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考点强化练22圆的有关概念及性质夯实基础1.(2018上海)如图,已知在O中,AB是弦,半径OCAB,垂足为点D.要使四边形OACB为菱形,还需添加一个条件,这个条件可以是()A.AD=BDB.OD=CDC.CAD=CBDD.OCA=OCB答案B解析由半径OCAB,由垂径定理可知AD=BD,即四边形OACB中两条对角线互相垂直,且一条对角线被另一条平分.根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”,可知若添加条件OD=CD,即可说明四边形OACB为菱形,故选择B.2.(2018山东菏泽)如图,在O中,OCAB,ADC=32,则OBA的度数是()A.64B.58C.32D.26答案D解析OCAB,AC=BC.ADC是AC所对的圆周角,BOC是BC所对的圆心角,BOC=2ADC=64,OBA=90-BOC=90-64=26.故选D.3.(2017湖北黄石)如图,已知O为四边形ABCD的外接圆,O为圆心,若BCD=120,AB=AD=2,则O的半径长为()A.322B.62C.32D.233答案D解析作直径BM,连接DM,BD.则BDM=90.因为C=120,所以A=60.又AB=AD=2,所以BD=2,M=60.在RtBDM中,sinM=BDBM=2BM,得到BM2=233.4.(2018山东烟台)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点O,A,B,C在格点(两条网格线的交点叫格点)上,以点O为原点建立直角坐标系,则过A,B,C三点的圆的圆心坐标为.答案(-1,-2)解析如图,连接AB,BC,分别作AB和BC的中垂线,交于G点.由图知,点G的坐标为(-1,-2).5.(2017江苏淮安)如图,在圆内接四边形ABCD中,若A,B,C的度数之比为435,则D的度数是.答案120解析因为四边形ABCD是O的内接四边形,所以A+C=B+D=180.因为A,B,C的度数之比为435,所以A,B,C,D的度数之比为4356.所以D=63+6180=120.6.(2017湖北襄阳)在半径为1的O中,弦AB,AC的长分别为1和2,则BAC的度数为.答案105或15解析如图1,当点O在BAC的内部时,连接OA,过点O作OMAB,ONAC,垂足分别为M,N,则AM=12,AN=22.在RtAOM中,cosMAO=AMAO=12,MAO=60.在RtAON中,cosNAO=ANAO=22,NAO=45,BAC=60+45=105.如图2,当点O在BAC的外部时,BAC=60-45=15.7.如图,在O的内接四边形ABCD中,BCD=120,CA平分BCD.(1)求证:ABD是等边三角形;(2)若BD=3,求O的半径.解(1)BCD=120,CA平分BCD,ACD=ACB=60.由圆周角定理得,ADB=ACB=60,ABD=ACD=60,ABD是等边三角形.(2)连接OB,OD,作OHBD于H,则DH=12BD=32,BOD=2BAD=120,DOH=60.在RtODH中,OD=DHsinDOH=3,O的半径为3.8.(改编题)如图,MN是O的直径,MN=4,点A在O上,AMN=30,B为AN的中点,P是直径MN上一动点.(1)利用尺规作图,确定当PA+PB最小时P点的位置(不写作法,但要保留作图痕迹).(2)求PA+PB的最小值.解(1)如图,点P即为所求.(2)如图,连接OA,OA,OB.由(1)可得,PA+PB的最小值即为线段AB的长,点A和点A关于MN轴对称且AMN=30,AON=AON=2AMN=60.又点B为AN的中点,BON=12AON=30,AOB=90.又MN=4,OB=OA=2.在RtAOB中,由勾股定理得AB=22+22=22.PA+PB的最小值是22.提升能力9.(2018四川雅安)如图,AB,CE是圆O的直径,且AB=4,BD=DC=CA,点M是AB上一动点,下列结论:CED=12BOD;DMCE;CM+DM的最小值为4;设OM为x,则SOMC=3x,上述结论中,正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个导学号16734131答案B解析因为BD=DC,所以COD=BOD,所以CED=12BOD,正确;M是直径AB上一动点,而CE是固定的,因此DMCE不一定成立,错误;因为DEAB,所以D和E关于AB对称,因此CM+DM的最小值在M和O重合时取到,即为CE的长.因为AB=4,所以CE=AB=4,正确;连接AC,因为BD=DC=CA,所以COA=60,则AOC为等边三角形,边长为2,过C作CNAO于N,则CN=3,在COM中,OM为底,CN为OM边上的高,所以SCOM=32x,故错误.故选B.10.(2018江苏无锡)如图,四边形ABCD内接于O,AB=17,CD=10,A=90,cos B=35,求AD的长.解如图所示,延长AD,BC交于点E,四边形ABCD内接于O,A=90,EDC=B,ECD=A=90,ECDEAB,CDAB=ECEA.cosEDC=cosB=35,CDED=35.CD=10,10ED=35,ED=503.EC=ED2-CD2=(503)2-102=403.1017=403503+AD,AD=6.11.(2017湖北武汉)如图,ABC内接于O,AB=AC,CO的延长线交AB于点D.备用图(1)求证:AO平分BAC;(2)若BC=6,sinBAC=35,求AC和CD的长.(1)证明连接OB,AO=AO,BO=CO,AB=AC,AOBAOC,BAO=CAO,即AO平分BAC.(2)解如图,过点D作DKAO于K,延长AO交BC于H.由(1)知AOBC,OB=OC,BC=6.BH=CH=12BC=3,COH=12BOC,BAC=12BOC,COH=BAC.在RtCOH中,OHC=90,sinCOH=HCOC=35,CH=3,CO=AO=5.OH=4.AH=AO+OH=4+5=9,tanCOH=tanDOK=34.在RtACH中,AHC=90,AH=9,CH=3,tanCAH=CHAH=13,AC=310,由(1)知COH=BOH,tanBAH=tanCAH=13,设DK=3a,在RtADK中,tanBAH=13,AK=9a.在RtDOK中,tanDOK=34,OK=4a,DO=5a.AO=OK+AK=13a=5.a=513,DO=5a=2513,CD=OC+OD=5+2513=9013,AC=310,CD=9013.创新拓展12.(2018贵州遵义)如图,AB是半圆O的直径,C是AB延长线上的点,AC的垂直平分线交半圆于点D,交AC于点E,连接DA,DC,已知半圆O的半径为3,BC=2.(1)求AD的长;(2)点P是线段AC上一动点,连接DP,做DPF=DAC,PF交线段CD于点F,当DPF为等腰三角形时,求AP的长.解(1)如图1,连接OD,因为半径为3,所以OA=OB=OD=3.因为BC=2,所以AC=8.因为DE垂直平分AC,所以DA=DC,AE=4,DEO=90,OE=1,在RtDOE中,DE=DO2-OE2=22,在RtADE中,AD=AE2+DE2=26.图1(2)因为PDF为等腰三角形,因此分类讨论:当DP=DF时,如图2,点A与点P重合,则AP=0.图2当PD=PF时,如图3,因为DPF=DAC=C,PDF=CDP,所以PDFCDP,因为PD=PF,所以CP=CD,所以CP=26,AP=AC-PC=8-26.图3当FP=FD时,如图4,因为FDP和DAC都是等腰三角形,DPF=DAC,所以FDP=DPF=DAC=C,所以,设DP=PC=x,则EP=4-x,在RtDEP中,DE2+EP2=DP2,得(22)2+(4-x)2=x2,得x=3,则AP=5.图4综上所述,当DPF为等腰三角形时,AP的长可能为0,8-26,5.导学号167341329
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