工程电磁场导论：第0章 矢量分析

第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析标量场和矢量场标量场的梯度矢量场的通量与散度矢量场的环量与旋度无源场与无旋场第0章 矢量分析下 页返 回Vector Analysis电磁场的特殊形式微分算子及矢量运算亥姆霍兹定理第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.1.1 场的概念 如果在空间的某区域中，每一点都存在一个确定的物理量，我们就说，此区域中存在由此物理量构成的场，此物理量称为场量，该区域称为场域。 如果这个物理量是标量，称为标量场；若为矢量，称为矢量场。 按场中物理量是否随时间变化，又可分为静态场（恒定场）和时变场（动态场）。0.1 标量场和矢量场Scalar Field and Vector Field下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.1.2 场的描述 表示场量空间和时间分布特性的函数称为场函数。记为 或 。例如，在直角坐标下：)2() 1( 45),(222zyxzyx 标量场zyxxyzzxxyzyxeee222),(A矢量场如温度场、电位场、高度场等；如流速场、电场、涡流场等。下 页上 页返 回),(trA),(tr第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析const),( zyxh其方程为:图0.1.1 等高线 标量场-等值线(面)形象描绘场分布的工具场线（图）思考在某一高度上沿什么方向高度变化最快？下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析zAyAxAzyxddd三维场二维场yAxAyxdd图0.1.2 矢量线矢量场-矢量线0dlA其方程为：在直角坐标下：下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.2 标量场的梯度 Gradient of Scalar Field 研究一个标量场，不仅要掌握物理量 在空间的分布情况，更为重要的是要知道它的变化规律以及与其它物理量之间的相互关系。本节将介绍标量场的方向导数和梯度。0.2.1 方向导数 标量场 的分布情况，可借助于等值面或等值线来了解，但这只能大致地了解标量场 的整体分布情况。而要详细地研究标量场，还必须对它作局部性的下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析了解，即要考察物理量在场中各点处的邻域内沿每一方向的变化情况。为此，引入方向导数的概念。 数学上，标量函数 (P)从点P0 沿路径 l 变到点 P 的变化率称为方向导数，记作 ，即l coscoscoszyxleeee 式中 , , 分别是任一方向 与 x, y, z 轴的夹角,l 方向的单位矢量可以表示为l下 页上 页返 回coscoscoszyxl第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.2.2 梯度方向导数解决了标量场中 (P)在给定点处沿某一方向l 的变化率问题。但是，函数 (P)从给定点出发有无穷多个变化方向，其中哪个方向的变化率最大？最大变化率是多少？以下从方向导数的计算公式出发来讨论此问题。 设下 页上 页返 回),cos(|llleggeg则有：zyxzyxeeeg第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析上式表明：l与g 方向一致时,方向导数取最大值, 增加得最快；l与g 方向相反时,方向导数取最小值,减小得最快；l 与g 方向垂直时,方向导数为0。定义矢量函数g为标量场的梯度，记作grad 。在直角坐标系中，下 页上 页返 回zyxzyxeeegrad梯度(gradient)第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析哈密顿算子式中图0.1.3 等温线分布梯度的方向为该点最大方向导数的方向。梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即最大方向导数。标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。梯度的意义下 页上 页返 回zyxzyxeee第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析例 0.2.1 三维高度场的梯度图0.2.1 三维高度场的梯度高度场的梯度与过该点的等高线垂直；数值等于该点位移的最大变化率；指向地势升高的方向。下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析例 0.2.2 电位场的梯度图0.2.2 电位场的梯度电位场的梯度与过该点的等位线垂直；数值等于该点的最大方向导数；指向电位增加的方向。下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.3 矢量场的通量与散度0.3.1 通量 ( Flux )1.面元矢量一个曲面有两侧，对于非闭合曲面（开曲面），可以规定其中一侧为正侧；对于闭合曲面，则是规定其外侧为正侧。规定了正侧的曲面为有向曲面。 称为面元矢量。Flux and Divergence of Vector Field下 页上 页返 回SddnS第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析2.通量 矢量E 沿有向曲面 S 的面积分SE dS若 S 为闭合曲面 根据通量的大小判断闭合面中源的性质：SSE d 0 (有正源) = 0 (无源)图0.3.2 矢量场通量的性质 下 页上 页返 回图0.3.1 矢量场的通量 SE ddE称为 穿过 的通量Sd 0,则该点有发出通量线的正源，若divA0,则该点有发出通量线的负源，若divA=0,则该点无源。如下图所示。 下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 2.表达式 根据散度的定义，divA描述的是一点的值，与体积元V形状无关，在取零极限时，所有尺寸都趋于零，在推导散度的表达式时，采用直角坐标系，体积元取平行六面体元，可得：散度 (divergence)zAyAxAzyxAAdiv下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析3.散度的意义 在矢量场中，若 A= 0，称之为有源场， 称为 ( 通量 ) 源密度；若矢量场中处处 A=0 ，称之为无源场。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；散度代表矢量场的通量源的分布特性。 (无源）0 A (正源) A (负源) A图0.3.3 通量的物理意义 下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.3.3 散度定理 ( Divergence Theorem ) A图0.3.4 散度定理 通量元密度 高斯公式VSVASA d d矢量函数的面积分与体积分的相互转换。VSdV Vlimd1nn0VnnAASA 下 页上 页返 回SVVdSA10lim第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.4 矢量场的环量与旋度0.4.1 环量 ( Circulation ) 矢量 A 沿空间有向闭合曲线 L 的线积分环量LlAd 环量的大小与闭合路径L及沿L的积分正方向（通常为逆时针）有关，它表示绕环线旋转趋势的大小。Circulation and Rotation of Vector Field下 页上 页返 回图0.4.1 环量的计算第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 矢量场的环量与通量一样，是描述矢量场特性的重要积分量。我们已知，若矢量场通过闭合曲面的通量不为零，表示该闭合面内存在通量源。而如果矢量场沿某闭合曲线的环量不为零，则此矢量场中必有产生场的旋涡源。下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析水流沿平行于水管轴线方向流动，= 0，无涡旋运动。例：流速场图0.4.2 流速场流体做涡旋运动， 0，有产生涡旋的源。下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.4.2 旋度 ( Rotation )1. 环量密度 过点 P 作一微小曲面 S，它的边界曲线记为L，面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当 S 点 P 时，存在极限LSSSl d1limdd0环量密度环量密度是单位面积上的环量。下 页上 页返 回 矢量场的环量是一个积分量，它不能说明矢量场中的旋涡源在每点上的大小和方向。为此，我们先引入矢量场在任一点处的某方向上的环量面密度的概念，再讨论矢量场的旋度。第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析2. 旋度 旋度是一个矢量，其大小等于环量密度的最大值；其方向为最大环量密度的方向AArot 旋度(curl)zyxzyxAAAzyxeeeAn) (ddeA Sne S 的法线方向它与环量密度的关系为在直角坐标下:下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析3. 旋度的物理意义矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其方向是最大环量密度的方向。在矢量场中，若 A=J 0 称之为旋度场（或涡旋场），J 称为旋度源（或涡旋源）。若矢量场处处 A= 0 ，称之为无旋场。下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析4. 斯托克斯定理 ( Stockes Theorem )矢量函数的线积分与面积分的相互转化。图 0.4.3 斯托克斯定理n)(ddeA SSAeAd)(d)(dnSSA)lAd(dSl斯托克斯定理下 页上 页 在电磁场理论中，高斯定理和斯托克斯定理是 两个非常重要的公式。返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.5 无散场与无旋场Solenoidal Field and Irrotational (Conservative) Field下 页上 页返 回 任何一个场必然有源来激发它，场和源是同时存在的。矢量场的散度对应着一种源，称为通量源；矢量场的旋度对应着另一种源，称为旋涡源。0.5.1 无散场（必有旋） 设有矢量场A , 如果在场域中每一点处恒有： ， A称为无散场。 无散场具有两个重要性质。 性质1 0SdSA0 A第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析下 页上 页返 回性质2 数学上有恒等式 可令 , 称为 的矢势。0.5.2 无旋场（必有散） 设有矢量场A , 如果在场域中每一点处恒有： A称为无旋场。 无旋场具有两个重要性质。性质1 性质2 数学上有恒等式 可令 , 称为 的标势。 0(F)FAFA0AL0dlA0()AA第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析下 页上 页返 回0.5.3 调和场 设有矢量场A , 如果在场域中每一点处恒有： A称为调和场。 0A0 A第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.6 亥姆霍兹定理0.6.1 亥姆霍兹定理内容 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度场域边界条件（矢量 A 惟一地确定）电荷密度电流密度J 场域边界条件在电磁场中Hymherze Theorem下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.6.2 场方程 矢量场A的场方程决定了场的性质，为： 亥姆霍兹定理是研究电磁场理论的一条主线。无论是静态场还是时变场，都是围绕着它们的旋度、散度和边界条件展开理论分析的。 下 页上 页返 回JA A第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析例 0.6.1 试判断下列各图中矢量场的性质。FF00FF00FF00下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.7 特殊形式的电磁场 如果在经过某一轴线( 设为 z 轴）的一族平行平面上，场 F 的分布都相同，即 F= f（x,y），则称这个场为平行平面场。1. 平行平面场Special Forms of Electromagnetic Field如无限长直导线产生的电场。下 页上 页返 回0第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 如果在经过某一轴线 ( 设为 z 轴 )的一族子午面上，场 F 的分布都相同，即 F=f（r,），则称这个场为轴对称场。2. 轴对称场 如螺线管线圈产生的磁场；有限长直带电导线产生的电场。下 页上 页返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析3. 球面对称场 如果在一族同心球面上（设球心在原点），场 F 的分布都相同 ，即 F= f（r），则称这个场为球面对称场。 如点电荷产生的电场；带电球体产生的电场。上 页0返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 0.8 微分算子及矢量运算Differential Operator and Vector Operation 0.8.1 微分算子在直角坐标系中，哈密顿算子梯度 散度 下 页上 页返 回zyxzyxeeezyxzyxeeezAyAxAzyx A第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 页上 页返 回旋度拉普拉斯算子)()()(yAxAxAzAzAyAAAAzyxxyzzxyyzxzyxzyxeeeeeeA2222222zyx第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 （1） (2) (3) (4) 下 页上 页返 回0.8.2 矢量运算R)(RRR)(例 0.8.1 计算 图0.8.1 zzyyxxRzyxzyxRzyxzyxeeeRerrReeereeer场点源点位置矢量单位矢量常矢量第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 页上 页返 回(1)zyxzzyyxxeeeR)()()(3zRyRxRzyxR (2)0)()()(zzyyxxzyxzyxeeeR第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 页上 页返 回(3)eeeeeeRzRyRxRRRRzyxzzzyyyxxxzzyyxxzyx)()( 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 页上 页返 回(4)eeeeeeRzzyyxxzyxzzyyxxzfyfxfRRR)()( 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 页上 页返 回例 0.8.2 证明RRRR（1） (2) (3) (4) (5)23)1()1(RRRRReR0)(3RR0)(3RR)(4)1(2rrR第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 页上 页返 回（1）21222)()()(zzyyxxRzRyRxRRzyxeeezRyRxRRzyxeee可证（1）。第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 页上 页返 回（2）212221)()()(zzyyxxRzRyRxRRzyx1111eeezRyRxRRzyx1111eee可证（2）。第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 页上 页返 回（3） (4)0)1()(3RRR232223)()()(zzyyxxR0)()()()(3333RzzzRyyyRxxxRR第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 页上 页返 回（5）当 时，用直接微分法，有rr 01)1(32RRRR当 时，不能直接计算。取以 为球心，R为半径，作球面S, 所围的体积为 ，将等式两边作体积分，有rr r4ddd1d1d1332 SRssRRRRRRSeSRS第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 页上 页返 回（5）式得证。4d)(4rr第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析作 业00 A zzyyxxzyxzyxAAAzyxzyxzyxeeeAeeereeer),(1）2）式中：1、试证明下列各题:上 页返 回2、重做例题0.8.1和例题0.8.2第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析第0章小测验1、写出梯度写出梯度 在直角在直角 坐标系中的表达式。坐标系中的表达式。2、标量场、标量场 在点在点 处沿哪个方向的处沿哪个方向的方向导数最大？这个最大值是多少？方向导数最大？这个最大值是多少？3、求、求 在给定点处的值。在给定点处的值。 在点在点 处。处。AA 旋度旋度散度散度, 32yzx )1, 1 , 2( MzyxezxyexeA224 )3 , 1 , 1(MA