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“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽一、概念的引入第1页/共46页R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正 形的面积126 nnA,321nAAAAS第2页/共46页2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn 天天截截下下的的杖杖长长总总和和为为第第nnX211 1第3页/共46页二、数列的定义定定义义:按按自自然然数数, 3 , 2 , 1编编号号依依次次排排列列的的一一列列数数 ,21nxxx (1)称称为为无无穷穷数数列列,简简称称数数列列.其其中中的的每每个个数数称称为为数数列列的的项项,nx称称为为通通项项(一一般般项项).数数列列(1)记记为为nx.例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n第4页/共46页注意：注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 第5页/共46页第6页/共46页第7页/共46页,1001给给定定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只只要要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有, 0 给定给定,)1(时时只只要要 Nn.1成成立立有有 nx第8页/共46页定义如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在正数N,使得对于Nn 时的一切nx,不等式 axn都成立,那么就称常数a是数列nx的极限,或者称数列nx收敛于a,记为,limaxnn 或).( naxn如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：注意：;. 1的无限接近与刻划了不等式axaxnn. 2有关有关与任意给定的正数与任意给定的正数 N第9页/共46页x1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释: 2 a aa.)(,),(,落落在在其其外外个个至至多多只只有有只只有有有有限限个个内内都都落落在在所所有有的的点点时时当当NaaxNnn :定义定义N 其中;:每一个或任给的每一个或任给的 .:至少有一个或存在至少有一个或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使第10页/共46页数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn证证明明证证1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任任给给,1 nx要要,1 n只只要要,1 n或或所以,1 N取取,时时则当则当Nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：第11页/共46页例例2.lim),(CxCCxnnn 证证明明为为常常数数设设证证Cxn CC ,成立成立 ,0 任任给给所以,0 ,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 说明:常数列的极限等于同一常数.小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N., 0 第12页/共46页例例3. 1, 0lim qqnn其其中中证证明明证证, 0 任任给给,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,lnlnqn 第13页/共46页例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求证求证且且设设证证, 0 任任给给.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axNnNn时时恒恒有有使使得得当当axaxaxnnn 从而有从而有aaxn a1 第14页/共46页四、数列极限的性质1.有界性定义定义: 对数列对数列nx, 若存在正数若存在正数M, 使得一切自使得一切自然数然数n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 则称数列则称数列nx有界有界,否则否则, 称为无界称为无界.例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数数列列数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间都落在闭区间,MM 上上.有界无界第15页/共46页定理定理1 1 收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义, 1 取取, 1, axNnNn时时恒恒有有使使得得当当则则. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有有界界故故nx注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散. .第16页/共46页2.唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限. .证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义,使使得得., 021NN ;1 axNnn时时恒恒有有当当;2 bxNnn时时恒恒有有当当 ,max21NNN 取取时时有有则则当当Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .时时才才能能成成立立上上式式仅仅当当ba 故收敛数列极限唯一.第17页/共46页例例5.)1(1是是发发散散的的证证明明数数列列 nnx证证,limaxnn 设设由定义,21 对于对于,21,成成立立有有时时使使得得当当则则 axNnNn),21,21(, aaxNnn时时即当即当区间长度为1.,1, 1两两个个数数无无休休止止地地反反复复取取而而 nx不可能同时位于长度为1的区间内., ,但却发散但却发散是有界的是有界的事实上事实上nx第18页/共46页五.小结数列数列: :研究其变化规律;数列极限数列极限: :极限思想,精确定义,几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质: :有界性唯一性.第19页/共46页思考题思考题指指出出下下列列证证明明1lim nnn中中的的错错误误。证明要使,1 nn只要使)1ln(ln1 nn从而由2ln)1ln(ln)1ln(1 nn得, 0 取1)1ln(2ln N当 时，必有 成立Nn 10nn1lim nnn第20页/共46页思考题解答思考题解答 1nn)1ln(ln1 nn（等价）证明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1 nn实际上就是不等式)1ln(ln2ln nnn即证明中没有采用“适当放大” 的值nnln第21页/共46页从而 时，2ln)1ln( Nn仅有 成立，)1ln(2ln n但不是 的充分条件)1ln(ln nn反而缩小为n2ln第22页/共46页一一、 利利用用数数列列极极限限的的定定义义证证明明: : 1 1、231213lim nnn； 2 2、19.999. 0lim n二二、 设设数数列列nx有有界界，又又0lim nny， 证证明明：0lim nnnyx. .练练 习习 题题第23页/共46页1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽一、概念的引入一、概念的引入第24页/共46页1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽一、概念的引入一、概念的引入第25页/共46页“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽一、概念的引入一、概念的引入第26页/共46页“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽一、概念的引入一、概念的引入第27页/共46页“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽一、概念的引入一、概念的引入第28页/共46页“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽一、概念的引入一、概念的引入第29页/共46页“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽一、概念的引入一、概念的引入第30页/共46页“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽一、概念的引入一、概念的引入第31页/共46页“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽一、概念的引入一、概念的引入第32页/共46页.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限第33页/共46页.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限第34页/共46页.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限第35页/共46页.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限第36页/共46页.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限第37页/共46页.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限第38页/共46页.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限第39页/共46页.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限第40页/共46页.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限第41页/共46页.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限第42页/共46页.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限第43页/共46页.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限第44页/共46页.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限第45页/共46页感谢您的观看！第46页/共46页
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