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课时训练(十三)二次函数的综合应用(限时:90分钟)|夯实基础|1.2018襄阳 已知二次函数y=x2-x+14m-1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是()A.m5B.m2C.m22.二次函数y=-x2+mx的图象如图K13-1,对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数)在1x-5B.-5t3C.3t4D.-5t43.2019贵阳如图K13-2,在平面直角坐标系内,已知点A(-1,0),点B(1,1)都在直线y=12x+12上,若抛物线y=ax2-x+1(a0)与线段AB有两个不同的交点,则a的取值范围是()图K13-2A.a-2B.a98C.1a98或a-2D.-2a0)与y轴交于点A,过A作x轴的平行线交抛物线于点M,P为抛物线的顶点,若直线OP交直线AM于点B,且M为线段AB的中点,则a的值为.图K13-35.如图K13-4,四边形OABC是边长为1的正方形,OC与x轴正半轴的夹角为15,点B在抛物线y=ax2(a0)的图象上,则a的值为.图K13-46.2018日照 在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点.已知反比例函数y=mx(m0)与y=x2-4在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数为2,则实数m的取值范围为.7.已知抛物线p:y=ax2+bx+c的顶点为C,与x轴相交于A,B两点(点A在点B左侧),点C关于x轴的对称点为C,我们称以A为顶点且过点C,对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线,直线AC为抛物线p的“梦之星”直线.若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2,则这条抛物线的解析式为.8.阅读材料:如图K13-5,过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽(a)”,中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:SABC=12ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.图K13-5解答下列问题:如图,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式.(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连接PA,PB,当P点运动到顶点C时,求CAB的铅垂高CD及SCAB.(3)是否存在一点P,使SPAB=98SCAB?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.|拓展提升|9.2019台湾 如图K13-6,坐标平面上有一顶点为A的抛物线,此抛物线与函数y=2的图象交于B,C两点,ABC为正三角形.若A点坐标为(-3,0),则此抛物线与y轴的交点坐标为()图K13-6A.0,92B.0,272C.(0,9)D.(0,19)10.2019潍坊如图K13-7,直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+5交于A,B两点,点P是y轴上的一个动点,当PAB的周长最小时,SPAB=.图K13-711.2019合肥二模如图K13-8,已知直线y=x+1与抛物线y=ax2+2x+c相交于A(-1,0)和B(2,m)两点.(1)求抛物线的函数表达式.(2)若点P是位于直线AB上方抛物线上的一动点,当PAB的面积S最大时,求此时PAB的面积S及点P的坐标.(3)在x轴上是否存在点Q,使QAB是等腰三角形?若存在,直接写出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.图K13-8【参考答案】1.A解析二次函数的图象与x轴有交点,=b2-4ac=(-1)2-414m-10,解得m5.故选A.2.D解析如图,由图易得二次函数解析式为y=-x2+4x.关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标,当x=1时,y=3,当x=5时,y=-5,由图象可知关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数)在1x5的范围内有解,直线y=t在直线y=-5和直线y=4之间(包括直线y=4),-50,a98.当a0时,a+1+10,a-1+11,解得:a1,1a98.综上所述,1a98或a-2,故选C.4.2解析由抛物线解析式得A0,83,点P的横坐标为1,根据对称关系求得M2,83,M为线段AB的中点,B4,83,设直线OB的解析式为y=kx,将点B的坐标代入直线OB的解析式中,求得其解析式为y=23x,再由顶点坐标公式求得P1,-a+83,代入y=23x,可得a=2.5.-23解析如图,连接OB,过B作BDx轴于D,则BOC=45,BOD=30.已知正方形的边长为1,则OB=2.在RtOBD中,OB=2,BOD=30,则:BD=12OB=22,OD=32OB=62,故B62,-22,代入抛物线的解析式中,得:622a=-22,解得a=-23.6.-2m-1解析当x=1时,y=x2-4=1-4=-3.所以第四象限内在二次函数y=x2-4的图象上和图象上方的整点有3个,坐标为(1,-1),(1,-2),(1,-3).当反比例函数y=mx(m0)的图象经过点(1,-2),即m=xy=-2时,在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数有2个,当反比例函数y=mx(m0)的图象经过点(1,-1),即m=xy=-1时,在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数有3个,在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数有2个,m的取值范围为-2m0),BC=2m,过A作ADBC于D,则AD=2,DAC=30,CD=m=233,C-3+233,2.设抛物线解析式为y=a(x+3)2,a-3+233+32=2,a=32,y=32(x+3)2,当x=0时,y=272,故选B.10.125解析由x+1=x2-4x+5,得x1=1,x2=4,分别代入y=x+1,得y1=2,y2=5,A(1,2),B(4,5).作点A关于y轴的对称点A,连接AB与y轴交于点P,此时PAB的周长最小,点A的坐标为(-1,2).设直线AB的函数解析式为y=kx+b,有-k+b=2,4k+b=5,解得k=35,b=135,直线AB的函数解析式为y=35x+135,与y轴的交点P的坐标为0,135.直线y=x+1与y轴的交点C的坐标为(0,1),则PC=135-1=85,于是SPAB=SPBC-SPAC=12854-12851=165-45=125.11.解:(1)点B(2,m)在直线y=x+1上,m=2+1=3,点B的坐标为(2,3).点A(-1,0)和点B(2,3)在抛物线y=ax2+2x+c上,a-2+c=0,4a+4+c=3,解得a=-1,c=3,抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3.(2)如图,过点P作PMx轴于点M,交AB于点N,设点P的坐标为(m,-m2+2m+3),则点N的坐标为(m,m+1),点P位于直线AB上方,PN=-m2+2m+3-(m+1)=-m2+m+2.PAB的面积S=SPAN+SPBN=12(-m2+m+2)(m+1)+12(-m2+m+2)(2-m)=12(-m2+m+2)(m+1+2-m)=32(-m2+m+2)=-32m-122+278,-320,抛物线开口向下,又-1m2,当m=12时,PAB的面积S有最大值,最大值是278.此时点P的坐标为12,154.(3)存在,点Q的坐标为(-32-1,0)或(32-1,0)或(5,0)或(2,0).7
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