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提分专练(三)一次函数、反比例函数综合问题|类型1|一次函数、反比例函数与线段、三角形1.2016泉州如图T3-1,已知点A(-8,0),B(2,0),点C在直线y=-34x+4上,则使ABC是直角三角形的点C的个数为()图T3-1A.1B.2C.3D.42.2019福建名校联合模拟如图T3-2,线段AB是两个端点在y=2x(x0)图象上的一条动线段,且AB=1.若A,B的横坐标分别为a,b,则1-(b-a)2(a2b2+4)的值是()图T3-2A.1B.2C.3D.43.2019厦门质检在平面直角坐标系xOy中,直线y=x与双曲线y=kx(k0,x0)交于点A.过点A作ACx轴于点C,过双曲线上另一点B作BDx轴于点D,作BEAC于点E,连接AB.若OD=3OC,则tanABE=.4.2019莆田仙游东屏中学二模如图T3-3是反比例函数y=9x(x0)的图象,点C的坐标为(0,2).若点A是函数y=9x图象上一点,点B是x轴正半轴上一点,当ABC是等腰直角三角形时,点B的坐标为.图T3-35.2019南平适应性检测如图T3-4,已知反比例函数y=mx的图象经过第一象限内的一点A(n,4),过点A作ABx轴于点B,且AOB的面积为2.(1)求m和n的值;(2)若一次函数y=kx+2的图象经过点A,并且与x轴相交于点C,求线段AC的长.图T3-46.2019泉州质检在平面直角坐标系中,已知反比例函数y=kx(x0,k0),图象上的两点(n,3n),(n+1,2n).(1)求n的值;(2)如图T3-5,直线l为正比例函数y=x的图象,点A在反比例函数y=kx(x0,k0)的图象上,过点A作ABl于点B,过点B作BCx轴于点C,过点A作ADBC于点D.记BOC的面积为S1,ABD的面积为S2,求S1-S2的值.图T3-5|类型2|一次函数、反比例函数与四边形7.2018泉州质检如图T3-6,反比例函数y=kx的图象经过正方形ABCD的顶点A和中心E,若点D的坐标为(-1,0),则k的值为()图T3-6A.2B.-2C.12D.-128.2019眉山如图T3-7,反比例函数y=kx(x0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别交AB,BC于点D,E.若四边形ODBE的面积为12,则k的值为.图T3-79.2019广州如图T3-8,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P(-1,2),ABx轴于点E,正比例函数y=mx的图象与反比例函数y=n-3x的图象相交于A,P两点.图T3-8(1)求m,n的值与点A的坐标;(2)求证:CPDAEO;(3)求sinCDB的值.10.2016莆田如图T3-9,反比例函数y=kx(x0)的图象与直线y=x交于点M,AMB=90,其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A,B,四边形OAMB的面积为6.(1)求k的值.(2)点P在反比例函数y=kx(x0)的图象上,若点P的横坐标为3,EPF=90,其两边分别与x轴的正半轴,直线y=x交于点E,F,问是否存在点E,使得PE=PF?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.图T3-9【参考答案】1.C解析如图,当A为直角时,过点A作垂直于x轴的直线与直线y=-34x+4的交点为W(-8,10);当B为直角时,过点B作垂直于x轴的直线与直线y=-34x+4的交点为S(2,2.5);若C为直角,则点C在以线段AB为直径的圆与直线y=-34x+4的交点处.设E为AB的中点,过点E作垂直于x轴的直线与直线y=-34x+4的交点为F-3,254,则EF=254,直线y=-34x+4与x轴的交点M为163,0,EM=253,MF=(253)2+(254)2=12512.E到直线y=-34x+4的距离d=25325412512=5,以AB为直径的圆的半径为5,圆与直线y=-34x+4恰好有一个交点.直线y=-34x+4上有一点C满足ACB=90.综上所述,使ABC是直角三角形的点C的个数为3.故选C.2.D解析Aa,2a,Bb,2b,(a-b)2+2a-2b2=1,整理得:a2b2(a-b)2+4(a-b)2-a2b2=0,1-(b-a)2(a2b2+4)=4.故选D.3.13解析直线y=x过点A,可设A(a,a),ACx轴于点C,BDx轴于点D,OD=3OC,B点横坐标为3a.双曲线y=kx(k0,x0)过点A,点B,B点纵坐标为aa3a=13a,B3a,13a.在RtABE中,AEB=90,BE=3a-a=2a,AE=a-13a=23a,tanABE=AEBE=23a2a=13.故答案为:13.4.(4,0)或52,0或(-1+10,0)解析(1)当CAB=90时,如图,作AEx轴于E点,作ADy轴于D点,则DAE=90.DAE=CAB=90,DAC=EAB,在ADC和AEB中:ADC=AEB=90,DAC=EAB,AC=AB,ADCAEB,AD=AE,BE=CD,则A的横坐标与纵坐标相等,设A的坐标是(a,a),代入函数解析式得:a=9a,解得:a=3或-3(舍去).则A的坐标是(3,3).OD=3,CD=OD-OC=3-2=1,BE=CD=1,OB=OE+BE=3+1=4,则B的坐标是(4,0);(2)当ACB=90时,如图,作ADy轴于D.ACB=90,ACD+BCO=90,又ACD+CAD=90,CAD=BCO.在ACD和CBO中,CAD=BCO,ADC=BOC,AC=CB,ACDCBO,AD=OC=2,则点A的横坐标是2,把x=2代入y=9x得:y=92,OD=92,CD=OD-OC=92-2=52,OB=CD=52,则B的坐标是52,0;(3)当ABC=90时,如图,作ADx轴,同(2)可以证得:OBCDAB,BD=OC=2,OB=AD,设OB=AD=x,则OD=x+2,则A的坐标是(x+2,x),代入y=9x,得:x=9x+2,解得:x=-1+10或-1-10(舍去),则B的坐标是(-1+10,0).故B的坐标是(4,0)或52,0或(-1+10,0).5.解:(1)由点A(n,4),ABx轴于点B,且点A在第一象限内,得AB=4,OB=n,所以SAOB=12ABOB=124n=2n,由SAOB=2,得n=1,所以A(1,4),把A(1,4)的坐标代入y=mx中,得m=4;(2)由直线y=kx+2过点A(1,4),得k=2,所以一次函数的解析式为y=2x+2.令y=0,得x=-1.所以点C的坐标为(-1,0),由(1)可知OB=1,所以BC=2,在RtABC中,AC=AB2+BC2=42+22=25.6.解:(1)反比例函数y=kx(x0,k0)图象上的两点(n,3n),(n+1,2n),n3n=(n+1)2n,解得n=2或n=0(舍去),n的值为2;(2)易求反比例函数解析式为y=12x,设B(m,m),OC=BC=m,OBC为等腰直角三角形.OBC=45,ABOB,ABO=90,ABC=45,ABD为等腰直角三角形,设BD=AD=t,则A(m+t,m-t).A(m+t,m-t)在反比例函数y=12x的图象上,(m+t)(m-t)=12,即m2-t2=12,S1-S2=12m2-12t2=1212=6.7.B8.4解析由题意得:E,M,D位于反比例函数图象上,则SOCE=12|k|,SOAD=12|k|,过点M作MGy轴于点G,作MNx轴于点N,则S矩形ONMG=|k|,又M为矩形OABC对角线的交点,S矩形OABC=4S矩形ONMG=4|k|,函数图象在第一象限,k0,则k2+k2+12=4k,k=4.9.解:(1)将点P(-1,2)的坐标代入y=mx,得:2=-m,解得m=-2,正比例函数解析式为y=-2x;将点P(-1,2)的坐标代入y=n-3x,得:2=-(n-3),解得:n=1,反比例函数解析式为y=-2x.解方程组y=-2x,y=-2x,得x1=-1,y1=2,x2=1,y2=-2,点A的坐标为(1,-2).(2)证明:四边形ABCD是菱形,ACBD,ABCD,CPD=90,DCP=BAP,即DCP=OAE.ABx轴,AEO=CPD=90,CPDAEO.(3)点A的坐标为(1,-2),AE=2,OE=1,AO=AE2+OE2=5.CPDAEO,CDP=AOE,sinCDB=sinAOE=AEAO=25=255.10.解:(1)如图,过点M作MCx轴于点C,MDy轴于点D,则MCA=MDB=90,AMC=BMD,MC=MD,AMCBMD,S四边形OCMD=S四边形OAMB=6,k=6.(2)存在点E,使得PE=PF.由题意,得点P的坐标为(3,2).如图,过点P作PGx轴于点G,过点F作FHPG于点H,交y轴于点K.PGE=FHP=90,EPG=PFH,PE=PF,PGEFHP,FH=PG=2.则FK=OK=3-2=1,GE=HP=2-1=1,OE=OG+GE=3+1=4,E(4,0);如图,过点P作PG0x轴于点G0,过点F作FH0PG0于点H0,交y轴于点K0.PG0E=FH0P=90,EPG0=PFH0,PE=PF,PG0EFH0P,FH0=PG0=2.则FK0=OK0=3+2=5,G0E=H0P=5-2=3,OE=OG0+G0E=3+3=6,E(6,0).综上所述,存在点E(4,0)或(6,0),使得PE=PF.12
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