数理统计复习总结

-1统计量与抽样分布1.1基本概念：统计量、样本矩、经验分布函数总体*的样本*1，*2，*n，则T(*1，*2，*n)即为统计量样本均值样本方差修正样本方差样本k阶原点矩样本k阶中心矩经验分布函数其中Vn(*)表示随机事件出现的次数,显然,则有补充：l 二项分布B(n,p):E*=np D*=np(1-p)l 泊松分布:l 均匀分布U(a,b):l 指数分布:l 正态分布:当时，1.2统计量：充分统计量、因子分解定理、完备统计量、指数型分布族T是的充分统计量与无关T是的完备统计量要使Eg(T)=0,必有g(T)=0且h非负T是的充分统计量T是的充分完备统计量是的充分完备统计量1.3抽样分布：分布，t分布，F分布，分位数，正态总体样本均值和方差的分布，非正态总体样本均值的分布分布：T分布：当n2时，ET=0 F分布：补充：n Z=*+Y的概率密度 f(*,y)是*和Y的联合概率密度n 的概率密度n 的概率密度l 函数：l B函数：1.4次序统计量及其分布：次序统计量、样本中位数、样本极差R*(k)的分布密度：*(1)的分布密度：*(n)的分布密度：2参数估计2.1点估计与优良性：概念、无偏估计、均方误差准则、相合估计(一致估计)、渐近正态估计的均方误差：若是无偏估计，则对于的任意一个无偏估计量，有，则是的最小方差无偏估计，记MVUE相合估计(一致估计):2.2点估计量的求法：矩估计法、最大似然估计法矩估计法： 求出总体的k阶原点矩: 解方程组 (k=1,2,.,m)，得即为所求最大似然估计法： 写出似然函数，求出lnL及似然方程 i=1,2,.,m 解似然方程得到，即最大似然估计 i=1,2,.,m补充：n 似然方程无解时，求出的定义域中使得似然函数最大的值，即为最大似然估计2.3MVUE和有效估计：最小方差无偏估计、有效估计T是的充分完备统计量，是的一个无偏估计为的惟一的MVUE最小方差无偏估计的求解步骤： 求出参数的充分完备统计量T 求出，则是的一个无偏估计或求出一个无偏估计，然后改写成用T表示的函数 综合，是的MVUE或者：求出的矩估计或ML估计，再求效率，为1则必为MVUET是的一个无偏估计，则满足信息不等式，其中或，为样本的联合分布。最小方差无偏估计达到罗-克拉姆下界有效估计量效率为1无偏估计的效率：是的最大似然估计，且是的充分统计量是的有效估计2.4区间估计：概念、正态总体区间估计(期望、方差、均值差、方差比)及单侧估计、非正态总体参数和区间估计一个总体的情况：已知，求的置信区间：未知，求的置信区间：已知，求的置信区间：未知，求的置信区间：两个总体的情况：，均已知时，求的区间估计：未知时，求的区间估计：未知时，求：非正态总体的区间估计：当时，故用Sn代替Sn-13统计决策与贝叶斯估计3.1统计决策的基本概念：三要素、统计决策函数及风险函数三要素：样本空间和分布族、行动空间（判决空间）、损失函数统计决策函数d(*):本质上是一个统计量，可用来估计未知参数风险函数：是关于的函数3.2贝叶斯估计：先验分布与后验分布、贝叶斯风险、贝叶斯估计 求样本*=(*1,*2,.,*n)的分布： 样本*与的联合概率分布： 求关于*的边缘密度 的后验密度为：取时的贝叶斯估计为：贝叶斯风险为：取时，贝叶斯估计为：补充：n 的贝叶斯估计：取损失函数，则贝叶斯估计为3.3minima*估计对决策空间中的决策函数d1(*),d2(*),.，分别求出在上的最大风险值在所有的最大风险值中选取相对最小值，此值对应的决策函数就是最小最大决策函数。4假设检验4.1基本概念：零假设(H0)与备选假设(H1)、检验规则、两类错误、势函数零假设通常受到保护，而备选假设是当零假设被拒绝后才能被接受。检验规则：构造一个统计量T(*1,*2,.,*3)，当H0服从*一分布，当H0不成立时，T的偏大偏小特征。据此，构造拒绝域W第一类错误（弃真错误）：第二类错误（存伪错误）：势函数：当时，为犯第一类错误的概率当时，为犯第二类错误的概率4.2正态总体均值与方差的假设检验：t检验、*2检验、F检验、单边检验一个总体的情况：已知，检验：未知，检验：已知，检验：未知，检验：两个总体的情况：，未知时，检验：未知时，检验：单边检验：举例说明，已知，检验：构造，给定显著性水平，有。当H0成立时，因此。故拒绝域为4.3非参数假设检验方法：拟合优度检验、科尔莫戈罗夫检验、斯米尔诺夫检验拟合优度检验:其中Ni表示样本中取值为i的个数，r表示分布中未知参数的个数科尔莫戈罗夫检验：实际检验的是斯米尔诺夫检验：实际检验的是4.4似然比检验明确零假设和备选假设：构造似然比：拒绝域：5方差分析5.1单因素方差分析：数学模型、离差平方和分解、显著性检验、参数估计数学模型,(i=1,2,.,m;j=1,2,.,ni)总离差平方和组内离差平方和组间离差平方和当H0成立时，构造统计量，当H0不成立时，有偏大特征且应用：n 若原始数据比较大而且集中，可减去同一数值再解题n 辅助量：5.2两因素方差分析：数学模型、离差平方和分解、显著性检验数学模型,(i=1,2,.,r;j=1,2,.,s)总离差平方和组内离差平方和因素B引起的离差平方和当H0成立时，因素A引起的离差平方和当H0成立时，辅助量：构造统计量：6回归分析6.1一元线性回归：回归模型、未知参数的估计(、2)、参数估计量的分布(Y02*2)回归模型：i=1,2,.,n.的估计：分布：的估计：6.2多元线性回归：回归模型、参数估计、分布回归模型： i=1,2,.,n.参数估计：7多元分析初步7.1定义及性质：定义、性质其中为*的均值向量，为*的协方差矩阵Y=C*+b，则若，刚7.2参数的估计与假设检验：、的估计、正态总体均值向量的假设检验样本均值向量样本离差阵最大似然估计最小方差无偏估计. z.