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考点强化练18相似三角形夯实基础1.(2018广东)在ABC中,点D、E分别为边AB、AC的中点,则ADE与ABC的面积之比为()A.12B.13C.14D.16答案C解析相似三角形面积比等于相似比的平方,由中位线性质知相似比为12,所以ADE与ABC的面积之比为14.2.(2018浙江义乌)学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置,已知ABBD,CDBD,垂足分别为B,D,AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为()A.0.2 mB.0.3 mC.0.4 mD.0.5 m答案C解析ABBD,CDBD,ABO=CDO=90,AOB=COD(对顶角相等),AOBCOD,AOAB=COCD,41.6=1CD,CD=0.4m,故选C.3.(2017四川攀枝花)如图,D是等边ABC边AB上的点,AD=2,BD=4.现将ABC折叠,使得点C与点D重合,折痕为EF,且点E,F分别在边AC和BC上,则CFCE=.答案54解析由题易知A=B=EDF=60,AED=FDB.AEDBDF,EDDF=AE+ED+ADDF+BF+DB.由翻折易知EC=ED,FC=FD,CFEC=BC+BDAC+AD.CFEC=54.4.(2018四川巴中)如图,已知在ABC中,BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F,且BAC=45,BD=6,CD=4,则ABC的面积为.答案60解析先推导出ABE是等腰直角三角形,再根据等腰直角三角形的性质可得AE=BE,利用同角的余角相等求出1=2,然后利用“角边角”证明AFE和BCE全等;求出BC的长为6+4=10,再根据全等三角形对应边相等可得AF=BC=10,然后求出ACD和BFD相似,设DF=x.ADCBDF,ADDC=BDDF,10+x4=6x.整理得x2+10x-24=0,解得x=2或-12(舍弃),AD=AF+DF=12,SABC=12BCAD=121012=60.5.(2018江苏常州)如图,在ABC纸板中,AC=4,BC=2,AB=5,P是AC上一点,过点P沿直线剪下一个与ABC相似的小三角形纸板,如果有4种不同的剪法,那么AP长的取值范围是.答案3AP4解析如图(1),当P在AC上运动时,都有PEBC,PGAB,APD=B,有三种相似,即CPGCAB,APEABC,APDABC,图(1)当CPF=B时,点F如果与B重合如图(2),则CBPCAB,CBAC=CPCB,求得CP=1,PA=3,图(2)所以AP的取值范围是3AP3037,所以x2y2.所以甲同学设计的方案较好.7.(2018山东莱芜)已知ABC中,AB=AC,BAC=90,D、E分别是AB、AC的中点,将ADE绕点A按顺时针方向旋转一个角度(0BCD矛盾,舍去.综上所述,ACB=96或114.(3)由已知得AC=AD=2.BCDBAC,BCBA=BDBC,设BD=x,则(2)2=x(x+2),解得x=-13,x0,x=3-1.BCDBAC,CDAC=BDBC=3-12,CD=3-122=2(3-1)=6-2.导学号16734121提升能力9.(2018内蒙古包头)如图,在RtACB中,ACB=90,AC=BC,D是AB上的一个动点(不与点A、B重合),连接CD,将CD绕点C顺时针旋转90得到CE,连接DE,DE与AC相交于点F,连接AE.下列结论:ACEBCD;若BCD=25,则AED=65;DE2=2CFCA;若AB=32,AD=2BD,则AF=53.其中正确的结论是.(填写所有正确结论的序号)答案解析由题意易得BCD=ACE,由“边角边”证明ACEBCD,故正确;ACEBCD,CAE=CBD=45.BCD=25,ACE=BCD=25.AED=AEC-CED=(180-25-45)-45=65,故正确;CAE=CED=45,ACE=FCE,ACEECF,ACEC=ECFC,即EC2=ACFC.在RtDCE中,DE2=2CE2=2FCAC,DE2=2CFCA,故正确;作DMBC于点M,DM=BM=1.CM=3-1=2,DC=CE=5.由可知DE2=2CFCA,(2CE)2=23FC.FC=106=53.AF=3-53=43,故错误.10.(2018海南)已知,如图1,在ABCD中,点E是AB中点,连接DE并延长,交CB的延长线于点F.图1图2(1)求证:ADEBFE;(2)如图2,点G是边BC上任意一点(点G不与点B,C重合),连接AG交DF于点H,连接HC,过点A作AKHC,交DF于点K.求证:HC=2AK;当点G是边BC中点时,恰有HD=nHK(n为正整数),求n的值.解(1)证明:在ABCD中,有ADBC,ADE=F.点E是AB中点,AE=BE.AED=BEF,ADEBFE.(2)在ABCD中,有ABCD,AB=CD.AEK=CDH,AKHC,AKE=CHD,AEKCDH.AECD=AKCH.E是边AB的中点,2AE=AB=CD,HC=2AK.当点G是边BC中点时,在ABCD中,有ADBC,AD=BC,AHDGHF,ADGF=HDHF.由(1)得,ADEBFE,AD=BF.G是BC中点,2BG=AD=BF,ADGF=23=DHHF,DH=23HF.ADFC,ADK=F.AKHC,AKH=CHK,AKD=CHF.AKDCHF.ADCF=KDHF=12,KD=12HF,HK=HD-KD=16HF,HDHK=4,n=4.11.(2017辽宁大连)如图1,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OB=OD,OC=OA+AB,AD=m,BC=n,ABD+ADB=ACB.(1)填空:BAD与ACB的数量关系为;(2)求mn的值;(3)将ACD沿CD翻折,得到ACD(如图2),连接BA,与CD相交于点P.若CD=5+12,求PC的长.解(1)BAD+ACB=180(2)如图,作DEAB,交AC于点E,则DEA=BAE,OBA=ODE,又OB=OD,OABOED(AAS).AB=DE,OA=OE.设AB=DE=CE=x,OA=OE=y,EDA+DAB=180,EDA=ACB.DEA=EAB,EADABC.EDAC=AEAB=DACB=mn,即xx+2y=2yx,4y2+2xy-x2=0.2yx2+2yx-1=0,解得2yx=-1+52.mn=5-12.(3)DE=CE,DCA=DCA,DECA.ABDE,ABCA.ABC+ACB=180.EADACB,DAE=BCA=DAE.DAE+BCA=180,ADBC.PADPBC,PC=nm+nCD=1.导学号16734122创新拓展12.如图,在RtABC中,ACB=90,AC=5 cm,BAC=60,动点M从点B出发,在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动,同时动点N从点C出发,在CB边上以每秒3 cm的速度向点B匀速运动,设运动时间为t秒(0t5),连接MN.(1)若BM=BN,求t的值;(2)若MBN与ABC相似,求t的值;(3)当t为何值时,四边形ACNM的面积最小?并求出最小值.解(1)在RtABC中,ACB=90,AC=5,BAC=60,AB=10,BC=53.由题意知BM=2t,CN=3t,BN=53-3t,由BM=BN,得2t=53-3t.解得t=532+3=103-15.(2)当MBNABC时,MBAB=BNBC,即2t10=53-3t53.解得t=52.当NBMABC时,NBAB=BMBC,即53-3t10=2t53.解得t=157.综上所述,当t=52或t=157时,MBN与ABC相似.(3)如图,过M作MDBC于点D,则MD=t.设四边形ACNM的面积为y,则y=SABC-SBMN=12ACBC-12BNMD=12553-12(53-3t)t=32t2-532t+2532=32t-522+7583.根据二次函数的性质可知,当t=52时,y的值最小,此时,y最小=7583.导学号1673412310
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