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绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学(文史类)本试卷分为第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，共 150分，考试用时120分钟。第I卷1至2页, 第n卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必 将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利第I卷注意事项：1 .每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2 .本卷共8小题，每小题5分共40分。参考公式：如果事件 A, B互斥，那么P(AljB)=P(A)+P(B).圆柱的体积公式 V =Sh,其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高1棱锥的体积公式 V =-Sh,其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的局3一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)设集合 A = 1,1,2,3,5上 B =2,3,4 , C =xw R|1, x3，则(ApC)UB =(A) 2(B) 2 , 3(C) -1 , 2, 3(D) 1 , 2, 3, 4x + y -2 0 0,x y + 2 ) 0,(2)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z = -4x+y的最大值为| x-1,y1,(A) 2(B) 3(C) 5(D) 6(3)设 xWR,则“ 0x5” 是 “ |x1 0)的两条渐近线分别交于点Aa b和点B,且| AB|=4|OF | (。为原点)，则双曲线的离心率为(A)短(B) 73(C) 2(D) 45(7)已知函数f (x) =AsinQx+邛)(Aa00,|邛|父立)是奇函数，且f(x)的最小正周期为 冗，将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为 g(x).若g .14 J(A) -2(C)、.2(D) 22.x, 0ax 1, (8)已知函数f (x)=x 1., 一、，一1若关于x的方程f(x) = 1x + a4(a e R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为4,4(B) GMO(D)1绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学(文史类)注意事项:1 .用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2 .本卷共12小题，共110分。二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分。(9) i是虚数单位，则的值5-i1 i的值为(10)设xWR,使不等式3x2+x20, y 0, x+2y =4 ,则(x+1)(2y +的最小值为 . xy(14)在四边形 ABCD中，AD / BC , AB=2，3 , AD =5 , A = 30，点E在线段CB的延长线上，且 T TAE =BE ,则 BD AE =.三.解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(15)(本小题满分13分)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有 72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 25人调查专项附加扣除的享受情况(I)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(n)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A,B,C,D,E, F .享受情况如右表，其中“表示享受，“X”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访 员工项目ABCDEF子女教育OOXOXO继续教育XXOXOO大病医疗XXXOXX住房贷款利息OOXXOO住房租金XXOXXX赡养老人OOXXXO(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii )设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率(16)(本小题满分13分)在|_ABC中，内角 A B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a , 3csin B = 4asinC.(i)求cosB的值;(n)求sin 2b + i的值6(17)(本小题满分13分)如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为平行四边形，PCD为等边三角形，平面 PAC _L平面PCD ,PA.LCD , CD =2, AD =3,(I)设G , H分别为PB , AC的中点，求证：GH /平面PAD ;(n)求证：PA_L平面PCD；(出)求直线 AD与平面PAC所成角的正弦值.(18)(本小题满分13分)设匕口是等差数列，0是等比数列，公比大于 0,已知为=匕=3, b2=a3 , d = 4a2+3.(I)求an和bn的通项公式；1, n为奇数，*(n)设数列 匕满足5=%n为偶数求AG+a2c2十川十a2nC2n (nw N* ).,n，(19)(本小题满分14分) 22设椭圆x2十冬=1(a Ab 0)的左焦点为F ,左顶点为 A,顶点为B已知J310A| = 2|OB| (。为原点). a b(i)求椭圆的离心率；(n)设经过点F且斜率为3的直线l与椭圆在x轴上方的交点为 P ,圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线 4x =4上，且OC / AP ,求椭圆的方程.(20)(本小题满分14分设函数 f (x) =lnx-a(x-1)ex,其中 a R.(i)若a0 0,讨论f (x )的单调性；41(n)右 0 a Xo ,证明3x0% 2.绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学(文史类)参考解答一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，？茜分40分(1) D(2)C(3)B(4)B(5) A(6)D(7)C(8)D二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，？t分30分(9) 33(10) I,2(11) x+2y 2 = 0,3(三(13) 9(14) -142三.解答题(15)本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，满分13分.解：(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10 ,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员中分别抽取 6人，9人，10人.(n) (i )从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,EA, f,b,c,b,d,b,e,b,f,c,d,c,e,c,f,d,e,d,fMe,f,共15种.(ii )由表格知,符合题意的所有可能结果为A,B,A,D,A,E,A,F,B,D,B,E,B,F,C,E,C,F,D,F,E,F,共 11 种. 11所以，事件M发生的概率P(M)= 15(16)本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.满分13分.(1)解：b在Labc中，由正弦定理sin B sin C得 bsi nC= c si nB,又由 3csin B = 4asinC3b si nC =& siC即3b =4a .又因为b+c = 2a ,得到2，人、一 一c = - a .由余弦te理可得32 a cosB =22c -ba2 4a2-a22ac(n)解：由(1)2=：?15可得 sin B = 1 - cos B =4sin 2B =2sin BcosB =-工227cos2B=cos B-sin B = 8sin 2B - 6nn:= sin2Bcos cos2Bsin =6615,3 7 13,5 7X X =828 216.考查空D间想象能力和推理论证能力满分13分.(17)本小题主要考查直线与平面平行直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识(I)证明：连接BD ,易知AC。BD = H , BH = DH .又由BG = PG ,故GH /PD ,又因为GH0平面PAD , PD c平面PAD ,所以GH /平面PAD.(n)证明：取棱 PC的中点N ,连接DN .依题意，得DN _L PC ,又因为平面PAC_L平面PCD ,平面PAC0| 平面 PCD =PC ,所以 DN _L 平面 PAC ,交 PAu 平面 PAC ,故 DN J_PA .又已知 PA_L CD , CDp DN = D , 所以PA_L平面PCD.(m)解：连接 AN ,由(n)中DN _L平面PAC ,可知/DAN为直线AD与平面PAC所成的角，因为PCD为等边三角形，CD =2且N为PC的中点，所以 DN = J3.又DN _L AN ,在 Rt|_AND 中，sin/DAN = DN =.AD 3所以，直线 AD与平面PAC所成角的正弦值为 3(18)本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前 n项和公式等基础知识， 考查数列求和的基本方法和运 算求解能力.满分13分.、,-3q = 3 2d .d = 3 一(I)解：设等差数列 灯)的公差为d ,等比数列 0的公比为q依题意，得 2,解得i ,故3q2=15 4d q = 3an =3+3(n 1) =3n, bn=3M3n=3n.所以，Qn的通项公式为an=3n, bn的通项公式 为bn=3n.(n)解：a . a2c2 a2nC2n=a103a5a2n二22匕a4b2oAHIa2n0n(n -1)123n=n 3266 312 318 3. 6n 3= 3n2 6 1 31 2 32 | n 3n12nTn =1 X3 +2 M3 +.+ nM3 .3Tn =1父32 +2父33 +HI +nx334,(2n -1)3n 1 3-得，2Tn =3-32 -33 -.-3n +nx3n,二一3。3 )十口父3n书=(2n 1)3 +3 1 -32所以，a1cl a2c2 a20c2n = 3n2 6Tn =3n2 3n 22(2n-1)3 6n 92(19)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力，满分14分.-2(I)解：设椭圆的半焦距为c,由已知有J3a=2b,又由a2=b2十c2,消去b得a2 =|Y3a+c2,解得 = 1.I2 J a 21所以，椭圆的离心率为 1.222(n)解：由(I)知， a=2c, b=J3c，故椭圆方程为 +匕=1.由题意，F (c,0 ),则直线l的方程为 4c2 3c23，、一 ，一一y =-(x+c).点P的坐标满足422x y 1二 142 C 24c 3c3,、：y =-(x + c), 4,消去y并化简，得到_ 2 一 _ 2 一 .一7x +6cx 13c = 0 ,解得 x1 = c ,13c-393x2 = ，代入到l的方程，解得y1二 c, 、2 = 一 c.因为点P在x轴上方，所以P.c,c .由圆心C在直线721423t 3cx=4上，可设C(4,t ).因为OC / AP,且由(i)知 A(2c,0),故,=。一，解得t = 2.因为圆C与x轴相4 c 2c切，所以圆的半径为2,又由圆C与l相切，得=2 ,可得 c = 2.22所以，椭圆的方程为 x-=1.16 12(20)本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想、化归 与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.(I)解：由已知，f(X)的定义域为(0, y 且2cx1 r xx 1 - ax ef (x)=- ae a(x -1)e =x -x2 x因此当a00时，1ax e 0 ,从而f (x)0,所以f (x )在(0,收)内单调递增.2 x1 - ax e1(n)证明：(i)由(i)知 f (x)=.令 g(x)=1axe ,由 00,且r1 kr1)21j1)2八g .ln ；=1-a ln J =1- ln J 旦(包=0 ,所以f(x )在(0,%)内单调递增；当x三(x0,f)时， x xf(x) =9 9一)=0 ,所以f(x )在(x0,十与内单调递减，因此 x0是f (x)的唯一极值点. x x1 .令h(x) =ln xx +1 ,则当x A1时，h (x) = 11时， xh(x )h(1 )=0 ,所以 Inx x -1.从而11r1)ln111111f . ln In In - -a . In - -1 e a =ln In Tn +1 = h . In ( 1)=0,所以f (x比(1,收)内有唯零点.又f (x )在(0,% )内有唯一零点1,从而，f (x)在(1,(1) 有两个零点(ii )由题意，If 0)= 0,即产x0ex=1 x ,从而 1nxi =e,即 ex=!n.因为当 x1 时,fx1=0,In x1= ax1-1e1x0x1-1In x x01,故ex1*5 ex001=x2,两边取对数，得Inex15 1n x2,于是x1 -1x1 -x0 2ln x0 2(x0 -1 ),整理得3x0 -x12.
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