2020年中考数学考点一遍过 考点15 等腰三角形与直角三角形（含解析）

考点15 等腰三角形与直角三角形一、等腰三角形1等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于602等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半二、等边三角形1定义：三条边都相等的三角形是等边三角形2性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于603判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形三、直角三角形与勾股定理1直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形2勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形考向一 等腰三角形的性质1等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴2等腰直角三角形的两个底角相等且等于453等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）4等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则a5等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为A，底角为B、C，则A=180-2B，B=C=典例1 （2020四川省武胜县万善初级中学初二月考）等腰三角形的一个内角为40，则其余两个内角的度数分别为A40，100B70，70C60，80D40，100或70，70【答案】D【解析】若等腰三角形的顶角为40时，另外两个内角=（18040）2=70；若等腰三角形的底角为40时，它的另外一个底角为40，顶角为1804040=100所以另外两个内角的度数分别为：40、100或70、70故选D【名师点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180o，解题关键是分情况进行讨论已知角为顶角时；已知角为底角时典例2 （2019延安市实验中学初二期末）如图，在中，AB=AC，D是BC的中点，下列结论不正确的是AADBCBB=CCAB=2BDDAD平分BAC【答案】C【解析】因为ABC中，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，AADBC，故A选项正确；BB=C，故B选项正确；C无法得到AB=2BD，故C选项错误；DAD平分BAC，故D选项正确故选C【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质.1（2020自贡市田家炳中学初二期中）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为_cm.考向二 等腰三角形的判定1等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据2底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形典例3 如图，在ABC中，AB=AC，ADBC于D，E是AB上的一点，EFAD交CA的延长线于F求证：AEF是等腰三角形【解析】AB=AC，ADBC，BAD=CAD又ADEF，F=CAD，FEA=BAD，FEA=F，AEF是等腰三角形2已知在ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数（1）求ABC的周长；（2）判断ABC的形状考向三 等边三角形的性质1等边三角形具有等腰三角形的一切性质2等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴3等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合典例4 （2019山东初二期末）如图，在ABC中，B=C=60，点D为AB边的中点，DEBC于E，若BE=1，则AC的长为_【答案】4【解析】DEBC，B=C=60，BDE=30，BD=2BE=2，点D为AB边的中点，AB=2BD=4，B=C=60，ABC为等边三角形，AC=AB=4，故答案为：4【名师点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB=2BD是解题的关键.3（2020山东初二期中）如图，是等边三角形，点在上，以为一边作等边，连接（1）说明的理由；（2）若，求的度数考向四 等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是60，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形典例5 下列推理中，错误的是AA=B=C，ABC是等边三角形BAB=AC，且B=C，ABC是等边三角形CA=60，B=60，ABC是等边三角形DAB=AC，B=60，ABC是等边三角形【答案】B【解析】A，A=B=C，ABC是等边三角形，故正确；B，条件重复且条件不足，故不正确；C，A=60，B=60，C=60，ABC是等边三角形60，故正确；D，根据有一个角是60的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确故选B4如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，AON=60当OP=_时，AOP为等边三角形考向五 直角三角形在直角三角形中，30的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题典例6 如图，在RtABC中，C=90，AD平分BAC交BC于点D，若B=30，BD=6，则CD的长为_【答案】3【解析】在RtABC中，C=90，B=30，BAC=60又AD平分BAC，BAD=CAD=30，BAD=B=30，AD=BD=6，CD=AD=3，故答案为：35已知直角三角形的两条边分别是5和12，则斜边上的中线的长度为_考向六 勾股定理1应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a22如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解典例7 （2020云南初二月考）直角三角形的两条直角边长分别为cm和cm，则这个直角三角形的周长为_.【答案】cm【解析】直角边长为:cm和cm，斜边=（cm），周长=（cm）.故答案为:cm【名师点睛】本题考查了二次根式与三角形边长，面积的综合运用.熟练掌握勾股定理的计算解出斜边是关键6如图所示，在中，为边上的中点.（1）求、的长度；（2）将折叠，使与重合，得折痕；求、的长度.1（2020浙江初二月考）直角三角形两直角边长分别为6和8，则此直角三角形斜边上的中线长是A3B4C7D52（2020山东初二期中）如图，是等边三角形，则的度数为A50B55C60D653（2019吉林初二期末）如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB=AC，顶角BAC=120，跨度BC=10m，AD为支柱（即底边BC的中线），两根支撑架DEAB，DFAC，则DE+DF等于A10mB5mC2.5mD9.5m4（2019河南初二期中）如图，是边长为1的等边三角形，为顶角的等腰三角形，点、分别在、上，且，则的周长为A2B3C1.5D2.55（2020北京北理工附中初二期中）如图，ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，AB=AC，CD=DE若A=40，ABD：DBC=3：4，则BDE=A24B25C30D356已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为A22B17C17或22D267如图，ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分BAC，则AD的长为A6B5C4D38如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有A8个B9个C10个D11个9如图，RtABC中，B=90，AB=9，BC=6，将ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长等于A5B6C4D310将一个有45角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30角，如图，则三角尺的最长边的长为A6B3C4D611（2019四川初二期中）三角形的三边a，b，c满足+（bc）2=0；则三角形是_三角形.12（2019山西初三期末）如图，等腰ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，ABC的面积=_13（2020北京北理工附中初二期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35，则这个等腰三角形顶角的度数为_.14若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为_15如图，在中，D、E分别是BC、AC上一点，且，则_16如图，已知ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则EFD=_17如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上的一个动点，把BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在BCD的平分线上时，CA1的长为_18（2019湖北初二期末）如图，在RtABC中，点E在AB上，把ABC沿CE折叠后，点B恰好与斜边AC的中点D重合.（1）求证：ACE为等腰三角形；（2）若AB=6，求AE的长.19如图，一架2.5 m长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B距底端O为0.7 m（1）求OA的长度；（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？20（2019辽宁初二月考）与有公共顶点（顶点均按逆时针排列），点是的中点，连接并延长交直线于点，连接.（1）如图，当时，求证：；是等腰直角三角形.（2）当时，画出相应的图形（画一个即可），并直接指出是何种特殊三角形.21已知：如图，有人在岸上点C的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB=10米，CAAB，且CA=6米，拉动绳子将船从点B沿BA方向行驶到点D后，绳长CD=6米（1）试判定ACD的形状，并说明理由；（2）求船体移动距离BD的长度1（2019滨州）如图，在和中，连接交于点，连接下列结论：；平分；平分其中正确的个数为A4B3C2D12（2019兰州）在ABC中，AB=AC，A=40，则B=_3（2019成都）如图，在ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，BAD=CAE，若BD=9，则CE的长为_4（2019威海）如图，在四边形中，连接，若，则_5（2019通辽）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为_6（2019怀化）若等腰三角形的一个底角为，则这个等腰三角形的顶角为_7（2019南通）如图，ABC中，AB=BC，ABC=90，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若BAE=25，则ACF=_度8（2019苏州）如图，中，点在边上，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点（1）求证：；（2）若，求的度数9（2019重庆）如图，在ABC中，AB=AC，ADBC于点D（1）若C=42，求BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EFAC交AD的延长线于点F求证：AE=FE10（2019无锡）如图，在ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于点O求证：（1）；（2）11（2019重庆A卷）如图，在ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分ABC交AC于点E，过点E作EFBC交AB于点F（1）若C=36，求BAD的度数（2）若点E在边AB上，EFAC叫AD的延长线于点F求证：FB=FE12（2019枣庄）在中，于点（1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段AM的长；（2）如图2，点，分别在，上，且，求证：；（3）如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：变式拓展1【答案】4cm或5cm【解析】当长是4cm的边是底边时，腰长是（134）=4.5，三边长为4cm，4.5cm，4.5cm，等腰三角形成立；当长是4cm的边是腰时，底边长是：1344=5cm，等腰三角形成立故底边长是：4cm或5cm故答案是：4cm或5cm【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解2【解析】（1）由题意得：52AB5+2，即：3AB7，AB为奇数，AB=5，ABC的周长为5+5+2=12（2）AB=AC=5，ABC是等腰三角形3【答案】（1）见解析；（2）20.【解析】（1）由，得，由，得（SAS）；（2）由，得，所以，所以.【名师点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，先证明三角形全等是解决本题的突破口4【答案】5【解析】已知AON=60，当OP=OA=5时，根据有一个角为60的等腰三角形为等边三角形，可得AOP为等边三角形故答案为：55【答案】6或6.5【解析】分两种情况：5和12是两条直角边，根据勾股定理求得斜边为13，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6.5；5是直角边，12为斜边，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6，故答案为：6或6.56【答案】（1）BD=2，；（2），【解析】（1）在中，在中，又为边上的中点，在中，（2）折叠后如图所示，为折痕，连接，设，则，在中，即，解得：，【名师点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，也考查了折叠的性质.是常见中考题型.考点冲关1【答案】D【解析】两直角边分别为6和8，斜边=，斜边上的中线=10=5，故选D【名师点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键2【答案】A【解析】是等边三角形，又，故选A【名师点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、等边对等角以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是正确解答本题的关键.3【答案】B【解析】AB=AC，BAC=120，B=C=30，DEAB，DFAC，垂足为E，F，DE=BD，DF=DC，DE+DF=BD+DC=（BD+DC）=BCDE+DF=BC=10=5m故选B【名师点睛】本题考查等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键.4【答案】A【解析】如图所示，延长AC到E，使CE=BM，连接DE，BD=DC，BDC=120，CBD=BCD=30，ABC=ACB=60，ABD=ACD=DCE=90，在BMD和CED中，BMDCED（SAS），BDM=CDE，DM=DE，又MDN=60，BDM+NDC=60，EDC+NDC=NDE=60=NDM，在MDN和EDN中，MDNEDN（SAS），MN=NE=NC+CE=NC+BM，所以AMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2.故选A.【名师点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，做辅助线构造全等三角形，利用等边三角形的性质得到全等条件是解决本题的关键.5【答案】C【解析】AB=AC，CD=DE，C=DEC=ABC，ABDE，A=40，C=DEC=ABC=，ABD：DBC=3：4，设ABD为3x，DBC为4x，3x+4x=70，x=10，ABD=30，ABDE，BDE=ABD=30，故答案为C【名师点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角和三角形内角和定理求解，难度适中6【答案】A【解析】分两种情况：当腰为4时，4+44，9-96+6，所以不能构成三角形；当6为底边时，则腰长=（26-6）2=10，因为6-6106+6，所以能构成三角形，故腰长为10故答案为：1015【答案】【解析】是三角形ABD的外角，是三角形DEC的一个外角，D、E分别在BC、AC上，故答案为：16【答案】15【解析】ABC是等边三角形，ACB=60，ACD=120，CG=CD，CDG=30，FDE=150，DF=DE，E=15故答案为：1517【答案】或【解析】如图，过点A1作A1MBC于点M点A的对应点A1恰落在BCD的平分线上，BCD=90，A1CM=45，即AMC是等腰直角三角形，设CM=A1M=x，则BM=7-x又由折叠的性质知AB=A1B=5，在直角A1MB中，由勾股定理得A1M2=A1B2-BM2=25-（7-x）2，25-（7-x）2=x2，解得x1=3，x2=4，在等腰RtA1CM中，CA1=A1M，CA1=3或4故答案为：或18【答案】（1）见解析；（2）4.【解析】（1）把ABC沿CE折叠后，点B恰好与斜边AC的中点D重合，CD=CB，CDE=B=90，AD=CD，在ADE和CDE中，ADECDE（SAS），EA=EC，ACE为等腰三角形；（2）由折叠的性质知：BEC=DEC，ADECDE，AED=DEC，AED=DEC=BEC=60，BCE=30，又EA=EC，AE=4.【名师点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的定义和30角的直角三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握上述图形的性质是解题关键.19【解析】在直角ABO中，已知AB=2.5 m，BO=0.7 m，则AO=2.4 m，AO=AA+OA，OA=2 m，在直角ABO中，AB=AB，且AB为斜边，OB=1.5 m，BB=OB-OB=1.5 m-0.7 m=0.8 m答：梯足向外移动了0.8 m20【答案】（1）详见解析；详见解析；（2）详见解析；【解析】（1）证明：，.又，.又，；当时，.，；又，即，是等腰直角三角形.（2）所画图形如图1或图，此时是等边三角形. 图1 图2与（1）同理，可证，AF=AD，AFD是等边三角形.【名师点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是正确找到证明三角形全等的条件，利用全等三角形的性质得到边的关系，角的关系.21【解析】（1）由题意可得：AC=6 m，DC=6 m，CAD=90，可得AD=6（m），故ACD是等腰直角三角形（2）AC=6 m，BC=10 m，CAD=90，AB=8（m），则BD=AB-AD=8-6=2（m）答：船体移动距离BD的长度为2 m直通中考1【答案】B【解析】，即，在和中，正确；，由三角形的外角性质得：，正确；作于，于，如图所示：则，在和中，平分，正确，正确的个数有3个，故选B2【答案】70【解析】AB=AC，B=C，A+B+C=180，B=（180-40）=70故答案为：703【答案】9【解析】AB=AC，B=C，在BAD和CAE中，BADCAE，BD=CE=9，故答案为：94【答案】105【解析】作于，于，如图所示，则，故答案为：5【答案】6或或【解析】如图1，当，则，底边长为6；如图2，当，时，则，此时底边长为；如图3，当，时，则，此时底边长为故答案为：6或或【名师点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论6【答案】36【解析】等腰三角形的一个底角为，等腰三角形的顶角，故答案为：【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键7【答案】70【解析】ABC=90，AB=AC，CBF=180ABC=90，ACB=45，在RtABE和RtCBF中，RtABERtCBF，BCF=BAE=25，ACF=ACB+BCF=45+25=70，故答案为：70【名师点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键8【解析】（1），（2），【名师点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键9【解析】（1）AB=AC，ADBC于点D，BAD=CAD，ADC=90，又C=42，BAD=CAD=90-42=48（2）AB=AC，ADBC于点D，BAD=CAD，EFAC，F=CAD，BAD=F，AE=FE10【解析】（1）AB=AC，ECB=DBC，在与中，（2）由（1），DCB=EBC，OB=OC11【解析】（1），D为BC的中点，（2）BE平分，又，【名师点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型12【解析】（1），由勾股定理得，即，解得，（2），在和中，（3）如图，过点作交的延长线于，则，在和中，【名师点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键