22——从两节课的对比反思数学课堂教学

从两节课的对比反思数学课堂教学 进入2006 年，新课程改革进行的如火如荼，新课程的基本理念已在学校、社会得到广泛的传播和积极的实践。作为站在教学第一线的教师，是新课程改革的主要力量，更应该积极的探索研究。新课程改革的一个重点就是倡导积极主动、勇于探索的学习方式，普通高中课程标准在教学建议中指出，针对不同的教学内容，可采用不同的学习方式，鼓励学生积极参与，帮助学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。本学期我在讲授人教版数学（选修21）圆锥曲线与方程一章时，就经历了不同的教学过程，分别在两个平行班上课，却有完全不同的教学效果, 同样一道例题遭遇了完全不同的“命运”。其中有些问题值得我们深思。在甲班上课时，我首先给出例题. (人教版数学选修21第55页的探究)点A，B 的坐标分别是（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，试求点M的轨迹方程，并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状。 以下是发生在甲班的教学过程:首先，我给出题目后，让学生思考几分钟，然后巡堂，看学生的解答情况，由于甲班学生基础较薄弱，课堂气氛一直以来都不活跃，比较沉闷，学生也习惯于“老师满堂讲，我就拼命记”。当我回到讲台，提问学生的解答情况时，只有几声的应答，看来，只好我自己讲了。当然，我不会一下子就把解题过程全盘托出，把学生当作“复印机”，这也不符合新课标的精神。于是，我和学生一起复习了求轨迹方程的几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）写出适合条件p 的点M 的集合M | p（M）（3）用坐标表示条件p（M），列出方程f(x，y)=0；（4）化方程f(x，y)=0 为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。然后，复习了直线的斜率公式。当我把解这道题的所需的知识复习后，引导学生与自己一起分析这道题：设点M 的坐标为（x，y），那么直线AM，BM的斜率就可以用含x，y 的式子表示，由于直线AM，BM 的斜率之积是,因此,可以建立x，y 之间的关系式，得出点M 的轨迹方程，然后通过方程判断轨迹的形状。根据以上的分析，我让学生自己书写解题过程，并让两个数学成绩较好的同学上台板书解题过程。当完成以上步骤后，我进行了补充完善，并强调此轨迹是挖去两个顶点A、B 的双曲线。至此，我用了大约15 分钟完成了这一道例题的讲解，认为目的已经达到，按照教学计划，便进行后续教学过程。但在乙班上课时，情况却大不一样，以下是在乙班上课的教学实录。 和在甲班进行的教学过程类似，所不同的是，乙班的学生基础相对较好，课堂气氛比较活跃，学生也较喜欢提问。当我讲解完这道例题时，用时10 分钟左右。当我准备后续教学过程时，不经意的问了一声：“还有其它问题吗？”不问则罢，一问就真还有下文。 学生A举手站起来说：“老师，我刚才翻了41 页的例题3，题目和它几乎一样，只是两直线的斜率之积是，但轨迹却是挖去顶点A、B 的椭圆，那两直线的斜率之积为什么样的数时，是双曲线，在什么情况下，又是椭圆呢？” 对于有创造性认真思考的学生，我从来不吝啬褒扬之词。听了我的赞扬，学生A得意地的笑了。到了这里，我决定改变原来的教学计划，对此题进一步研究。思索片刻，我给出下面这到思考题：点A，B 的坐标分别是（- a ，0），（ a ，0）（ a 0），直线AM，BM 相交于点M，且它们的斜率之积是m ，试求点M 的轨迹方程，并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状。 为了调动全体学生的积极性,于是,我说：“让我们一起对此进行探讨，回答同学A提出的问题” 其他学生的好奇心被激发了,就更加跃跃欲试. 有了上面例题的铺垫，马上就有学生发言了,很快就得出了关于动点M 的轨迹方程：得出式后，很多同学想到了在方程两边同时除以-，得到 (*)使所得式子和椭圆、双曲线的标准方程类似，便于观察。在这里，我提醒学生方程两边能同时除以ma2的前提条件是什么？学生恍然大悟：自己忽略了前提条件.于是，得到了第一种情形：当m =0时，方程变为： = 0,即y = 0（x a），所以动点M的轨迹是挖去点A、B的直线y = 0（即x轴）。我引导学生继续观察（*）式，很快得到下面几种情形： 当，即m 0时，方程为，是焦点在x 轴上的双曲线（挖去点A、B），焦点坐标为；当,即m 0时,方程为，又要分下列几种情况：（1）当，即m =-1时，方程变为：（x a），所以动点M 的轨迹是挖去点A、B 的圆心在原点，半径为a 的圆；（2）当，即-1m 0时，方程为 （x a），所以动点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆（挖去点A、B），焦点坐标是；（3）当，即m -1时，方程为 （x a），所以动点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆（挖去点A、B），焦点坐标是。 在上述的解题过程中，求动点M 的轨迹方程容易，但由方程讨论动点的轨迹形状比较复杂，学生容易遗漏一些情况，我在其中都及时的点拨提醒，让学生处于思考的兴奋中，达到对问题的深化，从而起到举一反三之功效。当我与学生共同完成这道题，并就此题做个小结时，一节课的时间就差不多了，我原先的教学任务就不可能完成了，但看到学生高涨的情绪，我也感到由衷的高兴和无比的兴奋。在甲班上的一节课完全依课前的教学设计按部就班地进行，教学任务完成了，教学目标似乎也达到了，而在乙班上的一节课则放弃了原来的教学设计，一道例题我花了将近一节课，教学任务也没有完成。但哪一节课更成功？我们要培养的是只会模仿解题的机器还是有创新精神和创新能力的人？答案是显然的。为什么在两个平行班上课会有如此之大的差别？我几经反思自己的教学，也产生下面三个问题。第一，怎样处理好教师与学生的关系？教师为主导，学生为主体，这两者能否达到和谐统一？第二，怎样处理备课与上课的关系？教案是教师预先按照自己的设想设计的，在实际教学中因为有学生的参与，这种事先计划可能遭遇意外，这时，应该把学生拉回到既定的教学计划中，还是舍弃教案与学生共同探索？教案应该怎样写？第三，解题教学的目的是什么？仅仅得出答案显然是不够的，应该通过解题，进一步熟悉、理解所学内容，在内容之间建立起联系，此为学科意义上的价值；通过解题，让学生从成功中发现自我，培养自信、坚强、忍耐的品格，此为人生意义的价值，也是根本所在。那么如何选取有价值的问题呢？如何教解题才能发挥它们丰富的价值呢？ 对于上述三个问题，答案是有千万个。我的想法是：“让更多的学生脸上挂着微笑去学习数学吧！