2020年中考数学考点专项突破卷19 锐角三角函数和解直角三角形（含解析）

19.1锐角三角函数和解直角三角形精选考点专项突破卷（一）考试范围：锐角三角函数和解直角三角形；考试时间：90分钟；总分：120分一、单选题（每小题3分，共30分)1（2015四川中考真题）如图，已知ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ） ABCD2（2018湖北中考真题）如图，在中，则等于（ ）ABCD3（2018黑龙江中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tanABD=，则线段AB的长为（）AB2C5D104（2014四川中考真题）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（ ）A15m B203m C20m D103m5（2018湖南中考真题）如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ）A米B米C米D米6（2012山东中考真题）把ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（ ）A不变B缩小为原来的C扩大为原来的3倍D不能确定7（2014四川中考真题）在ABC中，若=0，则C的度数是（ ）A45B60C75D1058（2018山东中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AEBD，垂足为F，则tanBDE的值是（）ABCD9（2019湖南中考真题）如图，在ABC中，C90，AC12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cosBDC，则BC的长是（ ）A10B8C4D210（2018浙江中考真题）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得ABC=，ADC=，则竹竿AB与AD的长度之比为ABCD二、填空题（每小题4分，共28分)11（2013辽宁中考真题）ABC中，C=90，AB=8，cosA=，则BC的长 12（2019四川中考真题）如图，在中，,.则边的长为_. 13（2019山东中考真题）如图，一架长为米的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时测得，如果梯子的底端外移到，则梯子顶端下移到，这时又测得，那么的长度约为_米（，）14（2019山东中考真题）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为_m（精确到0.1m参考数据：sin530.80，cos530.60，tan531.33）15（2019广西中考真题）如图，在中，则的长为_16（2013湖北中考真题）如图，在RtABC中，ACB=90，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE= 17（2019江苏中考真题）如图，在矩形ABCD中，H是AB的中点，将沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则_三、解答题一（每小题6分，共18分)18（2019四川中考真题）计算：19（2019四川中考真题）计算：20（2019四川中考真题）计算：四、解答题二（每小题8分，共24分)21（2014湖南中考真题） 一艘观光游船从港口A以北偏东60的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间（温馨提示：sin530.8，cos530.6） 22（2019山东中考真题）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；将斜坡的高度降低米后，斜坡改造为斜坡，其坡度为求斜坡的长（结果保留根号）23（2016青海中考真题）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)(1)求教学楼AB的高度；(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)(参考数据：sin22，cos22，tan22)五、解答题三（每小题10分，共20分)24（2017湖北中考真题）（2017湖北省鄂州市）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45已知A点离地面的高度AB=2米，BCA=30，且B、C、D三点在同一直线上（1）求树DE的高度；（2）求食堂MN的高度25（2018江苏中考真题）日照间距系数反映了房屋日照情况如图，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L：（HH1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度如图，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m（1）求山坡EF的水平宽度FH；（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？19.1锐角三角函数和解直角三角形精选考点专项突破卷（一）参考答案1D【解析】过B点作BDAC，如图，由勾股定理得，AB=，AD=，cosA=，故选D2A【解析】分析：先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得详解：在RtABC中，AB=10、AC=8，BC=，sinA=.故选：A点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义3C【解析】分析：根据菱形的性质得出ACBD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可详解：四边形ABCD是菱形，ACBD，AO=CO，OB=OD，AOB=90，BD=8，OB=4，tanABD=，AO=3，在RtAOB中，由勾股定理得：AB=5，故选C点睛：本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键4C【解析】试题分析：RtABC中，BC=10m，tanA=1：3，AC=BCtanA=103mAB=AC2+BC2=(103)2+102=20m故选C考点：1解直角三角形的应用（坡度坡角问题）；2锐角三角函数定义；3特殊角的三角函数值；4勾股定理5A【解析】利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度【详解】在RtAOB中，AOB=90，AB=300米，BO=ABsin=300sin米故选A【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数得出AB，BO的关系是解题关键6A。【解析】锐角三角函数的定义。【分析】因为ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变。故选A。7C【解析】根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出C的度数【详解】由题意，得cosA=，tanB=1，A=60，B=45，C=180-A-B=180-60-45=75故选C8A【解析】证明BEFDAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出再由三角函数定义即可得出答案【详解】四边形ABCD是矩形，AD=BC，ADBC，点E是边BC的中点，BE=BC=AD，BEFDAF，EF=AF，EF=AE，点E是边BC的中点，由矩形的对称性得：AE=DE，EF=DE，设EF=x，则DE=3x，DF=x，tanBDE= .故选A【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键9D【解析】设CD5x，BD7x，则BC2x，由垂直平分线的性质可得BD=AD，可得AC=12x，由AC12即可求x，进而求出BC；【详解】C90，cosBDC，设CD5x，BD7x，BC2x，AB的垂直平分线EF交AC于点D，ADBD7x，AC12x，AC12，x1，BC2；故选D.【点睛】本题考查直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形函数的三角函数值，线段垂直平分线的性质是解题的关键.10B【解析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；【详解】在RtABC中，AB=，在RtACD中，AD=，AB：AD=：=，故选B【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题11【解析】首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长：ABC中，C=90，AB=8， 故答案为12【解析】过A作ADBC于D点，根据，可求得CD，在RtACD中由勾股定理可求得AD，再利用RtADB中，可知AB=2AD，即可解题【详解】过A作ADBC于D点，AC=2CD=在RtACD中由勾股定理得：AD=又B=30AB=2AD=.【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理求线段长度，30所对的直角边是斜边的一半，灵活联合运用即可解题.13【解析】直接利用锐角三角函数关系得出，的长，进而得出答案【详解】由题意可得：，解得：，解得：，则，答：的长度约为米故答案为：【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出，的长是解题关键149.5【解析】分析：根据三角函数和直角三角形的性质解答即可详解：过D作DEAB，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53，ADE53，BCDE6m，AEDEtan5361.337.98m，ABAEBEAECD7.981.59.48m9.5m，故答案为：9.5点睛：此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形注意方程思想与数形结合思想的应用15【解析】过A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可【详解】解：过作，在中，在中，即，根据勾股定理得：，故答案为【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键16【解析】分析：BC=6，sinA=，AB=10。D是AB的中点，AD=AB=5。ADEACB，即，解得：DE=。17【解析】连接PB，交CH于E，依据轴对称的性质以及三角形内角和定理，即可得到CH垂直平分BP，即可得到，进而得出，依据中，即可得出【详解】如图，连接PB，交CH于E，由折叠可得，CH垂直平分BP，又H为AB的中点，又，又中，故答案为：【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键188.【解析】直接利用二次根式的性质、零指数幂的性质、负指数幂的性质及特殊角的三角函数值分别化简得出答案【详解】原式【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数把熟记特殊角的三角函数值是解题关键.19-【解析】分别进行特殊角的三角函数值的运算，任何非零数的零次幂等于1，负整数指数幂以及绝对值的意义化简，然后按照实数的运算法则进行计算求得结果【详解】解：原式【点睛】考查了实数的运算法则，解答本题的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识20【解析】先根据整数指数幂、负指数幂、零指数幂、三角函数和绝对值进行化简，再进行加减运算.【详解】解：原式【点睛】本题考查指数幂、三角函数和绝对值，解题的关键是掌握指数幂、三角函数和绝对值.21【解析】试题分析：过点C作CDAB交AB延长线于D先解RtACD得出CD=AC=40海里，再解RtCBD中，得出BC=50，然后根据时间=路程速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间试题解析：解：如图，过点C作CDAB交AB延长线于D在RtACD中，ADC=90，CAD=30，AC=80海里，CD=AC=40海里在RtCBD中，CDB=90，CBD=9037=53，BC=50（海里），海警船到大事故船C处所需的时间大约为：5040=（小时）考点：解直角三角形的应用-方向角问题22斜坡的长是米【解析】根据题意和锐角三角函数可以求得的长，进而得到的长，再根据锐角三角函数可以得到的长，最后用勾股定理即可求得的长【详解】，坡度为，斜坡的坡度为，即，解得，米，答：斜坡的长是米【点睛】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答23（1）12m（2）27m【解析】（1）首先构造直角三角形AEM，利用，求出即可。（2）利用RtAME中，求出AE即可。【详解】解：（1）过点E作EMAB，垂足为M。设AB为x在RtABF中，AFB=45，BF=AB=x，BC=BFFC=x13。在RtAEM中，AEM=22，AM=ABBM=ABCE=x2，又，解得：x12。教学楼的高12m。（2）由（1）可得ME=BC=x+1312+13=25。在RtAME中，AE=MEcos22。A、E之间的距离约为27m。24（1）6；（2）【解析】试题分析：（1）设DE=x，可得EF=DEDF=x2，从而得AF=（x2），再求出CD=x、BC的长，根据AF=BD可得关于x的方程，解之可得；（2）延长NM交DB延长线于点P，知AM=BP=3，由（1）得CD=x=、BC=，根据NP=PD且AB=MP可得答案试题解析：（1）如图，设DE=x，AB=DF=2，EF=DEDF=x2，EAF=30，AF= =，又CD=x，BC=，BD=BC+CD=+x，由AF=BD可得（x2）=+x，解得：x=6，树DE的高度为6米；（2）延长NM交DB延长线于点P，则AM=BP=3，由（1）知CD=x=6=，BC=，PD=BP+BC+CD=3+=3+，NDP=45，且MP=AB=2，NP=PD=3+，NM=NPMP=3+2=，食堂MN的高度为米点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形25（1）山坡EF的水平宽度FH为9m；（2）要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处29m远【解析】分析：（1）在RtEFH中，根据坡度的定义得出tanEFH=i=1：0.75=，设EH=4x，则FH=3x，由勾股定理求出EF=5x，那么5x=15，求出x=3，即可得到山坡EF的水平宽度FH为9m；（2）根据该楼的日照间距系数不低于1.25，列出不等式1.25，解不等式即可详解：（1）在RtEFH中，H=90，tanEFH=i=1：0.75=，设EH=4x，则FH=3x，EF=5x，EF=15，5x=15，x=3，FH=3x=9即山坡EF的水平宽度FH为9m；（2）L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13，H=AB+EH=22.5+12=34.5，H1=0.9，日照间距系数=L：（HH1）=，该楼的日照间距系数不低于1.25，1.25，CF29答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处29m远点睛：本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，勾股定理，将实际问题转化为数学问题是解题的关键。19