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课时训练(十五)二次函数的应用(限时:40分钟)|夯实基础|1.2019荆门抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数为()A.0B.1C.2D.32.2018襄阳已知二次函数y=x2-x+14m-1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是()A.m5B.m2C.m23.若二次函数y=ax2+bx+c(a0成立的x的取值范围是()A.x2B.-4x2C.x-4或x2D.-4x24.2019自贡一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx的图象如图K15-1所示,则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象是图K15-2中的() 图K15-1 图K15-25.2019山西北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥,它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆、拉索与主梁相连.最高的钢拱如图K15-3所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点,拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,则此抛物线型钢拱的函数表达式为()图K15-3A.y=26675x2B.y=-26675x2C.y=131350x2D.y=-131350x26.如图K15-4,假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m,则所围成矩形ABCD的最大面积是()图K15-4A.60 m2B.63 m2C.64 m2D.66 m27.2018宁波如图K15-5,二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,且经过第三象限的点P,若点P的横坐标为-1,则一次函数y=(a-b)x+b的图象大致是()图K15-5图K15-68.2019临沂从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图K15-7所示.下列结论: 小球在空中经过的路程是40 m; 小球抛出3 s后,速度越来越快;小球抛出3 s时速度为0;小球的高度h=30 m时,t=1.5 s.其中正确的是()图K15-7A. B. C. D. 9.2018呼和浩特若满足122成立,则实数m的取值范围是()A.m-1B.m-5C.m4.使y=a成立的x的值恰好只有3个时,a的值为.14.2018黄冈已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线的两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求OAB的面积.15.超市销售某种儿童玩具,如果每件利润为40元(市场管理部门规定,该种玩具每件利润不能超过60元),每天可售出50件.根据市场调查发现,销售单价每增加2元,每天销售量会减少1件.设销售单价增加x元,每天售出y件.(1)请写出y与x之间的函数表达式;(2)当x为多少时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元?(3)设超市每天销售这种玩具可获利w元,当x为多少时w最大,最大值是多少?16.2019南充在“我为祖国点赞”征文活动中,学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔、一本笔记本.已知购买2支钢笔和3本笔记本共需38元,购买4支钢笔和5本笔记本共需70元.(1)钢笔、笔记本的单价分别为多少?(2)经与商家协商,购买钢笔超过30支时,每增加1支,单价降低0.1元;超过50支,均按购买50支的单价销售.笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人,其中一等奖的人数不少于30人,且不超过60人,这次奖励一等奖学生多少人时,购买奖品总金额最少,最少为多少元?17.2019菏泽如图K15-9,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,-2),点A的坐标是(2,0),P为抛物线上的一个动点,过点P作PDx轴于点D,交直线BC于点E,抛物线的对称轴是直线x=-1.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点P在第二象限内,且PE=14OD,求PBE的面积;(3)在(2)的条件下,若M为直线BC上一点,在x轴的上方,是否存在点M,使BDM是以BD为腰的等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.图K15-9|拓展提升|18.2019长沙25题已知抛物线y=-2x2+(b-2)x+(c-2020)(b,c为常数).(1)若抛物线的顶点坐标为(1,1),求b,c的值;(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求c的取值范围;(3)在(1)的条件下,存在正实数m,n(mn),当mxn时,恰好有m2m+11y+2n2n+1,求m,n的值.【参考答案】1.C解析当x=0时,y=-x2+4x-4=-4,则抛物线与y轴的交点坐标为(0,-4).当y=0时,-x2+4x-4=0,解得x1=x2=2,抛物线与x轴的交点坐标为(2,0),所以抛物线与坐标轴有2个交点.故选C.2.A解析二次函数的图象与x轴有交点,=b2-4ac=(-1)2-414m-10,解得m5.故选A.3.D解析二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为直线x=-1,二次函数的图象与x轴的另一个交点为(-4,0).a0成立的x的取值范围是-4x0.二次函数的图象与y轴交于正半轴.一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,a0,-b2a0,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,对称轴在y轴的右侧.故选A.5.B解析设二次函数的表达式为y=ax2,由题可知,点A的坐标为(-45,-78),代入表达式可得-78=a(-45)2,解得a=-26675,二次函数的表达式为y=-26675x2,故选B.6.C解析设BC=x m,则AB=(16-x)m,矩形ABCD的面积为y m2.根据题意,得y=(16-x)x=-x2+16x=-(x-8)2+64,当x=8时,y最大值=64,所围成矩形ABCD的最大面积是64 m2.7.D解析把x=-1代入y=ax2+bx得a-b0.图象开口向下,a0.又对称轴位于y轴左侧,a,b同号,b0,函数y=(a-b)x+b的图象经过第二、三、四象限.故选D.8.D解析由图象知,小球在空中达到的最大高度是40 m,故错误;小球抛出3 s后,速度越来越快,故正确;小球抛出3 s秒时达到最高点,即速度为0,故正确;设h与t之间的函数解析式为h=a(t-3)2+40,把O(0,0)代入,得0=a(0-3)2+40,解得a=-409,h与t之间的函数解析式为h=-409(t-3)2+40,把h=30代入解析式,得30=-409(t-3)2+40,解得t=4.5或t=1.5,小球的高度h=30 m时,t=1.5 s或4.5 s,故错误.故选D.9.D解析122x,设y1=2x2-x-m,y2=2x.12x1,2y214时,y1随x的增大而增大,如图,结合图象可知:当-m4,12y2,即m-4,122总成立.10.D11.x1=-2,x2=1解析抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点的坐标分别为A(-2,4),B(1,1),y=ax2,y=bx+c的解为x1=-2,y1=4,x2=1,y2=1.即方程ax2=bx+c的解是x1=-2,x2=1.12.k0,即(-4)2-41k0,解得k0,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,即直线l与抛物线总有两个交点.(2)如图,连接AO,BO,联立两个函数解析式,得x2-4x=-2x+1,解得x1=1-2,x2=1+2.设直线l与y轴交于点C,在y=-2x+1中,令x=0,得y=1,所以C(0,1),所以OC=1.所以SOAB=SAOC+SBOC=12OC|xA|+12OC|xB|=12OC|xA-xB|=12122=2.15.解:(1)根据题意,得y=-12x+50(0x20).(2)根据题意,得(40+x)-12x+50=2250,解得x1=50(舍去),x2=10.答:当x为10时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元.(3)根据题意,得w=(40+x)-12x+50=-12x2+30x+2000=-12(x-30)2+2450.a=-120,当x30时,w随x的增大而增大,当x=20时,w最大=2400.答:当x为20时w最大,最大值是2400元.16.解:(1)设钢笔、笔记本的单价分别为x元/支,y元/支,根据题意,得2x+3y=38,4x+5y=70,解得x=10,y=6.答:钢笔、笔记本的单价分别为10元/支,6元/支.(2)设钢笔的单价为a元/支,购买数量为b支,购买钢笔和笔记本的总金额为w元.当30b50时,a=10-0.1(b-30)=-0.1b+13,w=b(-0.1b+13)+6(100-b)=-0.1b2+7b+600=-0.1(b-35)2+722.5.当b=30时,w=720,当b=50时,w=700,当30b50时,700w722.5.当50b60时,a=10-(50-30)0.1=8,w=8b+6(100-b)=2b+600,700w720.当30b60时,w的最小值为700元,这次奖励一等奖学生50人时,购买奖品总金额最少,最少为700元.17.解析(1)根据点A(2,0),抛物线的对称轴为直线x=-1,可得点B(-4,0),则可设函数表达式为y=a(x-2)(x+4),根据点C(0,-2),即可求解;(2)设出点D坐标,表示出PE的长,根据PE=14OD,求得点D(-5,0),利用SPBE=12PEBD即可求解;(3)BDM是以BD为腰的等腰三角形,则分BD=BM和BD=DM两种情况求解.解:(1)点A的坐标是(2,0),抛物线的对称轴是直线x=-1,点B(-4,0),设抛物线的函数表达式为y=a(x-2)(x+4),将点C(0,-2)的坐标代入,得-8a=-2,解得a=14,故抛物线的函数表达式为y=14(x-2)(x+4),即y=14x2+12x-2.(2)易得直线BC的函数表达式为y=-12x-2.设点D(x,0),则点Px,14x2+12x-2,点Ex,-12x-2.PE=14OD,点P在直线BC上方,PE=14x2+12x-2+12x+2=14(-x),解得x=0或x=-5(舍去x=0),则点D(-5,0).故SPBE=12PEBD=1214ODBD=12541=58.(3)存在.由题意得,BDM是以BD为腰的等腰三角形,有BD=BM和BD=DM两种情况,如图,易得BD=1,BC=25.当BD=BM,点M在线段CB的延长线上时,过点M作MHx轴于点H,易得MHBCOB,则MHCO=MBCB,即MH2=125,解得MH=55.令y=-12x-2=55,解得x=-20+255,故点M-20+255,55.当BD=DM时,设点Mx,-12x-2,其中x-4.则MD2=x-(-5)2+-12x-2-02=1.整理得x2+485x+1125=0.解得x1=-4(舍去),x2=-285.当x=-285时,-12x-2=45.故点M-285,45.综上所述,点M的坐标为-20+255,55或-285,45.18.解:(1)由题意,可设y=-2(x-1)2+1,去括号,得y=-2x2+4x-1,b-2=4,c-2020=-1,解得b=6,c=2019.(2)设抛物线上关于原点对称且不重合的两点的坐标分别为(x0,y0),(-x0,-y0),代入解析式可得:y0=-2x02+(b-2)x0+(c-2020),-y0=-2x02-(b-2)x0+(c-2020),两式相加,得-4x02+2(c-2020)=0,c=2x02+2020,c2020.(3)由(1)可知抛物线为y=-2(x-1)2+1,y1.0mn,当mxn时,恰好有m2m+11y+2n2n+1,1ny1m,1m1,即m1,1m1,2n2-2n-1=0,n1=1-32(舍去),n2=1+32.同理,整理得(m-1)(2m2-2m-1)=0,1mn,m1=1,m2=1-32(舍去),m3=1+32(舍去).综上所述,m=1,n=1+32.12
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