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第14课时二次函数的图象与性质(二)|夯实基础|1.2019巴中二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图14-8所示,下列结论:b24ac,abc0,a+b+c0,2a+b0,4acb2,a+b+c0时,y随x的增大而减小,其中正确的是()图14-9A.B.C.D.3.2019广安二次函数y=ax2+bx+c(a0)的部分图象如图14-10所示,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=1,下列结论:abc0;b0时,-1x3.其中正确的结论有()图14-10A.1个B.2个C.3个D.4个4.2019随州如图14-11所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OA=OC,对称轴为直线x=1,则下列结论:abc0;ac+b+1=0;2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根.其中正确的有()图14-11A.1个B.2个C.3个D.4个5.2019鄂州二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-12所示,对称轴是直线x=1.下列结论:abc0;(a+c)2-b20;a+bm(am+b)(m为实数).其中结论正确的个数为()图14-12A.1B.2C.3D.46.2019泰州 如图14-13,在平面直角坐标系xOy中,二次函数图象的顶点坐标为(4,-3),该图象与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,其中点A的横坐标为1.(1)求该二次函数的表达式;(2)求tanABC.图14-137.2019大庆如图14-14,在RtABC中,A=90,AB=8 cm,AC=6 cm,若动点D从B出发,沿线段BA运动到点A为止(不考虑D与B,A重合的情况),运动速度为2 cm/s,过点D作DEBC交AC于点E,连接BE,设动点D运动的时间为x(s),AE的长为y(cm).(1)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;(2)当x为何值时,BDE的面积S有最大值?最大值为多少?图14-148.2019孝感 如图14-15,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2-2ax-8a与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,-4).(1)点A的坐标为,点B的坐标为,线段AC的长为,抛物线的解析式为.(2)点P是线段BC下方抛物线上的一个动点.如果在x轴上存在点Q,使得以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点Q的坐标;如图,过点P作PECA交线段BC于点E,过点P作直线x=t交BC于点F,交x轴于点G,记PE=f,求f关于t的函数解析式;当t取m和4-12m(0m0;(2)2a=b;(3)若-72,y1,-32,y2,54,y3是该抛物线上的点,则y1y2y3;(4)3b+2c0;2a+b=0;当m1时,a+bam2+bm;a-b+c0;若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1x2,则x1+x2=2.其中正确的是()图14-18A.B.C.D.12.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a0)中的x与y的部分对应值如下表:x-1013y-1353下列结论:(1)ac1时,y的值随x值的增大而减小;(3)3是关于x的方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根;(4)当-1x0.其中正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个13.2015包头 如图14-19,已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交于点A(-1,0),对称轴为直线x=1,与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间(包括这两点),下列结论:当x3时,y0;3a+b8a.其中正确的结论是()图14-19A.B.C.D.14.2019赤峰如图14-20,直线y=-x+3与x轴,y轴分别交于B,C两点,抛物线y=-x2+bx+c经过点B,C,与x轴另一交点为A,顶点为D.(1)求抛物线的解析式;(2)在x轴上找一点E,使EC+ED的值最小,求EC+ED的最小值;(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得APB=OCB?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.图14-20【参考答案】1.A解析:因为图象与x轴有两个不同的交点,所以b2-4ac0,即b24ac,故正确;:图象开口向下,故a0,因为对称轴为直线x=-1,所以-b2a=-1,所以2a=b,故b0,错误;:a0,b0,所以2a+b-c0,错误;当x=1时,y=a+b+c,由图可得,x=-3时,y0,由对称性可知,当x=1时,y0,即a+b+c0,c0,ac0,故错误;由对称轴可知:-b2a0,故正确;由于抛物线与x轴有两个交点,因此=b2-4ac0,故正确;由图象可知:x=1时,y=a+b+c-b2a时,y随着x的增大而增大,故错误;故选C.3.D解析对称轴位于x轴的右侧,则a,b异号,即ab0.abc0.故正确;抛物线开口向下,a0.抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1,b=-2a,当x=-1时,y=0,a-b+c=0,而b=-2a,c=-3a,b-c=-2a+3a=a0,即b0时,-1x3,故正确.综上所述,正确的结论有4个.故选D.4.C解析抛物线开口向下,a0,抛物线与y轴交点C在y轴正半轴,c0,abc0,即4a+2b+c0,a+12b+14c0,即正确;OA=OC=c,A(-c,0),则ac2+b(-c)+c=0,ac-b+1=0,ac+b+1=ac-b+1+2b=2b0,故错误;A(-c,0),对称轴为直线x=1,B(2+c,0),2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根,故正确.综上所述正确.故选项C正确.5.C解析抛物线开口向上,a0,抛物线的对称轴在y轴右侧,b0,抛物线与y轴交于负半轴,c0,错误;当x=-1时,y0,a-b+c0,-b2a=1,b=-2a,把b=-2a代入a-b+c0中得3a+c0,正确;当x=1时,y0,a+b+c0,a+c0,a+cb,ba+c-b,(a+c)2(-b)2,即(a+c)2-b20,正确;抛物线的对称轴为直线x=1,当x=1时,函数的最小值为a+b+c,a+b+cam2+bm+c,即a+bm(am+b),正确.故选C.6.解:(1)因为二次函数图象的顶点坐标为(4,-3),所以设该二次函数表达式为y=a(x-4)2-3,因为图象与x轴相交于点A,A的坐标为(1,0),把A的坐标代入y=a(x-4)2-3,解得a=13,所以y=13(x-4)2-3.(2)在抛物线中,令x=0,得y=73,所以C0,73,OC=73,令y=0,得x1=1,x2=7,所以B(7,0),OB=7,所以在RtOBC中,tanABC=OCOB=13.7.解:(1)因为DEBC,所以ADE=ABC,因为A=A,所以ADEABC,所以ADAB=AEAC.因为AB=8,BD=2x,所以AD=8-2x,又因为AC=6,所以AE=32(4-x),所以y=32(4-x)=6-32x,0x4.(2)BDE中BD边上的高为AE,所以S=12BDAE=122x32(4-x)=-32(x-2)2+6,所以当x=2时,BDE的面积S有最大值,最大值为6 cm2.8.解析(1)令y=0求得点A,B坐标,再由点C坐标求得抛物线的解析式及线段AC的长;(2)过点C作x轴的平行线交抛物线于点P,通过分类讨论确定点Q坐标;作PHAB交BC于点H,根据EPHCAB得出EP与PH的关系,设出点P坐标(t,yP),再根据P,H纵坐标相等建立方程,用含t的代数式表示EP,将t等于m和4-12m(0m2)代入关于t的解析式,通过求差法比较大小.解:(1)点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(4,0);线段AC的长为25,抛物线的解析式为:y=12x2-x-4.(2)过点C作x轴的平行线交抛物线于点P.点C(0,-4),-4=12x2-x-4,解得x1=2,x2=0,P(2,-4).PC=2,若四边形BCPQ为平行四边形,则BQ=CP=2,OQ=OB+BQ=6,Q(6,0).若四边形BPCQ为平行四边形,则BQ=CP=2,OQ=OB-BQ=2,Q(2,0).故以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时,Q点的坐标为(6,0),(2,0).直线BC经过点B(4,0),C(0,-4),直线BC的解析式为:y=x-4.作PHAB交BC于点H,PECA,EPHCAB,EPAC=PHAB,EP25=PH6,EP=53PH,设点P的坐标为(t,yP),则点H(xH,yP),12t2-t-4=xH-4,xH=12t2-t,EP=53(xP-xH)=53t-12t2-t,f=-56(t2-4t)(0t4),当t=m时,f1=-56(m2-4m),当t=4-12m时,f2=-564-12m2-44-12m=-5614m2-2m,f1-f2=-56(m2-4m)+5614m2-2m=-5634m2-2m=-58mm-83.0m0,f1f2.9.解:(1)由题意知OA=OC=4OB=4,故点A,C的坐标分别为(4,0),(0,-4).(2)设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x-4)=a(x2-3x-4),把(0,-4)代入得-4a=-4,解得:a=1,故抛物线的解析式为:y=x2-3x-4.(3)直线CA过点C,设其函数表达式为:y=kx-4,将点A坐标代入上式并解得:k=1,故直线CA的表达式为:y=x-4,过点P作y轴的平行线交AC于点H,OA=OC=4,OAOC,OAC=OCA=45,PHy轴,PHD=OCA=45,设点P(x,x2-3x-4),则点H(x,x-4),PD=HPsinPHD=22(x-4-x2+3x+4)=-22x2+22x,-220,当x=2时,PD有最大值,其最大值为22,此时点P(2,-6).10.C11.D12.B13.B14.解:(1)直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B,C两点,则点B,C的坐标分别为(3,0),(0,3),将点B,C的坐标代入二次函数表达式得:-9+3b+c=0,c=3,解得:b=2,c=3,故二次函数的表达式为:y=-x2+2x+3.(2)如图,作点C关于x轴的对称点C,连接CD交x轴于点E,连接EC,则此时EC+ED的值最小,易得二次函数图象顶点坐标为(1,4),点C(0,-3),易求得直线CD的表达式为:y=7x-3,当y=0时,x=37,故点E37,0.EC+ED的最小值为CD=12+(4+3)2=52.(3)当点P在x轴上方时,如图,OB=OC=3,OCB=45=APB,过点B作BHAP交AP于H点,则PH=BH,设PH=BH=m,则PB=PA=2m,在RtABH中,由勾股定理得:AB2=BH2+AH2,16=m2+(2m-m)2,解得:m2=4 2(2+1),则PB2=(2m)2=82(2+1),yP=82(2+1)-22=22+2;当点P在x轴下方时,同理求得yP=-(22+2).故点P的坐标为(1,22+2)或(1,-22-2).12
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