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课时训练(十九)等腰三角形(限时:40分钟)|夯实基础|1.如图K19-1,ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,A=50,则CDE的度数为()图K19-1A.50B.51C.51.5D.52.52.2017雅安一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程x2-7x+12=0的一根,此三角形的周长是()A.12B.13C.14D.12或143.2018淄博如图K19-2,在RtABC中,CM平分ACB交AB于点M,过点M作MNBC交AC于点N,且MN平分AMC,若AN=1,则BC的长为()图K19-2A.4B.6C.43D.84.2017天津如图K19-3,在ABC中,AB=AC,AD,CE是ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是()图K19-3A.BCB.CEC.ADD.AC5.2016无锡如图K19-4,RtABC中,ACB=90,ABC=30,AC=2,ABC绕点C顺时针旋转得A1B1C,当A1落在AB边上时,连接B1B,取BB1的中点D,连接A1D,则A1D的长度是( )图K19-4A.7B.22C.3D.236.2018临沂如图K19-5,ACB=90,AC=BC,ADCE,BECE,垂足分别是点D,E.AD=3,BE=1.则DE的长是()图K19-5A.32B.2C.22D.107.2019常德 如图K19-6,ABC是等腰三角形,AB=AC,BAC=45,点D在AC边上,将ABD绕点A逆时针旋转45得到ACD,且点D,D,B三点在同一直线上,则ABD的度数是.图K19-68.2019东营 如图K19-7,在平面直角坐标系中,ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形,AC=2,点C与点E关于x轴对称,则点D的坐标是.图K19-79.2016泰州如图K19-8,已知直线l1l2,将等边三角形如图放置,若=40,则等于.图K19-810.2018遵义如图K19-9,ABC中,点D在BC边上,BD=AD=AC,E为CD的中点,若CAE=16,则B为度.图K19-911.2019眉山如图K19-10,在四边形ABCD中,ABDC,点E是CD的中点,AE=BE.求证:D=C.图K19-1012.2018宁波如图K19-11,在ABC中,ACB=90,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连接CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90得到线段CE,连接DE交BC于点F,连接BE.(1)求证:ACDBCE;(2)当AD=BF时,求BEF的度数.图K19-1113.2019重庆B卷如图K19-12,在ABC中,AB=AC,ADBC于点D.(1)若C=42,求BAD的度数;(2)若点E在边AB上,EFAC交AD的延长线于点F,求证:AE=FE.图K19-12|拓展提升|14.2018绵阳如图K19-13,ACB和ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,ACB的顶点A在ECD的斜边DE上,若AE=2,AD=6,则两个三角形重叠部分的面积为()图K19-13A.2B.3-2C.3-1D.3-315.2017连云港如图K19-14,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连接BE,CD,交于点F.(1)判断ABE与ACD的数量关系,并说明理由;(2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC.图K19-14【参考答案】1.D解析AC=CD=BD=BE,A=50,A=CDA=50,B=DCB,BDE=BED.B+DCB=CDA=50,B=25.B+EDB+DEB=180,BDE=BED=12(180-25)=77.5,CDE=180-CDA-EDB=180-50-77.5=52.5,故选D.2.C解析一元二次方程x2-7x+12=0的两根分别为3,4,所以腰长有两种情况:腰长为3,底边长为6,此时三角形三边关系为3+3=6,不符合“三角形任意两边之和大于第三边”,故不成立;腰长为4,此时三角形三边符合“三角形任意两边之和大于第三边”,所以周长为4+4+6=14.3.B解析MNBC,ANM=ACB,NMC=MCB,CM平分ACB,MCB=MCN=12ACB,NMC=NCM,MN=NC,MN平分AMC,AMN=NMC=12AMC,AMN=12ACB=12ANM,A=90,AMN=30,AN=1,MN=2,NC=2,AC=3,B=AMN=30,BC=2AC=6,故选B.4.B解析由AB=AC,可得ABC是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一”可知点B与点C关于直线AD对称,连接CP,则BP=CP,因此BP+EP的最小值为CE,故选B.5.A解析ACB=90,ABC=30,AC=2,A=90-ABC=60,AB=4,BC=23.CA=CA1,ACA1是等边三角形,AA1=AC=BA1=2,BCB1=ACA1=60.CB=CB1,BCB1是等边三角形,BB1=23,BD=DB1=3,又BA1=2,A1BB1=90,A1D=A1B2+BD2=7.故选A.6.B解析ADCE,BECE,ADC=CEB=90,DAC+DCA=90,ACB=90,ECB+DCA=90,DAC=ECB,又AC=CB,ACDCBE,CE=AD=3,CD=BE=1,DE=CE-CD=3-1=2,故选B.7.22.5解析根据题意可知ABDACD,BAC=CAD=45,AD=AD,ADD=ADD=180-452=67.5,D,D,B三点在同一直线上,ABD=ADD-BAC=22.5.8.33,0解析设CE交x轴于点F,因为ACE是等边三角形,所以CAD=30,那么CF=12AC=1.由勾股定理求得AF=3.因为CD2=DF2+CF2,CD=2DF,所以可求得DF=33.由“HL”定理易知ABO与DCF全等,所以AO=DF=33.所以OD=AF-AO-DF=3-33-33=33,即点D的坐标为33,0.9.20解析过点A作ADl1,如图,则BAD=40.l1l2,ADl2.DAC=.ABC是等边三角形,BAC=60,=DAC=BAC-BAD=60-40=20.10.37解析因为AD=AC,E为CD的中点,所以DAC=2CAE=32,所以ADC=12(180-DAC)=74,因为BD=AD,所以B=12ADC=37.11.证明:AE=BE,EAB=EBA,DCAB,DEA=EAB,CEB=EBA,DEA=CEB.在DEA和CEB中,DE=CE,DEA=CEB,AE=BE,DEACEB(SAS),D=C.12.解:(1)证明:线段CD绕点C按逆时针方向旋转90得到线段CE,DCE=90,CD=CE.又ACB=90,ACB=DCE,ACD=BCE.在ACD和BCE中,CD=CE,ACD=BCE,AC=BC,ACDBCE.(2)ACB=90,AC=BC,A=45,ACDBCE,AD=BE,CBE=A=45.又AD=BF,BE=BF,BEF=BFE=180-452=67.5.13.解:(1)(方法一):AB=AC,C=42,B=C=42,BAC=180-B-C=180-42-42=96.ADBC,BAD=12BAC=1296=48.(方法二):AB=AC,C=42,B=C=42.ADBC于点D,ADB=90,BAD=180-90-42=48.(2)证明:EFAC,CAF=F,AB=AC,ADBC,CAF=BAF,F=BAF,AE=FE.14.D解析过点A作AFCE于点F,设AB与CD的交点为M,过点M作MNAC于点N,如图所示.ECD为等腰直角三角形,CE=CD,E=45.AE=2,AD=6,AF=EF=1,CE=CD=DE2=1+3,CF=3,AC=AF2+CF2=2,ACF=30,ACD=60.设MN=x,ABC为等腰直角三角形,CA=CB,CAB=45,AN=MN=x,又CN=MN3=33x,AC=AN+CN=x+33x=2,解得x=3-3,S阴影=SACM=12ACMN=3-3.故选D.15.解:(1)ABE=ACD.理由如下:因为AB=AC,BAE=CAD,AE=AD,所以ABEACD.所以ABE=ACD.(2)证明:因为AB=AC,所以ABC=ACB.由(1)可知ABE=ACD,所以FBC=FCB,所以FB=FC.又因为AB=AC,所以点A,F均在线段BC的垂直平分线上,即直线AF垂直平分线段BC.8
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