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8-7圆锥曲线的综合问题(理)基础巩固强化1.(2012潍坊教学质量监测)椭圆1的离心率为e，点(1，e)是圆x2y24x4y40的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是()A3x2y40B4x6y70C3x2y20 D4x6y10答案B解析依题意得e，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，)的连线的斜率为，则所求直线的斜率等于，所以所求直线方程是y(x1)，即4x6y70，选B.2(2012大连部分中学联考)已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为()Ax1 Bx1Cx2 Dx2答案B解析令A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为抛物线的焦点F(，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy，将其代入y22px2p(y)2pyp2，所以y22pyp20，所以p2，所以抛物线的方程为y24x，准线方程为x1，故选B.3(2011长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为()A2 BC1 D0答案A解析由已知得A1(1,0)，F2(2,0)设P(x，y)(x1)，则(1x，y)(2x，y)4x2x5.令f(x)4x2x5，则f(x)在x1上单调递增，所以当x1时，函数f(x)取最小值，即取最小值，最小值为2.4(2011大纲全国理，10)已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4与C交于A、B两点，则cosAFB()A. B.C D答案D解析方法一：联立解得或不妨设A在x轴上方，A(4,4)，B(1，2)，F点坐标为(1,0)，(3,4)，(0，2)，cosAFB.方法二：同上求得A(4,4)，B(1，2)，|AB|3，|AF|5，|BF|2，由余弦定理知，cosAFB.5设F是抛物线C1：y22px(p0)的焦点，点A是抛物线C1与双曲线C2：1(a0，b0)的一条渐近线的一个公共点，且AFx轴，则双曲线的离心率为()A2 B.C. D.答案D解析由题意可知，抛物线C1的焦点为F(，0)，因为AFx轴，则A(，p)，不妨取A(，p)，则双曲线C2的渐近线的斜率为，2，4，e25，e.6(2011海南一模)若AB是过椭圆1(ab0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与两坐标轴均不平行，kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAMkBM()A BC D答案B解析解法一(直接法)：设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(x1，y1)，kAMkBM.解法二(特殊值法)：因为四个选项为确定值，取A(a,0)，B(a,0)，M(0，b)，可得kAMkBM.7(2012安徽文，14)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点若|AF|3，则|BF|_.答案解析本题考查抛物线定义、直线与抛物线的位置关系解法1：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|3及抛物线定义可知x113，x12，A(2,2)，则直线AF斜率为k2，所以AB方程为y2(x1)，由联立消去y得，2x25x20，解之得x12，x2，B(，)，所以|BF|x211.解法2：如图，l为抛物线的准线，AA1l于A1，BB1l于B1，BMAA1于M，交FO于N，则由BFNBAM得，|BF|.8设直线l：y2x2，若l与椭圆x21的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使PAB的面积为1的点P的个数为_答案3解析设与l平行且与椭圆相切的直线方程为y2xb，代入x21中消去y得，8x24bxb240，由16b232(b24)0得，b2，显见y2x2与两轴交点为椭圆的两顶点A(1,0)，B(0,2)，直线y2x2与l距离d，欲使SABP|AB|hh1，须使h，dh，直线y2x2与椭圆切点，及y2x42与椭圆交点均满足，这样的点P有3个9已知F是椭圆1(a0，b0)的左焦点，若椭圆上存在点P，使得直线PF与圆x2y2b2相切，当直线PF的倾斜角为时，此椭圆的离心率是_答案解析解法1：设直线PF与圆x2y2b2的切点为M，则依题意得OMMF，直线PF的倾斜角为，OFP，sin，椭圆的离心率e.解法2：依题意可知PF：y(xc)(c)，又O到PF的距离为b，即b，b2a2c2，4a27c2，e.10(2012昆明一中测试)过抛物线C：x22py(p0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|2.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l的斜率为2，问抛物线C上是否存在一点M，使得MAMB，并说明理由解析(1)由抛物线的定义得|AF|等于点A到准线y的距离，12，p2，抛物线C的方程为x24y.(2)抛物线C的焦点为F(0,1)，直线l的方程y2x1，设点A、B、M的坐标分别为(x1，)、(x2，)、(x0，)，由方程组消去y得，x24(2x1)，即x28x40，由韦达定理得x1x28，x1x24.MAMB，0，(x1x0)(x2x0)()()0，(x1x0)(x2x0)(x1x0)(x2x0)(x1x0)(x2x0)0.M不与A，B重合，(x1x0)(x2x0)0，1(x1x0)(x2x0)0，x1x2(x1x2)x0x160，x8x0120，64480.方程x8x0120有解，即抛物线C上存在一点M，使得MAMB.能力拓展提升11.(2011新课标全国文，9)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为()A18 B24C36 D48答案C解析设抛物线为y22px，则焦点F，准线x，由|AB|2p12，知p6，所以F到准线距离为6，所以三角形面积为S12636.12已知双曲线1(a0，b0)的左右焦点分别为F1、F2，P为右支上一点，点Q满足1(10)且|2a，2，0，则|OT|的值为()A4a B2aCa D.答案C解析由题知Q、F1、P三点共线，F2、T、Q三点共线|PF1|PF2|2a|F1Q|，|PQ|PF2|，又PTQF2，T为等腰三角形QPF2底边QF2的中点，连接OT，则OT为F1QF2的中位线，所以|OT|a.13(2011海南五校联考)已知抛物线x24y的焦点为F，准线与y轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且|NF|MN|，则NMF_.答案30解析作NH垂直于准线于H，由抛物线的定义得|NH|NF|，sinHMN，得HMN60，NMF906030.14(2012山东苍山县期末)已知圆C：x2y26x4y80，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为_答案1解析在C方程中，令x0得y24y80无解，令y0得x26x80，x2或4，故双曲线方程中a2，c4，b2c2a212，双曲线的标准方程为1.15(2011安徽模拟)点A、B分别为椭圆1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值解析(1)由已知可得点A(6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)，则(x6，y)，(x4，y)由已知得消去y得，2x29x180，x或x6，由于y0，只能x，于是y，所以点P的坐标是(，)(2)直线AP的方程是xy60.设点M的坐标是(m,0)，则M到直线AP的距离是，于是|m6|，又6m6，解得m2.椭圆上的点(x，y)到点M的距离是d，d2(x2)2y2x24x420x2(x)215，由于6x6，所以当x时d取最小值.16.(2012吉林省实验中学模拟)如图所示，在DEM中，(0，8)，N在y轴上，且()，点E在x轴上移动(1)求点M的轨迹方程；(2)过点F(0,1)作互相垂直的两条直线l1、l2，l1与点M的轨迹交于点A、B，l2与点M的轨迹交于点C、Q，求的最小值解析(1)设M(x，y)，E(a,0)，由条件知D(0，8)，N在y轴上且N为EM的中点，xa，(a，8)(xa，y)a(xa)8y2x28y0，x24y(x0)，点M的轨迹方程为x24y(x0)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，Q(x4，y4)，直线l1：ykx1(k0)，则直线l2：yx1，由消去y得，x24kx40，x1x24k，x1x24，由消去y得，x2x40，x3x4，x3x44.A、B在直线l1上，y1kx11，y2kx21，C、Q在直线l2上，y3x31，y4x41.(x3x1，y3y1)(x2x4，y2y4)(x3x1)(x2x4)(y3y1)(y2y4)(x3x1)(x2x4)(x3kx1)(kx2x4)x3x2x1x2x3x4x1x4x2x3k2x1x2x3x4x1x4(1k2)x1x2(1)x3x44(1k2)4(1)84(k2)16等号在k2时取得，即k1时成立的最小值为16.1(2011辽宁沈阳二中检测)已知曲线C：y2x2，点A(0，2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是()A(4，) B(，4C(10，) D(，10答案D解析过点A(0，2)作曲线C：y2x2的切线，设方程为ykx2，代入y2x2得，2x2kx20，令k2160得k4，当k4时，切线为l，B点在直线x3上运动，直线y4x2与x3的交点为M(3,10)，当点B(3，a)满足a10时，视线不被曲线C挡住，故选D.2.(2011海南五校联考)如图，正六边形ABCDEF的两个顶点A、D为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是()A.1 B.1C. D.答案A解析设正六边形的边长为1，则AE，ED1，AD2，2aAEED1,2cAD2，e1.3已知椭圆1(ab0)、双曲线1和抛物线y22px(p0)的离心率分别为e1、e2、e3，则()Ae1e2e3 Be1e2e3Ce1e2b0，041，e1e20)，则将xy4代入椭圆方程得，4(b21)y28b2yb412b20，椭圆与直线xy40有且仅有一个公共点，(8b2)244(b21)(b412b2)0，即(b24)(b23)0，b23，长轴长为22，故选C.5已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A(1,2 B(1,2)C2，) D(2，)答案C解析渐近线l1：yx与过焦点F的直线l平行，或渐近线l1从该位置绕原点按逆时针旋转时，直线l与双曲线的右支交于一个点，即c2a2b24a2，e2，故选C.6已知椭圆C：y21(a1)的上顶点为A，左、右焦点为F1、F2，直线AF2与圆M：x2y26x2y70相切(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆内存在动点P，使|PF1|、|PO|、|PF2|成等比数列(O为坐标原点)，求的取值范围解析(1)圆M：x2y26x2y70化为(x3)2(y1)23，则圆M的圆心为M(3,1)，半径r.由A(0,1)，F2(c,0)，(c)，得直线AF2：y1，即xcyc0，由直线AF2与圆M相切，得，解得c或c(舍去)则a2c213，故椭圆C的方程为：y21.(2)由(1)知F1(，0)、F2(，0)，设P(x，y)，由题意知|PO|2|PF1|PF2|，即()2，化简得：x2y21，则x2y211.因为点P在椭圆内，故y21，即x211，x2，1x2，又x22y22x23，10.12
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