r22n2tsm51. 0aaa7 .38)arctan(tnaaarnataal lo0iF 0iM解：解：刚体平衡的条件刚体平衡的条件 例例 一长为一长为 l l，重为，重为W W 的均匀梯子，靠墙放置，墙的均匀梯子，靠墙放置，墙光滑，当梯子与地面成光滑，当梯子与地面成 角时处于平衡状态，求梯子角时处于平衡状态，求梯子与地面的摩擦力。与地面的摩擦力。02f NF01 NP 以支点以支点O为转动中心，梯子受为转动中心，梯子受的合外力矩：的合外力矩：0sincos22lNlPcot22fPNF1N2NPfFxo 例例 一质量为一质量为m、长为、长为L的均匀细棒，可在水平桌面的均匀细棒，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动，已知细棒与桌面的上绕通过其一端的竖直固定轴转动，已知细棒与桌面的摩擦系数为摩擦系数为 , 求棒转动时受到的摩擦力矩的大小求棒转动时受到的摩擦力矩的大小 dxxfFd解：解：取一小段如图取一小段如图xlmmdd)d(dmgxMmgLxxlmgmgxML21dd0mgFfdd 例例 电风扇在开启电源后，经电风扇在开启电源后，经t1时间达到了额时间达到了额定转速，此时相应的角速度为定转速，此时相应的角速度为0 ，当关闭电源后，当关闭电源后，经过经过t2时间风扇停转已知风扇转子的转动惯量为时间风扇停转已知风扇转子的转动惯量为J，并假设摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量，并假设摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量，求电机的电磁力矩求电机的电磁力矩)11(210ttJM解：解：22110tt1fJMM2fJM 例：例：求一半径求一半径 的飞轮对过其中心轴的的飞轮对过其中心轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端挂一重物转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端挂一重物, 其其质量质量 的让其从的让其从 处静止下落处静止下落, 测得下落时间测得下落时间 ；若用质量；若用质量 的的重物时重物时, , 假定摩擦力矩假定摩擦力矩 是一个常量是一个常量 , 求求飞轮的转动惯量飞轮的转动惯量.cm50Rm0 . 2hkg0 . 81mkg0 . 42ms161ts252tfMR1mhR2mhfM解：受力分析、解：受力分析、坐标如图坐标如图TTgmy y2222f2222221tahRaJMRTamTgm1111amTgmRaJMRT1f121121tah fMTTgmy y已知：已知： cm50Rm0 . 2hkg0 .81mkg0 . 42ms161ts252tCM f求求：J J2211m/s0156. 02tha2222m/s0064. 02tha22121)()(RTTJaa21221)(aaRTTJ23mkg1006. 1N3 .78)(111agmT已知：已知： cm50Rm0 . 2hkg0 .81mkg0 . 42ms161ts252tCM f求求：J JfMTTgmy yRaJMRT2f2RaJMRT1f11111amTgm2222amTgm21m/s0156.0a22m/s0064.0aN2 .39)(222agmT 例例 一滑冰者开始转动时一滑冰者开始转动时 ，然后将，然后将手臂收回，使转动惯量减少为原来的手臂收回，使转动惯量减少为原来的 1/3，求此时的转，求此时的转动角速度动角速度.2200k0JE00031JJ 注意：注意：刚体定轴转动刚体定轴转动内力矩内力矩的功之的功之和为和为零，非零，非刚体刚体不不一定一定.200200k200k023932121JJEJE解：解：外力矩为零，外力矩为零，角动量守恒角动量守恒内力做功，内力做功，转动动能转动动能变化变化03 例例 把单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆把单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆与单摆的摆锤质量均为与单摆的摆锤质量均为 m . 开始时直杆自然下垂，将单开始时直杆自然下垂，将单摆摆锤拉到高度摆摆锤拉到高度 ，令它自静止状态下摆，于垂直位，令它自静止状态下摆，于垂直位置和直杆作弹性碰撞置和直杆作弹性碰撞. 求求 碰后直杆下端达到的高度碰后直杆下端达到的高度 h .0hhhmlc 解：解：此问题分为此问题分为三个阶段三个阶段0hllmm0v002ghv 1） 单摆自由下单摆自由下摆（机械能守恒），摆（机械能守恒），与杆碰前速度与杆碰前速度2）摆与杆弹性碰撞（摆与杆弹性碰撞（摆，杆摆，杆）角动量守恒角动量守恒vvmlJml0机械能守恒机械能守恒2220212121Jmmvv021vv l 230v3）碰后杆上摆，碰后杆上摆，机械能守恒（机械能守恒（杆，地球杆，地球）cmghJ2210232hhhc002ghvhhmlc解解：盘和人为系统，角动量守恒。盘和人为系统，角动量守恒。设：设： 分别为人和盘相对地分别为人和盘相对地 的角速度，的角速度，顺时针为正向顺时针为正向.,00210202RmmR22200mmm顺时针向顺时针向tRmtmRdddd2102022002002dd21RmmR 例：例： 质量质量 ，半径，半径 的均匀圆盘可绕过中心的光滑的均匀圆盘可绕过中心的光滑竖直轴自由转动竖直轴自由转动. 在盘缘站一质量为在盘缘站一质量为 的人，开始人和的人，开始人和盘都静止，当人在盘缘走一圈时，盘对地面转过的角度盘都静止，当人在盘缘走一圈时，盘对地面转过的角度.0mRmmR0moRhmmm2022121JJ 和和 、 分别分别为圆盘终了和起始时的角为圆盘终了和起始时的角坐标和角速度坐标和角速度 .0,0dd00TTFRRF 例例 一质量为一质量为 、半径为、半径为 R 的圆盘，可绕一垂的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动直通过盘心的无摩擦的水平轴转动 . 圆盘上绕有轻绳，圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为一端挂质量为m 的物体的物体 . 问物体在静止下落高度问物体在静止下落高度 h 时，时，其速度的大小为多少其速度的大小为多少? 设绳的质量忽略不计设绳的质量忽略不计 .m 解解 拉力拉力 对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动能定理可得，拉力能定理可得，拉力 的力矩所作的功为的力矩所作的功为TFTFoTFNFPTFPm202TT2121dd00JJFRRF物体由静止开始下落物体由静止开始下落0, 000v解得解得ghm2)2(mm2mmmgh2v并考虑到圆盘的转动惯量并考虑到圆盘的转动惯量221RmJ202T2121d0vvmmFRmgh由质点动能定理由质点动能定理TTFFoTFNFPTFPmRv 例例 质量为质量为 的物体的物体 A 静止在光滑水平面上，静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质、质量为量为 的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为，并系在另一质量为 的物的物体体 B 上上. 滑轮与绳索间没有滑动，滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计擦力可略去不计. 问：（问：（1） 两物体的线加速度为多少？两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2） 物体物体 B 从从BmCm 再求线加速度及再求线加速度及绳的张力绳的张力. 静止落下距离静止落下距离 时，时，其速率是多少？（其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为它们间的摩擦力矩为fMyAmABCAmBmCmABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmamFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra 解解 （1）隔离物体分）隔离物体分别对物体别对物体A、B 及滑轮作及滑轮作受力分析，取坐标如图，受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律运用牛顿第二定律 、转、转动定律列方程动定律列方程 . T2FT1FCPCF2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF如令如令 ，可得，可得0CmBABAT2T1mmgmmFF（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率2/22CBABmmmgymayvABCAmBmCmT1FT2F （3） 考虑滑轮与轴承间的考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩摩擦力矩 ，转动定律，转动定律fM结合（结合（1）中其它方程）中其它方程JMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa JMRFRFfT1T2T2FBPBmAPT1FNFAmT2FT1FfM2/)/(CBAfBAT1mmmRMgmmF2)2(CBAfCABT2mmmRMgmmmF2/CBAfBmmmRMgmaABCAmBmCmT1FT2FJMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa
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