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二次函数与几何图形综合题 08二次函数与几何图形综合题1.2018贺州 如图ZT8-1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A,B两点(A在B的左侧),且OA=3,OB=1,与y轴交于点C(0,3),抛物线的顶点坐标为D(-1,4).(1)求A,B两点的坐标.(2)求抛物线的表达式.(3)过点D作直线DEy轴,交x轴于点E,点P是抛物线上B,D两点间的一个动点(点P不与B,D两点重合),PA,PB与直线DE分别交于点F,G,当点P运动时,EF+EG是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.图ZT8-12.2018连云港 如图ZT8-2,图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m(k0)的部分图象围成的封闭图形,已知A(1,0),B(0,1),D(0,-3).(1)直接写出这两个二次函数的表达式;(2)判断图形ABCD是否存在内接正方形(正方形的四个顶点在图形ABCD上),并说明理由;(3)如图,连接BC,CD,AD,在坐标平面内,求使得BDC与ADE相似(其中点C与点E是对应顶点)的点E的坐标.图ZT8-23.2018益阳 如图ZT8-3,已知抛物线y=12x2-32x-n(n0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)如图,若ABC为直角三角形,求n的值;(2)如图,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标;(3)如图,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴于点E,若AEED=14,求n的值.图ZT8-34.2018齐齐哈尔 综合与探究:如图ZT8-4所示,直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,C.(1)求抛物线的表达式;(2)点E在抛物线的对称轴上,求CE+OE的最小值;(3)如图所示,M是线段OA上的一个动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P,N.若以C,P,N为顶点的三角形与APM相似,则CPN的面积为;若点P恰好是线段MN的中点,点F是直线AC上一个动点,在坐标平面内是否存在点D,使以点D,F,P,M为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.图ZT8-45.2018潍坊 如图ZT8-5,抛物线y1=ax2-12x+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C0,34,抛物线y1的顶点为G,GMx轴于点M.将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2.(1)求抛物线y2的解析式.(2)如图,在直线l上是否存在点T,使TAC是等腰三角形?若存在,请求出所有点T的坐标;若不存在,请说明理由.(3)点P为抛物线y1上一动点,过点P作y轴的平行线,交抛物线y2于点Q,点Q关于直线l的对称点为R.若以P,Q,R为顶点的三角形与AMG全等,求直线PR的解析式.图ZT8-56.2018乐山 如图ZT8-6,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C0,-43,OA=1,OB=4,直线l过点A,交y轴于点D,交抛物线于点E,且满足tanOAD=34.(1)求抛物线的解析式.(2)动点P从点B出发,沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点A运动,动点Q从点A出发,沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动,当点P运动到点A时,点Q也停止运动,设运动时间为t秒.在P,Q的运动过程中,是否存在某一时刻t,使得ADC与PQA相似?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.在P,Q的运动过程中,是否存在某一时刻t,使得APQ与CAQ的面积之和最大?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.图ZT8-6参考答案1.解:(1)由抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A,B两点(A在B的左侧),且OA=3,OB=1,得点A的坐标为(-3,0),点B的坐标为(1,0).(2)设抛物线的表达式为y=a(x+3)(x-1).把点C的坐标代入函数表达式,得a(0+3)(0-1)=3.解得a=-1.故抛物线的表达式为y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3.(3)EF+EG=8(或EF+EG是定值).理由如下:过点P作PQy轴,交x轴于Q,如图.设P(t,-t2-2t+3),则PQ=-t2-2t+3,AQ=3+t,QB=1-t.PQEF,AEFAQP.EFPQ=AEAQ,EF=PQAEAQ=(-t2-2t+3)23+t=23+t(-t2-2t+3)=2(1-t).PQEG,BEGBQP.EGPQ=BEBQ.EG=PQBEBQ=(-t2-2t+3)21-t=2(t+3).EF+EG=2(1-t)+2(t+3)=8.2.解:(1)二次函数y1=kx2+m的图象经过点A,B,k+m=0,m=1.解得k=-1,m=1.二次函数y1=kx2+m的解析式为:y1=-x2+1.二次函数y2=ax2+b的图象经过点A,D,a+b=0,b=-3.解得a=3,b=-3.二次函数y2=ax2+b的解析式为y2=3x2-3.(2)设M(x,-x2+1)为第一象限内的图形ABCD上一点,M(x,3x2-3)为第四象限内的图形ABCD上一点,MM=(1-x2)-(3x2-3)=4-4x2.由抛物线的对称性知,若有内接正方形,则2x=4-4x2,即2x2+x-2=0.解得x=-1+174或x=-1-174(舍),0-1+1740),可得OC=n,OAOB=2n.n2=2n.解得n1=2,n2=0(舍去).n=2.(2)由(1)可知,抛物线的对称轴为直线x=32,抛物线的解析式为y=12x2-32x-2.令y=0,得12x2-32x-2=0,解得x1=-1,x2=4,A(-1,0),B(4,0).设点Pm,12m2-32m-2.当直线PQBC,点P在点Q的左侧时(如图所示),当BOC平移到QNP的位置时,四边形PQBC为平行四边形,此时NQ=OB,即32-m=4,m=-52,12m2-32m-2=398,此时点P的坐标为-52,398;当点P在点Q的右侧时(如图所示),同理可得m-32=4,m=112,12m2-32m-2=398,此时点P的坐标为112,398.综上所述,满足条件的点P的坐标为-52,398,112,398.(3)如图,过点D作DFx轴,垂足为F,则AOOF=AEED=14.设A(a,0),B(b,0),则AO=-a,OF=-4a.ADBC,OBC=DAO.BOC=AFD=90,BOCAFD.OCDF=BOAF,即nDF=b-4a-a.nDF=b-5a.由题意,得ab=-2n.nb=-a2.DF=-5anb=-5a-a2=52a2.点A,D在抛物线上,12a2-32a-n=0,1216a2-32(-4a)-n=52a2.解得a=-32,n=278.n的值为278.4.解:(1)将A(-4,0)代入y=x+c,得c=4.点C的坐标为(0,4).将(-4,0)和(0,4)代入y=-x2+bx+c,得b=-3.抛物线的解析式为y=-x2-3x+4.(2)如图所示,作点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C,连接OC交直线l于点E,连接CE,此时CE+OE的值最小,且CE+OE=OC.抛物线的对称轴为直线x=-32(-1)=-32,则CC=3,在RtCCO中,由勾股定理,得OC=CC2+OC2=5.CE+OE的最小值为5.(3)由题意易知APM为等腰直角三角形.设M(a,0),则N(a,-a2-3a+4),P(a,a+4).当AMPCNP时,AMCN=MPNP,得4+a-a=a+4-a2-3a+4-(a+4),解得a=-4(舍去)或a=-3或a=0(舍去).CN=3,PN=3.CPN的面积为12CNPN=92.当AMPNCP时,AMNC=APNP,得a+4(-a2-3a+4-4)2+(-a)2=2(4+a)-a2-3a+4-(a+4),解得a=0(舍去)或a=-2或a=-4(舍去).CN=CP=22.CPN的面积为12CNPC=4.故答案为92或4.存在.D1-2+322,322,D2-2-322,-322,D3(-4,3),D412,32.理由如下:当点P是线段MN的中点时,-a2-3a+4=2(a+4),解得a=-4(舍去)或a=-1.M(-1,0),P(-1,3),N(-1,6).设F(f,f+4),过点M作AC的平行线,易知此直线的解析式为y=x+1.易知PM=3,当PM为菱形的边时,作PF=PM,过F作FDPM,交直线y=x+1于点D,D(f,f+1).32=2(f+1)2,解得f=-2322.则D1-2+322,322,D2-2-322,-322.PM=AM=3,当点F与点A重合时,过点F作DFPM(D在x轴上方),且DF=PM,连接DP,可得出四边形DPMF为菱形.点D的坐标为(-4,3).当PM为菱形的对角线时,作PM的垂直平分线,交直线AC于点F,作点F关于PM的对称点D,连接MF,MD,PD,此时四边形DMFP为菱形.将y=32代入直线AC的解析式可得x=-52,点F的坐标为-52,32.直线PM的解析式为x=-1,点D的坐标为12,32.综上所述,满足条件的点为D1-2+322,322,D2-2-322,-322,D3(-4,3),D412,32.5.解:(1)将B(1,0)和C0,34代入抛物线y1=ax2-12x+c,得a-12+c=0,c=34.解得a=-14,c=34.所以抛物线的解析式为y1=-14x2-12x+34.由题意可知平移后抛物线y2的顶点为B(1,0),故抛物线y2的解析式为y2=-14(x-1)2,即y2=-14x2+12x-14.(2)存在.令y1=0,解得x=-3或x=1.由题意知B(1,0),故A(-3,0).设T(1,t),又C0,34,所以AC2=32+342=15316,AT2=(1+3)2+t2=t2+16,CT2=12+t-342=t2-32t+2516.若AC=AT,则t2+16=15316,方程无解,故此时不存在;若AC=CT,则t2-32t+2516=15316,解得t=31374,此时点T的坐标为1,3+1374或1,3-1374;若AT=CT,则t2-32t+2516=t2+16,解得t=-778,此时点T的坐标为1,-778.故点T的坐标为1,3+1374或1,3-1374或1,-778.(3)由题意知G(-1,1),则AM=2,GM=1.若PQR与AMG全等,则PQ=1,QR=2或PQ=2,QR=1.分类一:若QR=2,由抛物线y2的对称轴为直线x=1,得点Q的横坐标为0或2.当x=0时,y1=34,y2=-14,此时PQ=34-14=1,满足题意,则P0,34,R2,-14,直线PR的解析式为y=-12x+34.当x=2时,y1=-54,y2=-14,此时PQ=-14-54=1,满足题意,则P2,-54,R0,-14,直线PR的解析式为y=-12x-14.分类二:若QR=1,由抛物线y2的对称轴为直线x=1,得点Q的横坐标为12或32.当x=12时,y1=716,y2=-116,此时PQ=716-116=122,不满足题意.当x=32时,y1=-916,y2=-116,此时PQ=-116-916=122,不满足题意.综上所述,满足题意的直线PR的解析式为y=-12x+34或y=-12x-14.6.解:(1)OA=1,OB=4,A(1,0),B(-4,0).设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x-1).C0,-43在抛物线上,-43=a4(-1).解得a=13.抛物线的解析式为y=13(x+4)(x-1),即y=13x2+x-43.(2)存在t,使得ADC与PQA相似.其理由如下:在RtAOC中,OA=1,OC=43,则AC=53,tanACO=OAOC=34.又tanOAD=34,OAD=ACO.在RtAOD中,tanOAD=34,OA=1,OD=34.CD=43-34=712.在AQP中,AP=AB-PB=5-2t,AQ=t.由PAQ=ACD,要使ADC与PQA相似,只需APAQ=CDAC或APAQ=ACCD,则有5-2t1t1=71253或5-2t2t2=53712,解得t1=10047,t2=3534.t12.5,t22.5,存在t=10047或3534,使得ADC与PQA相似.存在t,使得APQ与CAQ的面积之和最大,其理由如下:作PFAQ于点F,CNAQ于点N,如图所示.在RtAPF中,tanPAF=34,sinPAF=35.PF=APsinPAF=35(5-2t).在RtAOD中,由AD2=OD2+OA2,得AD=54.在ADC中,由SADC=12ADCN=12CDOA,得CN=CDOAAD=712154=715.SAPQ+SCAQ=12AQ(PF+CN)=12t35(5-2t)+715=-35t-1392+169135.013952,当t=139时,APQ与CAQ的面积之和最大.17
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