高一数学高一平面向量习题课

会计学1高一数学高一平面向量习题课高一数学高一平面向量习题课第1页/共63页数量积的定义：数量积的定义：a b |cosa b”一定不要省略！、“、，)3(, 0)2(00) 1 (baba ,第2页/共63页:Notice10,0234coscos5 000babRaa 、 a、0、 a， b、（非零（非零）（夹角范围（夹角范围）（数量！积（数量！积）（投影也是数（投影也是数量）量）（零向量特殊（零向量特殊）第3页/共63页 1)0、 baba 2)02、 0ba 3)2、 0ba4)2、 0ba 5)、 baba)6bababa，、最大最大最小最小正负在此分界正负在此分界第4页/共63页 1)0、 baba 3)2、 0ba 5)、 baba两个向量互相垂直两个向量方向相反两个向量方向相同第5页/共63页0) 1baba22220cos)2aaaaaaa，bababababa,cos) 4) 3:Noticeababab,cosbbabaa,cos反之？第6页/共63页(1)a bb a (交换律）交换律）（实数与向量结合律）（实数与向量结合律）（分配律）)()()(2(bababacbcacba )(3(第7页/共63页22222222222(1).(2) ()(3) ()2(4) () ()(5)6()()7(8)(9)00aaa bababaa bbabababa bba b ca b caaa bacbcbca baca ba 判断：. （ ）.（ ） 或b=0 第8页/共63页bababaP，求的夹角与，已知例0110412045222222105)()()2(2)() 1 (babababbaabaP、例）（）求（，的夹角为与，已知例babababaP32604603105互相垂直？与向量为何值时，不共线，与，已知例bkabkakbabaP434105第9页/共63页00008660.ABCABAC00ABC.6,45 90 110635.123qp qp qaba ba baa eae 已知 p， ，求已知三角形中，当或时，试判断三角形的形状已知， e为单位向量，当之间的夹角 分别等于， ，时，画图表示在 方向上的投课本页练习：、影，并求其值、第10页/共63页?)()() 3(),(),()2(?) 1 (221122221111jyixjyixbayxjyixbyxjyixaijjijjii、填空：第11页/共63页11221212222211221212121222221122( ,)(,)(1)(2)(3)00(4)cosax ybxya bx xy yaxybxyaba bx xy yx xy ya baba bxyxy 已知两个非坐标表示：零向量，第12页/共63页1065P例（判断三角形形状，先画图直观判断，再用数量积计算验证）1076Pa bab例（用夹角余弦公式的准备工作为：一求；二求；三求；四代公式）第13页/共63页2( 3,4)(5,2),cos(2,3)( 2,4),( 1, 2),) (10712)()aba b a babca bababa bc 已知，求， ， ，已知，求，（， ，(a课+本页习：、b、)练第14页/共63页121212121212121212,0012,e eeee eeeaebeab 若不共线，则若不共线基本定理中两个结论：且、，则、第15页/共63页第16页/共63页133332B2ABCBCaCAbABca bb cc aABCD 等边三角形的边长为 ，1、(课本120- -1-，那么等于（ ）、)、(7 )ABC第17页/共63页 边长为 2的正方形中，设AB=c， BC=aAC=b，则a b+b c变式训a练+c：等于？ABC24 AC=ABBCb=c+a， aca b+b c+a cb第18页/共63页(10)(11)ababa已知，为何2值时，与、垂直？34)()ababab变式已知，且向量（与互相垂直，则训实数练：？第19页/共63页121212B,602;32e eaeebee 若是夹角为的两个单位3、(课本119向- -1-(量，则的4)夹角为（）.30A.60B.120C.150D第20页/共63页344ab 已知，且(a+2b) (2a-b) 4，求a与b夹角 的范围？、（基础训练47页-3题）223,4916321836cos3236cos144abab 222因为，所以a， b所以(a+2b)(2a-b)=2aa bb解：1cos2003所以又因为，所以，第21页/共63页12016, ,1,1,3,)a b cabcabc若向量两两所成的角相5、课本页（等，且则）等于(：.2A.5B.25C 或. 25D或ABCO002222,1200()222a ba cb cabcabcabca ba cb c 或第22页/共63页变式训练：5916, ,abc0.a b c （同步作业页题）已知长度相等的三个非零向量满足，求每两个向量之间的夹角ABCO第23页/共63页222222)()(cbabacbacbacba，2222222002cos,2cos,1cos,2,120,120aba ba bcaaaa baa ba ba ba cb c ，同理：, ,abc0.a b c 已知长度相等的三个非零向量满足，求每两个向量之间的夹角第24页/共63页2.120ababab 已知向量 ， 为非零向量，求证：ab，并解释其几课页：何意义本3.120a babab 已知向量 + =c,=d,求证：cd，并解释其几课页何意义本矩形对角线相等菱形对角线相互垂直第25页/共63页第26页/共63页6OAOBOBOCOCOAABCOABC 课本在三角形中，若，那么点 在的什么位置？、(1208）222227OABCOBACOCABABCOABC 2在三角形中，若，那么点 在的、什么位置？第27页/共63页0| |aba ba ba b 09135OA OCOA OCOAOBOCABC 0在三角形中，若，那么ABC45 或=？、1230| | |1231231 2 38OPOPOPOPOPOPOPOPOPP P P ，(课本120-5，满足条件，判断三角形的形状？)已、知向量第28页/共63页OABCOABCC第29页/共63页10ABCOPOAOBOCPABCBD ，则 是的（）设O是的外心，平面上一点P满足：A、外心、内心C、垂心、重心| | | |()()aba ba b第30页/共63页OAOBOCOAOBOAOBOPOAOBOCOPOCOAOBCPOAOBCPOAOBCPOAOBCPBA 因为：（） （）因为所以即即）所以）（同理APBCBPAC第31页/共63页222222222OABCOA OB=OB OCOA OCOABCOBACOCABOABCOAOB = OCOAOBOCOAB2COAOB3 为三角形的垂心为三角形的三角形四心的向量表示：1、外心为三角形的重心、AOBBOCAOCOC0SSSOABCC04OAOBOBCACAB 为三内心、角形的第32页/共63页DCBAFETRDCBA2222ACBD2 ABBC（）ARRTTC第33页/共63页A34B,2PABPAPBP 已知点 （ ， ）， （-1 ），基础训练53点 在直线上，且=2-6题则点：的坐标为？P(x,y)PAPA2 PBPA2PBPA2PB1 PA2PBPA2PB 设点，则=(3-x,-4-y)PB=（-1-x，2-y）因为所以或（）时：（ ）解2时：第34页/共63页DCFEBAMNBC1212ABabCDaADABBCCDab ， 111AE24213()2411341()2ADabEFABDCaEMEFaAMAEEMab 课本课本120页页-4题题第35页/共63页SNBOMA1OA()21()2MN22OSOMaOBOSONbONOMba 下式减上式得：课本课本120页页-6题题第36页/共63页课本课本119页页- 14题题ABCD2F F1FE122121222111222F40NF70NF100NFFFFFF2 FF cosF407024070 cos100cos0.625 ，（）RTCEDCDE=DE=40cos=25AE=7025=95RTCEAE951910020AAC在中 ：在中 ：cos=第37页/共63页A4,0B4,4C2,6444.ACOBP如图所示，已知 （）（基础训练：）， （）求与的交点页的坐标题CyxOABPyxDABCPABCDEABFBC6BFFC=2:1AFECPAPCD.413已知为边长为6的正方形， 为的中点，为的三等分点，：，与相交于点 ，求同步作业： 页四边形的面积题第38页/共63页493用向量方法证明：三角形的三条高线交于一点.（以锐角基础训练： 页题三角形为例）ABCCGCGM三角形为锐角三角形，三边上的高依次为AE、BF、AE、BF、三线共点用向量方法证明：三角形的三条高线交于一点.（以锐角三已知：求证：角形为例）BFCGMAB=a, AC=b, AM=hBMhaCMhbBCbaBMACha b0CMABhb a0h aa bh bh b ahb aAM 设与交于点则， ，因为所以，因为所以，所以所以 （ - ）=0,即（ -证）即明：BCAEBC.，即所以三线共点第39页/共63页OABOAOBMNOMOA:3 ONOBANBMOAOB.ababOP 在三角形的边，上分别取点， ，使|：|=1 ,|：|=1:4,设线段与交于点P,记， 用报纸五期：最后一， 表示向量题OABNMPOA=a, OB=b, OP=h1OMa31ONb41ANab41BMa b31PNbhAN41PMahBM3mn 设则， +，- ，证明：第40页/共63页ABCOAOBPQOP=hOAOQ=kOB113hGGk 如图已知 为的重心，过点的直线与，分别交于点 和点 ，求证式：变：OABPMG Q1OMOAOB2211OGOMOAOB333GQOGOPOQ1OGOP1OQOA1OB11OAOB3311133Phh 解（）因为、三点共线，所以，其中所以（）（）k所以,（）k=：第41页/共63页Cauchy不等式专题：222221, , ,)()8(0)3a b c dRacbdabcd证明：对于任意的，恒课本页第 题：有不等式（2222( , ),( , )cos,a b nc dabcdm nacbdm nm n 22证令m则，（） （m n：）明2222222,)()()m nacbdabcd 2（）mn所以（第42页/共63页2()(cossin )| 4|1.amn bmnRaba b已知向量， ，其中 ， ，若，则当恒成立时，求 的变取值范围、222324bxyaxby2已知a，求变 、的取值范围？2222)()()3bxyaxbyaybx2若(a求证：变 、第43页/共63页课本113页-A-1题轨迹专题：10:26RRAAP.Al yxlP 已知点（， ），直线，点 是直线 上的一点，若=2求点 的轨迹方程R(m,n),AAP1RAAP22R32P xyxyxyxnylx 设点（ ， ）,由（1,0）得=（， ）所以=2=（2，2 ）=(1-m,-n),所以m=3-2 ，又因为 在直线 上，所以-2y=2()-6即y=2x,所以点P的轨迹方解：程为y=2x相关点代入法！相关点代入法！第44页/共63页A,1B,3OCOAOBR1OC 平面直角坐标系中，点 为坐标原点，变式训已知两点 （3 ）（-1 ）,若点C满足=+，其中 、，且 +，则点 的轨练：迹方程为？C(x,y)1OCOA1OB 设因为，（）（x,y）=（4 -1，-2 +3）所以x解：+2y=5第45页/共63页课本113页-B-3题( , ),P, sincosBAPABx yABAxxy 已知对任意平面向量把绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量（ cos -ysin）叫做把点 绕点 逆时针方向旋转 角得到点 .22A,2B,22 2BAPP4C34C.xy(1)（2已知平面内点 （1 ），点 （1+ 2）把点绕点 顺时针方向旋转后得到点 ，求点 的坐标；设平面内曲线 上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到的点的轨迹是曲线，求原来曲线 的方程）第46页/共63页1AB.APP （）由题意知：（ 2，-2 2）顺时针方向旋转，4等价于逆时针方向旋转-42cos(-)+2 2sin(-)44=-12sin(-)-2 2cos(-)44=-3所以（-1,-3）所以点 （0解：，-1）2222CCC, sincos444422Cx-yx+y22322x-yx+y 2231.5C1.5xxyxyxyyx *2（ ）设曲线 上任意一点（x,y）,则（ cos-ysin）即 （）， （）在曲线上，所以（）（）即所以曲线 的方程为：第47页/共63页已知两点已知两点M（2，0）、）、N（2，0），点），点P为为坐标平面内的动点，满足坐标平面内的动点，满足则动点则动点P（x，y）的轨迹方程为）的轨迹方程为（A）y2 = 8x （B）y2 = -8x（C）y2 = 4x （D）y2 = -4x江苏江苏| |0MNMPMNNP 第48页/共63页1,21012(2, 1),1.abba bab c 已知向量 与 同向，（），（）求向量 的坐标；（ ）若c求（） a补的值：105102,42000,0aba bab cb c a （）设 =（ ，2 ）其中，则，所以，所以（2 ）（ ）由题意知所以（解：）第49页/共63页OB2,0OC2,2 已知向量（）， =（2 ）CA（ cos ， sin ），则OA与OB夹角的范补 ：围是（ ）55 ， ， 125， ， 12 1212 第50页/共63页OxyCBAACCOA 0因为 为定值，且为定点，所以动点在以为圆心， 为半径的圆上，如图： 角=30第51页/共63页cos ,sinQ(cos, i3s n)PPQ 已知点（），则的最大值为补 ：（ ）1231212323OF FFF1 F2 FF23F2 F.4F 如图，作用于同一点 的三个力 、处于平衡状态，已知，与的夹角为，求：（1）的大小；（ ） 与补的夹角：F1F2F3O23第52页/共63页OAB0()PABAPAB(01),OA OPaaat 基础训练53-设点 为原点，点 ， 的坐标分别为（ ， ）， 0,其中 是正的常数，1点 在线段上，且=t则的最4题：大值为？22minOP OA APOAAB(1)OAOBOAOBOA OP(1)01OA OPtttt ata =+因为所以又解因为所以：OxyBAP第53页/共63页22222|400bb111给出下列四个命题：1、长度相等、方向不同的向量叫做相反向量；2、平面内有三个向量，其中任何一个向量都可以用其他两个向量表示；3、若a ，则存在唯一的实数 ，使b= a、已知向量基础训练55-4题：a与 不共线，若有实数 ，使a，则其中正确的命题是（ ）第54页/共63页5315541756165618基础训练页第题基础训练页第题基础训练页第作题基础训练页第业：题第55页/共63页第56页/共63页第57页/共63页第58页/共63页OxyABA(cos ,sin ),B(cos ,sin )= AOB= -OA OBcosAOB=OA OBOA OBcoscossinsincos()coscossinsin 所以：课本108页-B-2题cos()coscossinsin第59页/共63页cos(-)=coscos+sinsin.证明三角公式证明三角公式【公式公式】 差角余弦公式C-【证明证明】 如图的单位圆所示，角和的终边交单位圆于A（cos, sin）和 B（cos, sin）向量 的夹角为-，由夹角公式cos(-) = OBOA 与sinsincoscos|2121OBOAyyxx即 sinsincoscos)cos(第60页/共63页cos()cos()coscos()sinsin()coscossinsin sin()cos()2cos()2cos()cossin()sin22sincoscossin第61页/共63页sin()sin()sincos()cossin()sincoscossin tan ()?tan ()?co s 2?sin 2?tan 2?cos()?cos()?sin()?sin()?tan()?tan()?cos 2?sin 2?tan 2?第62页/共63页