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课时训练(二十六) 正方形及中点四边形|夯实基础|1.根据下列条件,能判定一个四边形是正方形的是()A.对角线互相垂直且平分B.对角相等C.对角线互相垂直、平分且相等D.对角线相等2.2018滨州 下列命题,其中是真命题的为()A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的四边形是矩形D.一组邻边相等的矩形是正方形3.2016河北 关于ABCD的叙述,正确的是()A.若ABBC,则ABCD是菱形B.若ACBD,则ABCD是正方形C.若AC=BD,则ABCD是矩形D.若AB=AD,则ABCD是正方形4.2017广安 下列说法:四边相等的四边形一定是菱形;顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形;对角线相等的四边形一定是矩形;经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分.其中正确的个数是()A.4B.3C.2D.15.若顺次连接四边形ABCD四边的中点,得到的图形是一个矩形,则四边形ABCD一定是()A.矩形B.菱形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形6.如图26-5,正方形ABCD的周长为28 cm,点N在对角线BD上,则矩形MNGC的周长是()图26-5A.24 cmB.14 cmC.18 cmD.7 cm7.如图26-6,直线l过正方形ABCD的顶点B,点A,C到直线l的距离分别为1和3,则正方形ABCD的边长是()图26-6A.22B.3C.10D.48.2018天津 如图26-7,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是()图26-7A.ABB.DEC.BDD.AF9.2017枣庄 如图26-8,把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN,再过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,折痕为BE.若AB的长为2,则FM的长为()图26-8A.2B.3C.2D.110.2017泰安 如图26-9,在正方形ABCD中,M为BC上一点,MEAM,ME交AD的延长线于点E.若AB=12,BM=5,则DE的长为()图26-9A.18B.1095C.965D.25311.2018青岛 如图26-10,已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,H为BF的中点,连接GH,则GH的长为.图26-1012.2018德阳 如图26-11,将边长为3的正方形ABCD绕点B逆时针旋转30得到正方形ABCD,那么图中阴影部分的面积为()图26-11A.3B.3C.3-3D.3-3213.正方形的对角线长为2,则正方形的周长为,面积为.14.2017兰州 在平行四边形ABCD中,对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:ABAD,且AB=AD;AB=BD,且ABBD;OB=OC,且OBOC;AB=AD,且AC=BD.其中正确的是(填序号).15.2015无锡 如图26-12,已知矩形ABCD的对角线长为8 cm,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则四边形EFGH的周长等于 cm.图26-1216.2015广安 如图26-13,已知E,F,G,H分别为菱形ABCD四边的中点,AB=6 cm,ABC=60,则四边形EFGH的面积为 cm2.图26-1317.2017宿迁 如图26-14,正方形ABCD的边长为3,点E在边AB上,且BE=1.若点P在对角线BD上移动,则PA+PE的最小值是.图26-1418.2017包头样题二 如图26-15,边长为6的大正方形中有两个小正方形,小正方形的顶点均在大正方形的边或对角线上.若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1与S2的和为.图26-1519.2017常德 如图26-16,正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上,若设AE=x,正方形EFGH的面积为y,则y与x之间的函数关系式为(不必写出自变量的取值范围).图26-1620.2018白银 如图26-17,已知矩形ABCD中,E是AD边上的一个动点,F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.(1)求证:BGFFHC;(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.图26-1721.2018聊城 如图26-18,在正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过点B作BHAE,垂足为H,延长BH交CD于点F,连接AF.(1)求证:AE=BF;(2)若正方形ABCD的边长是5,BE=2,求AF的长.图26-1822.2018潍坊 如图26-19,M是正方形ABCD的边CD上一点,连接AM,作DEAM于点E,BFAM于点F,连接BE.(1)求证:AE=BF;(2)已知AF=2,四边形ABED的面积为24,求EBF的正弦值.图26-1923.2017眉山 如图26-20,E是正方形ABCD的边BC延长线上一点,连接DE,过顶点B作BFDE,垂足为F,BF交AC于点H,交DC于点G.(1)求证:BG=DE;(2)若G为CD的中点,求HGGF的值.图26-20|拓展提升|24.2018包头样题一 如图26-21,已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形,点E在线段DC上,点A,D,G在同一条直线上,且AD=3,DE=1,连接CG,AE,并延长AE交CG于点H,则EH的长为()图26-21A.105B.2105C.355D.5525.2018台州 如图26-22,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在CD,AD上,CE=DF,BE,CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为23,则BCG的周长为.图26-2226.2017青山区一模 如图26-23,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EFAD,与AC,DC分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH.下列结论:EG=DF;AEH+ADH=180;EHFDHC;若AEAB=23,则3SEDH=13SDHC,其中正确的结论是(填序号).图26-2327.2018青山区二模 如图26-24,在正方形ABCD中,BPC是等边三角形,BP,CP的延长线分别交AD于点E,F,连接BD,DP,BD与CF相交于点H,给出下列结论:BE=2AE;DFPBPH;PFDPDB;DP2=PHPC.其中正确的是(填序号).图26-24参考答案1.C2.D3.C4.C解析 根据菱形的判定定理,四边相等的四边形一定是菱形,故正确;由于矩形的对角线相等,根据三角形的中位线定理,可得顺次连接矩形各边中点所得四边形的四条边相等,由此可判定所得四边形是菱形,故错误;对角线相等的平行四边形是矩形,故错误;平行四边形是中心对称图形,根据中心对称图形的性质,经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形,面积当然相等,所以经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分,故正确.综上所述,正确的说法有2个.故选C.5.D6.B7.C8.D解析 如图,取CD的中点E,连接AE,PE.由正方形轴对称的性质可知EP=EP,AF=AE,AP+EP=AP+EP.AP+EPAE,AP+EP的最小值是AE的长,即AP+EP的最小值是AF的长.故选D.9.B解析 四边形ABCD为正方形,AB=2,M,N分别为BC,AD的中点,过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,FB=AB=2,BM=1.在RtBMF中,FM=BF2-BM2=22-12=3,故选B.10.B解析 在RtABM中,根据勾股定理得AM=AB2+BM2=122+52=13,因为四边形ABCD为正方形,所以AD=AB=12.因为MEAM,所以AME=90,所以AME=MBA.因为ADBC,所以EAM=AMB,所以ABMEMA,所以BMAM=AMAE,即513=13AE,所以AE=1695,所以DE=AE-AD=1695-12=1095.11.342解析 四边形ABCD是正方形,AB=AD=BC=CD=5,BAD=D=C=90.又AE=DF,ABEDAF,DAF=ABE,ABE+BAG=DAF+BAG=90,即BGF=90.在RtBCF中,CF=CD-DF=3,BF=52+32=34.在RtBGF中,H为BF的中点,GH=12BF=342.12.C解析 如图,连接AM.由旋转的性质可知1=4=30,2+3=60.在RtABM和RtCBM中,AB=CB,RtABMRtCBM,2=3=30.在RtABM中,AB=3,2=30,AM=tan30AB=1.SABM=SBMC=32,S阴影=S正方形ABCD-(SABM+SBMC)=3-3.13.42214.解析 有一个角是直角的平行四边形是矩形;有一组邻边相等的矩形是正方形,故正确;BD为平行四边形的对角线,AB为平行四边形的其中一条边,所以AB=BD时,平行四边形不可能是正方形,故错误;由OB=OC,得AC=BD,由OBOC得ACBD,ABCD为正方形,故正确;由AB=AD,得ABCD为菱形.又AC=BD,四边形ABCD为正方形,故正确.15.1616.9317.10解析 连接PC.根据正方形的对称性知PA=PC,所以当点C,P,E在同一条直线上时,PA+PE=PC+PE=CE最小,根据勾股定理求得CE=BC2+BE2=32+12=10.18.1719.y=2x2-4x+4解析 由题中条件可知,图中的四个直角三角形是全等三角形,AE=x,则AF=2-x.在RtEAF中,由勾股定理可得EF2=(2-x)2+x2=2x2-4x+4,即正方形EFGH的面积y=2x2-4x+4.20.解:(1)证明:F是BC边的中点,BF=FC.F,G,H分别是BC,BE,CE的中点,GF,FH是BEC的中位线,GF=HC,FH=BG.在BGF和FHC中,BF=FC,BG=FH,GF=HC,BGFFHC(SSS).(2)当四边形EGFH是正方形时,BEC=90,GF=GE=EH=FH.GF,FH是BEC的中位线,BE=CE,BEC是等腰直角三角形.连接EF,则EFBC,EF=12BC=12AD=12a,S矩形ABCD=ADEF=a12a=12a2.21.解:(1)证明:四边形ABCD是正方形,AB=BC,ABC=C=90.BHAE,垂足为H,BAE+ABH=90.CBF+ABH=90,BAE=CBF.在ABE和BCF中,ABE=C=90,AB=BC,BAE=CBF,ABEBCF(ASA),AE=BF.(2)ABEBCF,CF=BE=2.正方形的边长为5,AD=CD=5,DF=CD-CF=5-2=3.在RtADF中,AF=AD2+DF2=52+32=34.22.解:(1)证明:四边形ABCD为正方形,AB=AD,BAD=90,BAE+EAD=90.BFAM,DEAM,DEA=AFB=90,EAD+ADE=90,BAE=ADE.ABFDAE,AE=BF.(2)设EF=x,则AE=x+2,BF=AE=x+2.ABFDAE,S四边形ABED=SBEF+SABF+SDAE=SBEF+2SABF=24,即12x(x+2)+122(x+2)2=24,解得x1=4,x2=-10(舍去),EF=4,BF=6,BE=42+62=213,sinEBF=EFBE=4213=21313.23.解析 (1)要证明BG=DE,只需证明BCGDCE,利用AAS或ASA证明即可;(2)设正方形ABCD的边长为a,先求出BG的长,从而得出CE,DE的长,分别利用ABHCGH和DFGDCE,得到HG和GF的长,从而求出HGGF的值.解:(1)证明:四边形ABCD是正方形,BC=DC,BCD=90,DCE=180-90=90,BCD=DCE,CBG+BGC=90.BFDE,CBG+E=90,BGC=E,BCGDCE,BG=DE.(2)设正方形ABCD的边长为a.G为CD的中点,CG=GD=12a.在RtBCG中,BG=BC2+CG2=a2+a22=52a.BCGDCE,CE=CG=a2,DE=BG=52a.ABDC,ABHCGH,BHGH=ABCG=2,HGBG=13,HG=13BG=1352a=56a.又DFG=DCE=90,FDG=CDE,DFGDCE,GFEC=DGDE,即GF12a=12a52a,解得GF=510a,HGGF=56a510a=53.24.A25.3+15解析 在正方形ABCD中,AB=3,S正方形ABCD=32=9.阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为23,空白部分的面积与正方形ABCD的面积之比为13,S空白=3.四边形ABCD是正方形,BC=CD,BCE=CDF=90.又CE=DF,BCECDF(SAS),CBE=DCF.DCF+BCG=90,CBE+BCG=90,即BGC=90,BCG是直角三角形.易知SBCG=S四边形FGED=32,SBCG=12BGCG=32,BGCG=3.在RtBCG中,根据勾股定理,得BG2+CG2=BC2,即BG2+CG2=9,(BG+CG)2=BG2+2BGCG+CG2=9+23=15,BG+CG=15,BCG的周长=BG+CG+BC=3+15.26.解析 四边形ABCD为正方形,EFAD,EF=AD=DC,ACD=45,GFC=90,GFC为等腰直角三角形,GF=CF,EF-GF=DC-CF,即EG=DF,故正确;CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,FH=CH,EFH=DCH=45.又EF=DC,EHFDHC,故正确;EHFDHC,FEH=CDH,AEH+ADH=AEF+FEH+ADF-CDH=AEF+ADF=180,故正确;AEAB=23,AE=2BE.在EGH和DFH中,EG=DF,EGH=DFH=135,GH=FH,EGHDFH,EH=DH,EHG=DHF,EHD=EHG+AHD=AHD+DHF=AHF=90,EHD是等腰直角三角形.过点H作HMCD于点M,设HM=x,则DM=5x,CD=6x,DH=26x,SEDH=12DH2=13x2,SDHC=12HMCD=3x2,3SEDH=13SDHC,故正确.27.18
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