数学试题分类汇编 考点10 一元二次方程

20182018中考数学试题分类汇编：中考数学试题分类汇编：考点考点10 10 一元二次方程一元二次方程一元二次方程只含有一个未知数（即只含有一个未知数（即“元元”），并且），并且未知数的最高次数为未知数的最高次数为2 2（即（即“次次”）的）的整式方程叫做一元二次方程整式方程叫做一元二次方程. .一元二次方程必须同时满足三个条件：是是整式方程整式方程，即等号两边都是，即等号两边都是整式整式，方程中如，方程中如果有果有分母分母；且；且未知数未知数在分母上，那么这个方程在分母上，那么这个方程就是就是分式方程分式方程，不是一元二次方程，方程中如，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。也不是一元二次方程（是无理方程）。只含有一个未知数；只含有一个未知数；未知数项的最高次数是未知数项的最高次数是2 2。432yx方程形式方程形式一般形式：一般形式：ax+bx+c=0(a0)ax+bx+c=0(a0)其中其中axax是二次项，是二次项，a a是二次项系数；是二次项系数；bxbx是是一次项；一次项；b b是是一次项系数一次项系数；c c是是常数项常数项。使方程左右两边相等的未知数的值就是这使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的也叫做一元二次方程的根根。其他形式：其他形式：ax+bx=0(aax+bx=0(a、b b是是实数实数，a0);a0);ax+c=0(aax+c=0(a、c c是实数，是实数，a0);a0);ax=0(aax=0(a是实数，是实数，a0)a0)。二元一次方程组方程特点方程特点（1 1）为一个等式）为一个等式（2 2）该方程为整式方程。）该方程为整式方程。（3 3）该方程有且只含有一个未知数。）该方程有且只含有一个未知数。（4 4）该方程中未知数的最高次数是）该方程中未知数的最高次数是1 1。（系。（系数化为数化为1 1）（5 5）未知数系数不为）未知数系数不为0.0.满足以上五点的方程，就是一元一次方程满足以上五点的方程，就是一元一次方程。例2下列方程组哪些是二元一次方程组？剖析：错解误以为二元一次方程组中的两个方程一定是二元一次方程，所以没有选（1）（3）正解：（1）（2）（3） 解二元一次方程组 二元一次方程组主要有两种方法求解：二元一次方程组主要有两种方法求解：1.1.二元一次方程组通常是采用加减消元法二元一次方程组通常是采用加减消元法，先求出其中一个未知数，然后代入任意，先求出其中一个未知数，然后代入任意一个方程，求出另外一个未知数。一个方程，求出另外一个未知数。2.2.另外也可以用代入消元法，把其中一个另外也可以用代入消元法，把其中一个方程变形，用一个未知数的代数式表示另方程变形，用一个未知数的代数式表示另外一个未知数，然后代入第二个方程式，外一个未知数，然后代入第二个方程式，变为一元一次方程，就可以求出一个未知变为一元一次方程，就可以求出一个未知数，从而求出另外一个未知数。数，从而求出另外一个未知数。一元二次方程的解法1.1.因式分解法又分因式分解法又分“提公因式法提公因式法”；用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.1.解方程：x+2x+1=0解：利用完全平方公式因式解得：（x+1)=0解得：x=-12.解方程x（x+1）-2（x+1）=0解：利用提公因式法解得：（x-2）（x+1）=0即 x-2=0 或 x+1=0 x1=2，x2=-1变式：（20182018柳州）一元二次方程柳州）一元二次方程x x2 29=09=0的解是的解是 【分析】利用直接开平方法解方程得出即【分析】利用直接开平方法解方程得出即可可【解答】解：【解答】解：x x2 29=09=0，x x2 2=9=9，解得：解得：x x1 1=3=3，x x2 2= =3 3故答案为：故答案为：x x1 1=3=3，x x2 2= =3 3配方法变式：公式法首先要通过首先要通过=b-4acb-4ac的根的判别式来判断一元的根的判别式来判断一元二次方程有几个根二次方程有几个根1.1.当当=b-4ac0b-4ac0b-4ac0时时 x x有两个不相同的实数根有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于当判断完成后，若方程有根可根属于2 2、3 3两种情两种情况方程有根则可根据公式况方程有根则可根据公式来求得方程的根来求得方程的根（2018绍兴） 解方程：x22x1=0根与系数的关系1在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式2若一元二次方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是x1，x2，则x1x2_，x1x2_.注意注意：（1） （2） ； 222121212()2xxxxxx22121212()()4xxxxxx2121212()4xxxxxx（2018宜宾）一元二次方程x22x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（） A2B1 C2D0【分析】根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解【解答】解：一元二次方程x22x=0的两根分别为x1和x2，x1x2=0变式定义新运算（20182018十堰）对于实数十堰）对于实数a a，b b，定义运算，定义运算“”“”如下：如下：abab=a=a2 2abab，例如，例如，53=553=52 25 53=103=10若（若（x+1x+1）（x x2 2）=6=6，则，则x x的值为的值为 【分析】根据题意列出方程，解方程即可【分析】根据题意列出方程，解方程即可【解答】解：由题意得，（【解答】解：由题意得，（x+1x+1）2 2（x+1x+1）（）（x x2 2）=6=6，整理得，整理得，3x+3=63x+3=6，解得，解得，x=1x=1，一元二次方程与实际问题1.（握手问题）（20182018绵阳）在一次酒会上，每两人都绵阳）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯只碰一次杯，如果一共碰杯5555次，则参加酒会的人数为次，则参加酒会的人数为（）（）A A9 9人人B B1010人人C C1111人人D D1212人人【分析】设参加酒会的人数为【分析】设参加酒会的人数为x x人，根据每两人只碰一次人，根据每两人只碰一次杯且一共碰杯杯且一共碰杯5555次，即可得出关于次，即可得出关于x x的一元二次方程，的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论解之取其正值即可得出结论【解答】解：设参加酒会的人数为【解答】解：设参加酒会的人数为x x人，人，根据题意得：根据题意得： x x（x x1 1）=55=55，整理，得：整理，得：x x2 2x x110=0110=0，解得：解得：x x1 1=11=11，x x2 2= =1010（不合题意，舍去）（不合题意，舍去）答：参加酒会的人数为答：参加酒会的人数为1111人人2.2.增长率问题增长率问题（20182018宜宾）某市从宜宾）某市从20172017年开始大力发展年开始大力发展“竹文化竹文化”旅游产业旅游产业据统计，该市据统计，该市20172017年年“竹文化竹文化”旅游收入约为旅游收入约为2 2亿元预计亿元预计2019“2019“竹文化竹文化”旅游收入达到旅游收入达到2.882.88亿元，据此估计该市亿元，据此估计该市20182018年年、20192019年年“竹文化竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）旅游收入的年平均增长率约为（）A A2%2%B B4.4%4.4%C C20%20%D D44%44%【分析】设该市【分析】设该市20182018年、年、20192019年年“竹文化竹文化”旅游收入的年平均旅游收入的年平均增长率为增长率为x x，根据，根据20172017年及年及20192019年年“竹文化竹文化”旅游收入总额，即旅游收入总额，即可得出关于可得出关于x x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解答】解：设该市【解答】解：设该市20182018年、年、20192019年年“竹文化竹文化”旅游收入的年旅游收入的年平均增长率为平均增长率为x x，根据题意得：根据题意得：2 2（1+x1+x）2 2=2.88=2.88，解得：解得：x x1 1=0.2=20%=0.2=20%，x x2 2= =2.22.2（不合题意，舍去）（不合题意，舍去）答：该市答：该市20182018年、年、20192019年年“竹文化竹文化”旅游收入的年平均增长率旅游收入的年平均增长率约为约为20%20%3.3.利润问题【分析】利用增长后的量【分析】利用增长后的量= =增长前的量（增长前的量（1+1+增长率），设平均每次增长的百分率为增长率），设平均每次增长的百分率为x x，根据，根据“从从8080吨增加到吨增加到100100吨吨”，即可得出，即可得出方程方程【解答】解：由题意知，蔬菜产量的年平【解答】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为均增长率为x x，根据根据20162016年蔬菜产量为年蔬菜产量为8080吨，则吨，则20172017年蔬年蔬菜产量为菜产量为8080（1+x1+x）吨）吨，20182018年蔬菜产量为年蔬菜产量为8080（1+x1+x）（）（1+x1+x）吨）吨，预计，预计20182018年蔬菜产量达到年蔬菜产量达到100100吨，吨，即：即：8080（1+x1+x）（）（1+x1+x）=100=100或或8080（1+x1+x）2 2=100=100其他题型1.1.（20182018荆门）已知荆门）已知x=2x=2是关于是关于x x的一元二次的一元二次方程方程kxkx2 2+ +（k k2 22 2）x+2k+4=0 x+2k+4=0的一个根，则的一个根，则k k的值为的值为 【分析】把【分析】把x=2x=2代入代入kxkx2 2+ +（k k2 22 2）x+2k+4=0 x+2k+4=0得得4k+2k4k+2k2 24+2k+4=04+2k+4=0，再解关于，再解关于k k的方程，的方程，然后根据一元二次方程的定义确定然后根据一元二次方程的定义确定k k的值的值【解答】解：把【解答】解：把x=2x=2代入代入kxkx2 2+ +（k k2 22 2）x+2k+4=0 x+2k+4=0得得4k+2k4k+2k2 24+2k+4=04+2k+4=0，整理得整理得k k2 2+3k=0+3k=0，解得，解得k k1 1=0=0，k k2 2= =3 3，因为因为k k0 0，所以所以k k的值为的值为3 3