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题型10 二次函数的综合应用题一、解答题1如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知，P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PEx轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1），直线l的表达式为：；（2）最大值：18；（3）存在，P的坐标为：或或或.【分析】（1）将点A、D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；（2），即可求解；（3）分NC是平行四边形的一条边、NC是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可【详解】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，故直线l的表达式为：，将点A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：；（2）直线l的表达式为：，则直线l与x轴的夹角为，即：则，设点P坐标为、则点，故有最大值，当时，其最大值为18；（3），当NC是平行四边形的一条边时，设点P坐标为、则点，由题意得：，即：，解得或0或4（舍去0），则点P坐标为或或；当NC是平行四边形的对角线时，则NC的中点坐标为，设点P坐标为、则点，N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，即：，解得：或（舍去0），故点；故点P的坐标为：或或或【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系2已知二次函数的图象过点，点（与0不重合）是图象上的一点，直线过点且平行于轴于点，点（1）求二次函数的解析式；（2）求证：点在线段的中垂线上；（3）设直线交二次函数的图象于另一点，于点，线段的中垂线交于点，求的值；（4）试判断点与以线段为直径的圆的位置关系【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）点在以线段为直径的圆上【分析】（1）把点代入函数表达式，即可求解；（2），即，又,即可求解；（3）证明、，即，即，即可求解；（4）在中，由（3）知平分，平分，则，即可求解【详解】解：（1）的图象过点，即，；（2）设二次函数的图象上的点，则，即，又，即，点在线段的中垂线上；（3）连接，在线段的中垂线上，又，连接，又在和中，在的图象上，由（2）结论知，即，即，；（4）在中，由（3）知平分，平分，点在以线段为直径的圆上【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、中垂线、圆的基本知识等，其中（3），证明、R是本题解题的关键3如图，抛物线与轴交于点A（-1，0），点B（-3,0），且OB=OC，（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，且POB=ACB，求点P的坐标；（3）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E,求DE的最大值.点D关于点E的对称点为F.当m为何值时，四边形MDNF为矩形？【答案】（1）；（2）点P坐标为或或或；（3）当时，最大值为4，当或时，四边形MDNF为矩形.【分析】（1）已知抛物线与x轴两交点坐标，可设交点式y=a（x+1）（x+3）；由OC=OB=3得C（0，-3），代入交点式即求得a=-1（2）由POB=ACB联想到构造相似三角形，因为求点P坐标一般会作x轴垂线PH得RtPOH，故可过点A在BC边上作垂线AG，构造ACGPOH利用点A、B、C坐标求得AG、CG的长，由相似三角形对应边成比例推出设点P横坐标为p，则OH与PH都能用p表示，但需按P横纵坐标的正负性进行分类讨论得到用p表示OH与PH并代入OH=2PH计算即求得p的值，进而求点P坐标（3）用m表示M、N横纵坐标，把m当常数求直线MN的解析式设D横坐标为t，把x=t代入直线MN解析式得点E纵坐标，D与E纵坐标相减即得到用m、t表示的DE的长，把m当常数，对未知数t进行配方，即得到当t=m+2时，DE取得最大值由矩形MDNF得MN=DF且MN与DF互相平分，所以E为MN中点，得到点D、E横坐标为m+2由得d=m+2时，DE=4，所以MN=8用两点间距离公式用m表示MN的长，即列得方程求m的值【详解】解：（1）抛物线与x轴交于点A（-1，0），点B（-3，0）设交点式y=a（x+1）（x+3）OC=OB=3，点C在y轴负半轴C（0，-3）把点C代入抛物线解析式得：3a=-3a=-1抛物线解析式为y=-（x+1）（x+3）=-x2-4x-3（2）如图1，过点A作AGBC于点G，过点P作PHx轴于点HAGB=AGC=PHO=90ACB=POBACGPOHOB=OC=3，BOC=90ABC=45，ABG是等腰直角三角形OH=2PH设P（p，-p2-4p-3）当p-3或-1p0时，点P在点B左侧或在AC之间，横纵坐标均为负数OH=-p，PH=-（-p2-4p-3）=p2+4p+3-p=2（p2+4p+3）解得：或当-3p-1或p0时，点P在AB之间或在点C右侧，横纵坐标异号p=2（p2+4p+3）解得：p1=-2，p2=-P（-2，1）或综上所述，点P的坐标为或或或；（3）如图2，x=m+4时，y=-（m+4）2-4（m+4）-3=-m2-12m-35M（m，-m2-4m-3），N（m+4，-m2-12m-35）设直线MN解析式为y=kx+n解得：直线MN：y=（-2m-8）x+m2+4m-3设D（t，-t2-4t-3）（mtm+4）DEy轴xE=xD=t，E（t，（-2m-8）t+m2+4m-3）DE=-t2-4t-3-（-2m-8）t+m2+4m-3=-t2+（2m+4）t-m2-4m=-t-（m+2）2+4当t=m+2时，DE的最大值为4如图3，D、F关于点E对称DE=EF四边形MDNF是矩形MN=DF，且MN与DF互相平分DE= MN，E为MN中点由得当d=m+2时，DE=4MN=2DE=8（m+4-m）2+-m2-12m-35-（-m2-4m-3）2=82解得：m的值为或时，四边形MDNF为矩形【点睛】本题考查了求二次函数解析式，求二次函数最大值，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，二元一次方程组的解法，矩形的性质第（3）题没有图要先根据题意画草图帮助思考，设计较多字母运算时抓住其中的常量和变量来分析和计算4如图，已知直线与抛物线： 相交于和点两点.求抛物线的函数表达式；若点是位于直线上方抛物线上的一动点，以为相邻两边作平行四边形,当平行四边形的面积最大时，求此时四边形的面积及点的坐标；在抛物线的对称轴上是否存在定点,使抛物线上任意一点到点的距离等于到直线的距离，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】；当 ，MANB= ，此时；存在. 当时，无论取任何实数，均有. 理由见解析.【分析】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y=ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；（2）过点M作MHx轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）如图2，分别过点B，C作直线y=的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则可根据BF=BN，CF=CN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可【详解】（1）由题意把点（-1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，得，解得a=-1，c=3，此抛物线C函数表达式为：y=-x2+2x+3；（2）如图1，过点M作MHx轴于H，交直线AB于K，将点（-1，0）、（2，3）代入y=kx+b中，得，解得，k=1，b=1，yAB=x+1，设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），则MK=-a2+2a+3-（a+1）=-（a-）2+，根据二次函数的性质可知，当a=时，MK有最大长度，SAMB最大=SAMK+SBMK=MKAH+MK（xB-xH）=MK（xB-xA）=3=，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，S最大=2SAMB最大=2=，M（，）；（3）存在点F，y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，对称轴为直线x=1， 当y=0时，x1=-1，x2=3，抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），如图2，分别过点B，C作直线y=的垂线，垂足为N，H，抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离，设F（1，a），连接BF，CF，则BF=BN=-3=，CF=CH=，由题意可列：，解得，a=，F（1，）【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大5如图，抛物线yax2+bx（a0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA2，且OA：AD1：3.（1）求抛物线的解析式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.【答案】（1）yx24x；（2）四边形MNGF周长最小值为12；（3）存在点P，P坐标为（6，6）；（4）抛物线平移的距离为3个单位长度.【分析】（1）由点E在x轴正半轴且点A在线段OE上得到点A在x轴正半轴上，所以A（2，0）；由OA2，且OA：AD1：3得AD6.由于四边形ABCD为矩形，故有ADAB，所以点D在第四象限，横坐标与A的横坐标相同，进而得到点D坐标.由抛物线经过点D、E，用待定系数法即求出其解析式；（2）画出四边形MNGF，由于点F、G分别在x轴、y轴上运动，故可作点M关于x轴的对称点点M，作点N关于y轴的对称点点N，得FMFM、GNGN.易得当M、F、G、N在同一直线上时NG+GF+FMMN最小，故四边形MNGF周长最小值等于MN+MN.根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点M、M、N、N坐标，即求得答案；（3）因为OD可求，且已知ODP中OD边上的高，故可求ODP的面积.又因为ODP的面积常规求法是过点P作PQ平行y轴交直线OD于点Q，把ODP拆分为OPQ与DPQ的和或差来计算，故存在等量关系.设点P坐标为t，用t表示PQ的长即可列方程.求得t的值要讨论是否满足点P在x轴下方的条件；（4）由KL平分矩形ABCD的面积可得K在线段AB上、L在线段CD上，画出平移后的抛物线可知，点K由点O平移得到，点L由点D平移得到，故有K（m，0），L（2+m，-6）.易证KL平分矩形面积时，KL一定经过矩形的中心H且被H平分，求出H坐标为（4，3），由中点坐标公式即求得m的值.【详解】（1）点A在线段OE上，E（8，0），OA2A（2，0）OA：AD1：3AD3OA6四边形ABCD是矩形ADABD（2，6）抛物线yax2+bx经过点D、E解得：抛物线的解析式为yx24x（2）如图1，作点M关于x轴的对称点M，作点N关于y轴的对称点N，连接FM、GN、MNyx24x（x4）28抛物线对称轴为直线x4点C、D在抛物线上，且CDx轴，D（2，6）yCyD6，即点C、D关于直线x4对称xC4+（4xD）4+426，即C（6，6）ABCD4，B（6，0）AM平分BAD，BADABM90BAM45BMAB4M（6，4）点M、M关于x轴对称，点F在x轴上M（6，4），FMFMN为CD中点N（4，6）点N、N关于y轴对称，点G在y轴上N（4，6），GNGNC四边形MNGFMN+NG+GF+FMMN+NG+GF+FM当M、F、G、N在同一直线上时，NG+GF+FMMN最小C四边形MNGFMN+MN=四边形MNGF周长最小值为12.（3）存在点P，使ODP中OD边上的高为.过点P作PQy轴交直线OD于点QD（2，6）OD，直线OD解析式为y3x设点P坐标为（t，t24t）（0t8），则点Q（t，3t）如图2，当0t2时，点P在点D左侧PQyQyP3t（t24t）t2+tSODPSOPQ+SDPQPQxP+PQ（xDxP）PQ（xP+xDxP）PQxDPQt2+tODP中OD边上的高h，SODPODht2+t2方程无解如图3，当2t8时，点P在点D右侧PQyPyQt24t（3t）t2tSODPSOPQSDPQPQxPPQ（xPxD）PQ（xPxP+xD）PQxDPQt2tt2t2解得：t14（舍去），t26P（6，6）综上所述，点P坐标为（6，6）满足使ODP中OD边上的高为.（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、LKL平分矩形ABCD的面积K在线段AB上，L在线段CD上，如图4K（m，0），L（2+m，-6）连接AC，交KL于点HSACDS四边形ADLKS矩形ABCDSAHKSCHLAKLCAHKCHL=1，AHCH，KH=HL，即点H为AC中点，也是KL中点H（4，3）m3抛物线平移的距离为3个单位长度.【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径问题，勾股定理，坐标系中求三角形面积，抛物线的平移，相似三角形的判定和应用，中点坐标公式.易错的地方有第（1）题对点D、C、B坐标位置的准确说明，第（3）题在点D左侧不存在满足的P在点D左侧的讨论，第（4）题对KL必过矩形中心的证明.6如图，在直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，对称轴为的抛物线过两点，且交轴于另一点，连接（1）直接写出点，点，点的坐标和抛物线的解析式；（2）已知点为第一象限内抛物线上一点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标；（3）抛物线上是否存在一点（点除外），使以点，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）点；（3）点的坐标为：或或【分析】（1）y=x+3，令x=0，则y=3，令y=0，则x=6，故点B、C的坐标分别为：（6，0）、（0，3），即可求解；（2）PH=PGcos=,即可求解；（3）分点Q在x轴上方、点Q在x轴下方两种情况，分别求解【详解】（1），令，则，令，则，故点的坐标分别为、，抛物线的对称轴为，则点，则抛物线的表达式为：，即，解得：，故抛物线的表达式为：（2）过点作轴的平行线交于点，作于点，将点坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：，则，则，设点，则点，则，故有最小值，此时，则点；（3）当点在轴上方时，则点为顶点的三角形与全等，此时点与点关于函数对称轴对称，则点；当点在轴下方时，为顶点的三角形与相似，则，当时，直线BC表达式的值为，则直线表达式的值为，设直线表达式为：，将点的坐标代入上式并解得：直线的表达式为：，联立并解得：或8（舍去6），故点坐标为（舍去）；当时，同理可得：直线的表达式为：，联立并解得：或10（舍去6），故点坐标为，由点的对称性，另外一个点的坐标为；综上，点的坐标为：或 或【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形三角形相似等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏7如图，在平面在角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交与点A，B（点A在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MNBD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NHx轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；（2）在（1）中，当MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把AOQ绕点O瓶时针旋转一定的角度（0360），得到AOQ，其中边AQ交坐标轴于点C在旋转过程中，是否存在一点G使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，Q的坐标（，），（，），（，），（，）【分析】（1）先确定点F的位置，可设点N（m，m2-2m-3），则点F（m，2m-6），可得|NF|=（2m-6）-（m2-2m-3）=-m2+4m-3，根据二次函数的性质得m= 时，NF取到最大值，此时HF=2， F（2，-2），在x轴上找一点K（，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J，交y轴于点P，直线KC的解析式为： ，从而得到直线FJ 的解析式为：联立解出点J（ , ）得FP+PC的最小值即为FJ的长，且, 最后得出 ;（2）由题意可得出点Q（0，-2），A2=，应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半”取AQ的中点G，连接OG，则OG=GQ=AQ=，此时，AQ0=GOQ，把AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度 （0360），得到AOQ，其中边AQ交坐标轴于点G，则用0G=GQ，分四种情况求解即可.【详解】解：（1）如图1抛物线yx22x3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C令y0解得：x11，x23，令x0，解得：y3，A（1，0），B（3，0），C（0，3）点D为抛物线的顶点，且4点D的坐标为D（1，4）直线BD的解析式为：y2x6，由题意，可设点N（m，m22m3），则点F（m，2m6）|NF|（2m6）（m22m3）m2+4m3当m2时，NF 取到最大值，此时MN取到最大值，此时HF2， 此时，N（2，3），F（2，2），H（2，0）在x轴上找一点K（，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J点，交y轴于点P，sinOCK ，直线KC的解析式为：，且点F（2，2），PJPC，直线FJ的解析式为：点J（ , ）FP+PC的最小值即为FJ的长，且；（2）由（1）知，点P（0， ），把点P向上平移 个单位得到点Q 点Q（0，2）在RtAOQ中，AOG90，AQ，取AQ的中点G，连接OG，则OGGQAQ，此时，AQOGOQ把AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度（0360），得到AOQ，其中边AQ交坐标轴于点G如图2G点落在y轴的负半轴，则G（0，），过点Q作QIx轴交x轴于点I，且GOQQ则IOQOAQOAQ，sinOAQ，解得：|IO|在RtOIQ中根据勾股定理可得|OI|点Q的坐标为Q（，）；如图3， 当G点落在x轴的正半轴上时，同理可得Q（，）如图4当G点落在y轴的正半轴上时，同理可得Q（，）如图5当G点落在x轴的负半轴上时，同理可得Q（，）综上所述，所有满足条件的点Q的坐标为：（，），（，），（，），（，）【点睛】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴的交点求法和与几何图形结合的综合能力的培养及直角三角形的中线性质要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用通过求点的坐标来表示线段的长度，从而求出线段之间的关系8已知抛物线的对称轴为直线，其图像与轴相交于、两点，与轴交于点（1）求，的值；（2）直线与轴交于点 如图1，若轴，且与线段及抛物线分别相交于点、，点关于直线的对称点为，求四边形面积的最大值； 如图2，若直线与线段相交于点，当时，求直线的表达式【答案】（1）；（2）四边形的面积最大值为；【分析】（1）根据抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标可求出b、c的值；（2）由题意先求出D点坐标为（2，3），求出直线AC的解析式，设，则，四边形CEDF的面积可表示为，利用二次函数的性质可求出面积的最大值；（3）当PCQCAP时，可得，作于点，设，可求出PH、CH的长，得到P点坐标，即可得出函数解析式【详解】解：（1）由题意可得： ，解得；（2）由题可知， ，令，解得：, ，：设，则，当时，四边形的面积最大，最大值为.由（1）可知由可得，由，可得，作于点，设，则，即解得，：.【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，会利用相似三角形的性质解题，会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键9如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，且tan.设抛物线的顶点为，对称轴交轴于点.（1）求抛物线的解析式；（2）为抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，且.当点在线段(含端点)上运动时，求的变化范围；当取最大值时，求点到线段的距离；当取最大值时，将线段向上平移个单位长度，使得线段与抛物线有两个交点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）2【分析】（1）由解析式可知点A（-2，0），点B（6,0）根据，可得OC=3，即点C（0,3），代入解析式即可求a.（2）由解析式求得顶点M(2,4)，设P点坐标为（2，m）（其中0m4），利用勾股定理将PC、PQ、CQ用含m，n的式子表示，再利用PCQ为直角三角形，可利用勾股定理得PC2+PQ2=CQ2，将含m，n的式子代入整理可得一个关于m，n的二次函数，且0m4，通过二次函数增减性可求得n取值范围.当n取最大值4时，m=4，可得点P（2,4），Q（4,0），故可求得PC=，PQ=2，CQ=5，利用直角三角形等面积法可求得点到线段CQ距离由题意求得线段的解析式为：，故可设线段向上平移个单位长度后的解析式为：，当线段向上平移，使点恰好在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点，此时可求对应的点的纵坐标为，进而求得此时t值，当线段继续向上平移，线段与抛物线只有一个交点时，联解抛物线与CQ的解析式并化简得一元二次方程，有一个交点可知由，得此时t值，即可解题.【详解】解：（1）根据题意得：,，在中，且,，,将点坐标代入得：，故抛物线解析式为：；（2）由（1）知，抛物线的对称轴为：x=2，顶点M(2,4)，设P点坐标为（2，m）（其中0m4），则PC2=22+(m-3)2，PQ2=m2+(n-2)2，CQ2=32+n2，PQPC，在RtPCQ中中，由勾股定理得：PC2+PQ2=CQ2,即22+(m-3)2+ m2+(n-2)2=32+n2，整理得：n=（0m4），当时，n取得最小值为；当时，n取得最大值为4，n4；由知：当n取最大值4时，m=4，P（2,4），Q（4,0）则PC=，PQ=2，CQ=5，设点P到线段CQ距离为，由，得：故点到线段距离为；由可知：当取最大值4时，线段的解析式为：，设线段向上平移个单位长度后的解析式为：，当线段向上平移，使点恰好在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点此时对应的点的纵坐标为：，将代入得：， 当线段继续向上平移，线段与抛物线只有一个交点时，联解得：，化简得：，由，得，当线段与抛物线有两个交点时，.【点睛】本题考查了二次函数求解析式，锐角三角函数，勾股定理，一次函数的平移，与二次函数的交点情况，解本题的关键是通过建立新的二次函数模型和一元二次方程模型来解题.10如图1，已知抛物线过点（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当时，求点D的坐标；（3）如图2抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，和的面积分别为，求的最大值【答案】（1），顶点C的坐标为-（-1,4）；（2）；（3）的最大值为.【分析】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入即可求得二次函数的解析式；（2）设抛物线对称轴与x轴交于点H，在中，可求得，推出，可证，利用相似三角形的性质可求出AD的长度，进一步可求出点D的坐标，由对称性可直接求出另一种情况；（3）设代入，求出直线PA的解析式，求出点N的坐标，由，可推出，再用含a的代数式表示出来，最终可用函数的思想来求出其最大值【详解】解：（1）由题意把点代入，得，解得，此抛物线解析式为：，顶点C的坐标为（2）抛物线顶点，抛物线对称轴为直线，设抛物线对称轴与x轴交于点H，则，在中，当时，如图1，当点D在对称轴左侧时，当点D在对称轴右侧时，点D关于直线的对称点D的坐标为，点D的坐标为或；（3）设，将代入，得，解得，当时，如图2，由二次函数的性质知，当时，有最大值，和的面积分别为m、n，的最大值为【点睛】考查了用待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，用函数思想求极值等，解题关键是能够设出点P坐标，求出含参数的直线PA的解析式，进一步表示出点N坐标11如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1） （2）最大值为10（3）故点P坐标为：或或【分析】（1）二次函数表达式为：，将点B的坐标代入上式，即可求解；（2）矩形MNHG的周长，即可求解；（3），解得：，即可求解【详解】（1）二次函数表达式为：，将点B的坐标代入上式得：，解得：，故函数表达式为：；（2）设点M的坐标为，则点，则， 矩形MNHG的周长，故当，C有最大值，最大值为10，此时，点与点D重合；（3）的面积是矩形MNHG面积的，则， 连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即， 过点P作于点K，将、坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD的表达式为：， ， 设点，则点，解得：，则， 解得：， 故点，直线n的表达式为：，联立并解得：， 即点、的坐标分别为、； 故点P坐标为：或或【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系12如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点右侧），点为抛物线的顶点.点在轴的正半轴上，交轴于点，绕点顺时针旋转得到，点恰好旋转到点，连接. （1）求点、的坐标；（2）求证：四边形是平行四边形；（3）如图2，过顶点作轴于点，点是抛物线上一动点，过点作轴，点为垂足，使得与相似（不含全等）.求出一个满足以上条件的点的横坐标；直接回答这样的点共有几个？【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）点P的横坐标为，点P共有3个.【分析】(1)令y=0，可得关于x的方程，解方程求得x的值即可求得A、B两点的坐标，对解析式配方可得顶点D的坐标；(2)由，COAF，可得OF=OA=1，如图2，易得，由此可得，继而证明为等边三角形，推导可得，再由，可得，问题得证；(3)设点的坐标为，分三种情况：点在点左侧，点在点右侧，点在之间，分别讨论即可得；由的结果即可得.【详解】(1)令，解得或，故，配方得，故；(2)，COAF，OF=OA=1，如图，DD1轴，DD1/CO，即，CF=2，即为等边三角形，AFC=ACF=60，ECF=ACF，CF：DF=OF：FD1=1：2，DF=4，CD=6，又，四边形是平行四边形；(3)设点的坐标为，()当点在点左侧时，因为与相似，则1)，即，(舍)，x2=-11；2)，即，(舍)，；()当点在点右侧时，因为与相似，则3)，即，(舍)，(舍)；4)，即，(舍)，(舍)；()当点在之间时，与相似，则5)，即，(舍)，(舍)；6)，即，(舍)，；综上所述，点的横坐标为，；由可得这样的点P共有3个.【点睛】本题考查的是函数与几何综合题，涉及了等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论并画出符合题意的图形是解题的关键.13如图1，AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：的图象上，点A的横坐标为4，点B的纵坐标为2.(点A在点B的左侧)(1)求点A、B的坐标；(2)将AOB绕点O逆时针旋转90得到AOB，抛物线F2：经过A、B两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、AM，求OAM的面积；(3)如图2，延长OB交抛物线F2于点C，连接AC，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与OAC相似.若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)点A坐标为(4，4)，点B坐标为(1，2)；(2)SOAM8；(3)点D坐标为(4，0)、(8，0)、(0，4)或(0，8)时，以A、O、D为顶点的三角形与OAC相似.【分析】(1)把x4代入解析式，求得点A的坐标，把y=-2代入解析式，根据点B与点A的位置关系即可求得点B的坐标；(2)如图1，过点B作BEx轴于点E，过点B作BGx轴于点G，先求出点A、B的坐标，OAOA，然后利用待定系数法求得抛物线F2解析式为：，对称轴为直线：，设M(6，m)，表示出OM2，AM2，进而根据OA2+AM2OM2，得到(4)2+m2+8m+2036+m2，求得m2，继而求得AM，再根据SOAMOAAM通过计算即可得；(3)在坐标轴上存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与OAC相似，先求得直线OA与x轴夹角为45，再分点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，AOD45，此时AOD不可能与OAC相似，点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，AODOAC135(如图2、图3)，此时再分AODOAC，DOAOAC两种情况分别讨论即可得.【详解】(1)当x4时，点A坐标为(4，4)，当y2时，解得：x11，x26，点A在点B的左侧，点B坐标为(1，2)；(2)如图1，过点B作BEx轴于点E，过点B作BGx轴于点G，BEOOGB90，OE1，BE2，将AOB绕点O逆时针旋转90得到AOB，OBOB，BOB90，BOE+BOGBOE+OBE90，BOGOBE，在BOG与OBE中，BOGOBE(AAS)，OGBE2，BGOE1，点B在第四象限，B(2，1)，同理可求得：A(4，4)，OAOA，抛物线F2：yax2+bx+4经过点A、B，解得：，抛物线F2解析式为：，对称轴为直线：，点M在直线x6上，设M(6，m)，OM262+m2，AM2(64)2+(m+4)2m2+8m+20，点A在以OM为直径的圆上，OAM90，OA2+AM2OM2，(4)2+m2+8m+2036+m2，解得：m2，AM，SOAMOAAM；(3)在坐标轴上存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与OAC相似，B(2，1)，直线OB解析式为yx，解得：(即为点B)，C(8，4)，A(4，4)，ACx轴，AC4，OAC135，AOC45，ACO45，A(4，4)，即直线OA与x轴夹角为45，当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，AOD45，此时AOD不可能与OAC相似，点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，AODOAC135(如图2、图3)，若AODOAC，则，ODAC4，D(4，0)或(0，4)； 若DOAOAC，则，ODOA8，D(8，0)或(0，8)，综上所述，点D坐标为(4，0)、(8，0)、(0，4)或(0，8)时，以A、O、D为顶点的三角形与OAC相似.【点睛】本题考查的是二次函数与几何的综合题，涉及了待定系数法，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想与分类讨论思想的运用.14在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，已知A(1，4)，B(3，0)(1)求抛物线对应的二次函数表达式；(2)探究：如图1，连接OA，作DEOA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；(3)应用：如图2，P(m，n)是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n1，连接PA、PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标提示：若点A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为(，)【答案】(1)yx2+2x3；(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由见解析；(3)点N(，)【分析】(1)函数表达式为：ya(x1)2+4，将点B坐标的坐标代入上式，即可求解；(2)利用同底等高的两个三角形的面积相等，即可求解；(3)由(2)知：点N是PQ的中点，根据C,P点的坐标求出直线PC的解析式，同理求出AC,DQ的解析式，并联立方程求出Q点的坐标，从而即可求N点的坐标【详解】(1)函数表达式为：ya(x1)2+4，将点B坐标的坐标代入上式得：0a(31)2+4，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx2+2x3；(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由：如图1，DEAO，SODASOEA，SODA+SAOMSOEA+SAOM，即：S四边形OMADSOBM，SOMESOBM，S四边形OMADSOBM；(3)设点P(m，n)，nm2+2m+3，而m+n1，解得：m1或4，故点P(4，5)；如图2，故点D作QDAC交PC的延长线于点Q，由(2)知：点N是PQ的中点，设直线PC的解析式为y=kx+b，将点C(1，0)、P(4，5)的坐标代入得：，解得：，所以直线PC的表达式为：yx1，同理可得直线AC的表达式为：y2x+2，直线DQCA，且直线DQ经过点D(0，3)，同理可得直线DQ的表达式为：y2x+3，联立并解得：x，即点Q(，)，点N是PQ的中点，由中点公式得：点N(，)【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形面积的计算等，其中(3)直接利用(2)的结论，即点N是PQ的中点，是本题解题的突破点15如图，在平面直角坐标系中，已知，四点，动点以每秒个单位长度的速度沿运动（不与点、点重合），设运动时间为（秒）（1）求经过、三点的抛物线的解析式；（2）点在（）中的抛物线上，当为的中点时，若，求点的坐标；（3）当在上运动时，如图过点作轴，垂足为，垂足为设矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式，并求出的最大值；（4）点为轴上一点，直线与直线交于点，与轴交于点是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）或；（3）或或或【分析】（1）设函数解析式为yax2+bx+c，将点A（2，2），C（0，2），D（2，0）代入解析式即可；（2）由已知易得点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点，点P的纵坐标是1，则有1，即可求P；（3）设点Q（m，0），直线BC的解析式yx+2，直线AQ的解析式 ，求出点，由勾股定理可得，分三种情况讨论HOK为等腰三角形即可；【详解】解：（1）设函数解析式为c，将点代入解析式可得，；（2），点为的垂直平分线与抛物线的交点，点的纵坐标是，或，或；（3），t，；当时，最大值为；（3）设点，直线的解析式，直线的解析式，时，或；时，或；K时，不成立；综上所述：或或或；【点睛】本题考查二次函数综合；熟练应用待定系数法求函数解析式，掌握三角形全等的性质，直线交点的求法是解题的关键16如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点作轴交抛物线于另一点，作轴，垂足为点.双曲线经过点，连接，.(1)求抛物线的表达式；(2)点，分别是轴，轴上的两点，当以，为顶点的四边形周长最小时，求出点，的坐标；【答案】(1)；(2)；【分析】（1）先求D的坐标，再代入二次函数解析式解析式求解；（2）分别作点，关于轴，轴的对称点，连接交轴，轴于点，.即，F,N，在同同一直线上时，四边形的周长最小，用待定系数法求直线的表达式，再求N,F的坐标；【详解】解：(1)由题意，得点的坐标，.，.点的坐标.将点，分别代人抛物线，得解得抛物线的表达式为.(2)分别作点，关于轴，轴的对称点，连接交轴，轴于点，.由抛物线的表达式可知，顶点的坐标，点的坐标.设直线为，点的坐标，解得直线的表达式为.令，则，解得，点的坐标.令，则，点的坐标.【点睛】考核知识点：二次函数的综合运用.数形结合分析问题是关键.17如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点，满足，过作轴于点，设的内心为，试求的最小值【答案】（1）；（2）点坐标为或或或时，为直角三角形；（3）最小值为.【分析】（1）结合题意，用待定系数法即可求解；（2）分3种情况讨论，用勾股定理即可求解；（3）根据正方形的判定和勾股定理，即可得到答案.【详解】（1）抛物线过点，解得：，这条抛物线对应的函数表达式为.（2）在轴上存在点，使得为直角三角形，顶点，设点坐标为，若，则.，解得：，.若，则，解得：，或.若，则，解得：，.综上所述，点坐标为或或或时，为直角三角形（3）如图，过点作轴于点，于点，于点，轴于点，四边形是矩形，点为的内心，矩形是正方形，设点坐标为，化简得：，配方得：，点与定点的距离为.点在以点为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动，当点在线段上时，最小，最小值为.【点睛】本题考查用待定系数法求二元一次方程、勾股定理和正方形的判定，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求二元一次方程、勾股定理和正方形的判定.18如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：过点C(0，3)，与抛物线L2：的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、抛物线L2上的动点（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分PCR，若OQPR，求出点Q的坐标【答案】（1）抛物线对应的函数表达式为；（2）点的坐标为或或或；（3）点坐标为或.【分析】（1）先求出A点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式便可；（2）设点P的坐标为（x，x22x3），分两种情况讨论：AC为平行四边形的一条边，AC为平行四边形的一条对角线，用x表示出Q点坐标，再把Q点坐标代入抛物线中，列出方程求得解便可；（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分PCR，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作PHTR于点H，设点P坐标为（x1，），点R坐标为（x2，），证明PSCRTC，由相似比得到x1+x24，进而得tanPRH的值，过点Q作QKx轴于点K，设点Q坐标为（m，），由tanQOKtanPRH，移出m的方程，求得m便可【详解】（1）将代入，得，故点的坐标为.将代入，得，解得.所以抛物线对应的函数表达式为.（2）设点的坐标为.第一种情况：为平行四边形的一条边.当点在点右侧时，则点的坐标为.将代入，得，整理得，解得.因为时，点与点重合，不符合题意，所以舍去，此时点的坐标为.当点在点左侧时，则点的坐标为.将代入，得，整理得，解得.此时点的坐标为或.第二种情况：当为平行四边形的一条对角线时.由的中点坐标为，得的中点坐标为，故点的坐标为.将代入，得，整理得，解得.因为时，点与点重合，不符合题意，所以舍去，此时点的坐标为.综上所述，点的坐标为或或或.（3）当点在轴左侧时，抛物线不存在动点使得平分.当点在轴右侧时，不妨设点在的上方，点在的下方，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为，过点作，垂足为，则有.由平分，得，则，故，所以.设点坐标为，点坐标为，所以有，整理得.在中，.过点作轴，垂足为.设点坐标为.若，则需.所以.所以.解得.所以点坐标为或.【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，解直角三角形的应用，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，动点问题探究，突破第（2）题的方法是分情况讨论；突破第（3）的方法是作直角三角形，构造相似三角形，用相似三角形的相似比列方程19如图，抛物线交轴于、两点，其中点坐标为，与轴交于点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图，连接，点在抛物线上，且满足求点的坐标；（3）如图，点为轴下方抛物线上任
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