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第五单元数学广角一一鸽巢问题单元要点分析一、单元教材分析：本教材专门安排“数学广角”这一单元，向学生渗透一些重要的数学思想方法。和 以往的义务教育教材相比，这部分内容是新增的内容。本单元教材通过几个直观例子， 借助实际操作，向学生介绍“鸽巢问题”，使学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的 基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“鸽巢问题”加以解决。在数学 问题中，有一类与“存在性”有关的问题。在这类问题中，只需要确定某个物体（或某 个人）的存在就是可以了，并不需要指出是哪个物体（或人）。这类问题依据的理论我 们称之为“抽屉原理”。“抽屉原理”最先是 19世纪的德国数学家狄利克雷运用于解 决数学问题的，所以又称“狄利克雷原理”，也称之为“鸽巢问题”。“鸽巢问题”的 理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的， 用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结论。因此，“鸽巢问 题”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。二、单元三维目标导向：1、知识与技能：（1）引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动，经历探究“鸽 巢原理”的过程，初步了解“鸽巢原理”的含义，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问 题。2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推 理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。3、情感态度与价值观：（1）体会数学与生活的紧密联系，体验学数学、用数学的 乐趣。（2）理解知识的产生过程，受到历史唯物注意的教育。（3）感受数学在实际生 活中的作用，培养刻苦钻研、探究新知的良好品质。三、单元教学重难点重点：应用“鸽巢原理”解决实际问题。引导学会把具体问题转化成 “鸽巢问题”。 难点：理解“鸽巢原理”，找出鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。四、单元学情分析“鸽巢原理”的变式很多，在生活中运用广泛，学生在生活中常常遇到此类问题。教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于“鸽巢原理”可以解决的范畴。能不能将 这个问题同“鸽巢原理”结合起来，是本次教学能否成功的关键。所以，在教学中，应 有意识地让学生理解“鸽巢原理”的“一般化模型”。六年级的学生理解能力、学习能 力和生活经验已达到能够掌握本章内容的程度。教材选取的是学生熟悉的，易于理解的 生活实例，将具体实际与数学原理结合起来，有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实 际问题的能力。五、教法和学法1、让学生经历“数学证明”的过程。可以鼓励、引导学生借助学具、实物操作或 画草图的方式进行“说理”。通过“说理”的方式理解“鸽巢原理”的过程是一种数学 证明的雏形。通过这样的方式，有助于提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较严密的 数学证明做准备。2、有意识地培养学生的“模型”思想。当我们面对一个具体的问题时，能否将这 个具体问题和“鸽巢原理”联系起来，能否找到该问题中的具体情境与“鸽巢原理”的 “一般化模型”之间的内在关系，找出该问题中什么是“待分的东西”，什么是“鸽巢”， 是解决问题的关键。教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于用“鸽巢原理”可以 解决的范畴；再思考如何寻找隐藏在其背后的“鸽巢问题”的一般模型。这个过程是学 生经历将具体问题“数学化”的过程，从纷繁复杂的现实素材中找出最本质的数学模型， 是学生数学思维和能力的重要体现。3、要适当把握教学要求。“鸽巢原理”本身或许并不复杂，但它的应用广泛且灵 活多变。因此，用“鸽巢原理”解决实际问题时，经常会遇到一些困难。例如，有时要 找到实际问题与“鸽巢原理”之间的联系并不容易，即使找到了，也很难确定用什么作 为“鸽巢”，要用几个“鸽巢”。因此，教学时，不必过于要求学生“说理”的严密性， 只要能结合具体问题，把大致意思说出来就可以了，鼓励学生借助实物操作等直观方式 进行猜测、验证。六、单元课时划分：本单元计划课时数：6课时鸽巢问题1课时“鸽巢问题”的具体应用1课时练习课1课时单元测评 2课时试卷讲评 1课时第五单元数学广角一一鸽巢问题第一课时课 题：鸽巢问题教学内容：教材第68-70页例1、例2,及“做一做”的第1题，及第71页练习十 三的1-2题。教学目标：1、知识与技能：了解“鸽巢问题”的特点，理解“鸽巢原理”的含义。使学生学 会用此原理解决简单的实际问题。2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。3、情感、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。教学重难点：重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。难点：找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。教学准备：课件。教学过程：一、情境导入：二、探究新知：1.教学例1.(课件出示例题1情境图)思考问题：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少有2支 铅笔。为什么呢？ “总有”和“至少”是什么意思？学生通过操作发现规律-理解关键词的含义-探究证明-认识“鸽巢问题”的学习 过程来解决问题。(1)操作发现规律：通过吧4支铅笔放进3个笔筒中，可以发现：不管怎么放，总 有1鸽笔筒里至少有2支铅笔。(2)理解关键词的含义：“总有”和“至少”是指把4支铅笔放进3个笔筒中，不管 怎么放，一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。(3)探究证明。方法一：用“枚举法”证明。方法二：用“分解法”证明。把4分解成3个数。由图可知，把4分解成3个数，与枚举法相似，也有4中情况，每一种情况分得的3个数中，至少有1个数是不小于2的数。方法三：用“假设法”证明。通过以上几种方法证明都可以发现：把 4只铅笔放进3个笔筒中，无论怎么放，总 有1个笔筒里至少放进2只铅笔。（4）认识“鸽巢问题”像上面的问题就是“鸽巢问题”，也叫“抽屉问题”。在这里，4支铅笔是要分放的物体，就相当于4只“鸽子”，“ 3个笔筒”就相当于3个“鸽巢”或“抽屉”， 把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是把 4只鸽子放进3个笼子，总有1个笼子里至 少有2只鸽子。这里的“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思；而“至少”指的是最少， 即在所有方法中，放的鸽子最多的那个“笼子”里鸽子“最少”的个数。小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有 1个笔筒里至少放进2支铅笔。如果放的铅笔数比笔筒的数量多 2,那么总有1个笔筒至少放2支铅笔；如果放 的铅笔比笔筒的数量多3,那么总有1个笔筒里至少放2只铅笔小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有 1个笔筒里至少放2支铅笔。（5）归纳总结：鸽巢原理（一）：如果把 m个物体任意放进n个抽屉里（mn ,且n是非零自然 数），那么一定有一个抽屉里至少放进了放进了 2个物体。2、教学例2（课件出示例题2情境图）思考问题：（一）把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少有3 本书。为什么呢？（二）如果有 8本书会怎样呢？ 10本书呢？学生通过“探究证明-得出结论”的学习过程来解决问题（一）。（1）探究证明。方法一：用数的分解法证明。把7分解成3个数的和。把7本书放进3个抽屉里，共有如下8种情况：由图可知，每种情况分得的3个数中，至少有1个数不小于3,也就是每种分法中 最多那个数最小是3,即总有1个抽屉至少放进3本书。方法二：用假设法证明。把7本书平均分成3份，7 + 3=2 （本）1 （本），若每个抽屉放2本，则还剩1本。如果把剩下的这1本书放进任意1个抽屉中，那么这个抽屉里就有 3本书。（2）得出结论。通过以上两种方法都可以发现：7本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽 屉里至少放进3本书。学生通过“假设分析法-归纳总结”的学习过程来解决问题（二）。（1）用假设法分析。8 + 3=2 （本）2 （本），剩下2本，分别放进其中2个抽屉中，使其中2个 抽屉都变成3本，因此把8本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放 进3本书。10 + 3=3 （本）1 （本），把10本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1 个抽屉里至少放进4本书。（2）归纳总结：综合上面两种情况，要把a本书放进3个抽屉里，如果a + 3=b （本）1 （本） 或a + 3=b （本）2 （本），那么一定有1个抽屉里至少放进（b+1）本书。鸽巢原理（二）：古国把多与kn个的物体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数， n是非0的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k+1）个物体。三、巩固练习1、完成教材第70页的“做一做”第1题。学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。2、完成教材第71页练习十三的1-2题。学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。四、课堂总结板书设计：鸽巢问题思考方法：枚举法、分解法、假设法鸽巢原理（一）：如果把 m个物体任意放进n个抽屉里（mn ,且n是非零自 然数）鸽巢原理（二）：古国把多与 kn个的物体任意分别放进 n个空抽屉（k是正整数，n是非0的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k+1）个物体。教学反思:第五单元数学广角一一鸽巢问题第二课时课 题：“鸽巢问题”的具体应用教学内容：教材第70-71页例3,及“做一做”的第2题，及第71页练习十三的 3-4 题。教学目标：1、知识与技能：在了解简单的“鸽巢原理”的基础上，使学生学会用此原理解决 简单的实际问题。2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推 理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。3、情感、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的 学习兴趣，使学生感受数学的魅力。教学重难点：重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。难点：找出“鸽巢问题”中的“鸽巢”是什么，“鸽巢”有几个，在利用“鸽巢原 理”进行反向推理。教学准备：课件。教学过程：一 .情境导入、探究新知1、教学例3 (课件出示例3的情境图).出示思考的问题：盒子里有同样大小的红球和篮球各 4个，要想摸出的球一定有2个同色的，少要摸出几个球？学生通过“猜测验证一分析推理”的学习过程解决问题。(1)猜测验证。猜测1 :只摸2个球;、就能保证这2个球1同色。),猜测2:摸出5个球)肯定有2个球是同k色的。)/要举出一个反例就可以推翻这种猜测 如：这两个球正好是一红一蓝时就不能 懑足条件。验证一 A1巴红、蓝两种颜色看作两个“鸽巢”，因为 飞 叁上5 + 2=2.1，所以摸出5个球时，至少有37卜球是同色的，因此摸出5个球是没必要的。)咛青测1 ：摸出3个球?至少有2个球是同 验证.色的。,把红、蓝两种颜色看作两个“鸽巢”，因为f 3 + 2=11 ,所以摸出3个球时，至少有3 (个是同色的。综上所述，摸出3个球，至少有2个球是同色的。(2)分析推理。根据“鸽巢原理(一)”推断：要保证有一个抽屉至少有 2个球，分的无图个数失 少要比抽屉数多1。现在把“颜色种数”看作“抽屉数”，结论就变成了 “要保证摸出 2个同色的球，摸出的球的个数至少要比颜色种数多 1。因此，要从两种颜色的球中 保证摸出2个同色的，至少要摸出3个球。2、趁热打铁：箱子里有足够多的5种不同颜色的球，最少取出多少个球才能保证 其中一定有2个颜色一样的球？学生独立思考解决问题，集体交流。3、归纳总结：运用“鸽巢原理”解决问题的思路和方法：(1)分析题意；(2)把实际问题转化成“鸽巢问题”，弄清“鸽巢”和分放的“鸽子”。(3)根据“鸽巢原理”推理并解决问题。三、巩固练习1、完成教材第70页的“做一做”的第2题。(学生独立解答，集体交流。)2、完成教材第71页的练习十三的第3-4题。(学生独立解答，集体交流。)3、课外拓展延伸题：一个布袋里有红色、黑色、蓝色的袜子各 8只。每次从布袋里最少要拿出多少只可以保证其中有 2双颜色不同的袜子？（袜子不分左右）四、课堂总结板书设计：鸽巢问题每个抽屉里放入的物品数1 X 2 + 1 =3 （个）抽屉数教学反思：第五单元数学广角一一鸽巢问题第三课时课 题：练习课教学内容：教材71页练习十三的5、6题，及相关的练习题。教学目标：1、知识与技能：进一步熟知“鸽巢原理”的含义，会用“鸽巢原理”熟练解决简 单的实际问题。2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推 理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。3、情感、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的 学习兴趣，使学生感受数学的魅力。教学重难点重点：应用“鸽巢原理”解决实际问题。引导学会把具体问题转化成 “鸽巢问题”.难点：理解“鸽巢原理”，找出鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。教学准备：课件。教学过程：一、复习导入二、指导练习（一）基础练习题1、填一填：（1）水东小学六年级有30名学生是二月份（按28天计算）出生的，六年级至少有（）名学生的生日是在二月份的同一天。（2）有3个同学一起练习投篮，如果他们一共投进 16个球，那么一定有1个同学 至少投进了（）个球。（3）把6只鸡放进5个鸡笼，至少有（）只鸡要放进同1个鸡笼里。（4）某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，小书架上至少要有（）本书,才可以保证至少有1个同学能借到2本或2本以上的书。学生独立思考解答，集体交流纠正。2、解决问题。（1）（易错题）六（1）班有50名同学，至少有多少名同学是同一个月出生的？（2）书籍里混装着3本故事书和5本科技书，要保证一次一定能拿出 2本科技书。 一次至少要拿出多少本书？（3）把16支铅笔最多放入几个铅笔盒里，可以保证至少有 1个铅笔盒里的铅笔不 少于6支？（二）拓展延伸题1、把27个球最多放在几个盒子里，可以保证至少有 1个盒子里有7个球？教师引导学生分析：盒子数看作抽屉数，如果要使其中1个抽屉里至少有7个球,那么球的个数至少要比抽屉数的（7-1）倍多1个，而（27-1） + （7-1） =42 ,因此 最多放进4个盒子里，可以保证至少有1个盒子里有7个球。教师引导学生规范解答：2、一个袋子里装有红、黄、蓝袜子各 5只，一次至少取出多少只可以保证每种颜 色至少有1只？教师引导学生分析：假设先取5只，全是红的，不符合题意，要继续去；假设再取5只，5只有全是黄的，这时再取一只一定是蓝色的，这样取 5X2+1=11 （只）可以保证 每种颜色至少有1只。教师引导学生规范解答：3、六（2）班的同学参加一次数学考试，满分为 100分，全班最低分是75。已知每 人得分都是整数，并且班上至少有 3人的得分相同。六（2）班至少有多少名同学？教师引导学生分析：因为最高分是100分，最低分是75分，所以学生可能得到的 不同分数有100-745+1=26 （种）。教师引导学生规范解答：三、巩固练习完成教材第71页练习十三的5、6题。（学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。）四、课堂总结板书设计：新 教学反思:
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