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专题12 二次函数 专题知识回顾 1二次函数的概念：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c(a0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。抛物线叫做二次函数的一般式。2.二次函数y=ax2 +bx+c(a0)的图像与性质yxO（1）对称轴：（2）顶点坐标：（3）与y轴交点坐标（0，c）（4）增减性：当a0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a0时，抛物线的开口向上；当a0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；0),点F(0,p),直线l:yp,已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,AA1l,BB1l,垂足分别为A1,B1,连接A1F,B1F,A1O,B1O,若A1Fa,B1Fb,则A1OB1的面积_(只用a,b表示).【答案】【解析】先由边相等得到A1FB190,进而得到A1B1的长度,由等面积法得到点F到A1B1的距离,进而得到A1OB1的高,求出三角形面积.设Ax,则B180x,由题可知,AA1AF,BB1BF,所以AFA1,BFB1,所以A1FB190,所以A1FB1是直角三角形,A1B1,所以点F到A1B1的距离为,因为点F(0,p),直线l:yp,A1OB1的高为,所以A1OB1的面积10.（2019江苏镇江）已知抛物线yax24ax4a1（a0）过点A(m，3)，B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2a1的最小值是 【答案】【解析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据线段AB的长不大于4，求出a的取值范围，再利用二次函数的增减性求代数式a2a1的最小值yax24ax4a1a(x2)21，该抛物线的顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x2抛物线过点A(m，3)，B(n，3)两点，当y3时，a(x2)213，(x2)2，当a0时，x2A(2，3)，B(2，3)AB2线段AB的长不大于4，24aa2a1(a)2，当a，(a2a1)min(a)211.（2019江苏镇江）已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于4，则代数式的最小值是【答案】【解析】抛物线过点，两点，线段的长不大于4，的最小值为：；故答案为12.（2019内蒙古赤峰）二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：b0；ab+c0；一元二次方程ax2+bx+c+10（a0）有两个不相等的实数根；当x1或x3时，y0上述结论中正确的是 （填上所有正确结论的序号）【答案】【解析】由图可知，对称轴x1，与x轴的一个交点为（3，0），b2a，与x轴另一个交点（1，0），a0，b0；错误；当x1时，y0，ab+c0；正确；一元二次方程ax2+bx+c+10可以看作函数yax2+bx+c与y1的交点，由图象可知函数yax2+bx+c与y1有两个不同的交点，一元二次方程ax2+bx+c+10（a0）有两个不相等的实数根；正确；由图象可知，y0时，x1或x3正确；故答案为三、解答题13.（2019北京市）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上（1）求点B的坐标（用含的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围【答案】见解析。【解析】先求出A点的坐标为，由平移规律求得点B的坐标；由A、B两点的纵坐标相同，得A、B为对称点进而求出抛物线对称轴方程；根据a的符号分类讨论分析解答即可.（1）当x=0时，抛物线；抛物线与y轴交点A点的坐标为，由点A向右平移2个单位长度得点B的坐标为；即.（2） 由A、B两点的纵坐标相同，得A、B为对称点.抛物线对称轴方程为；即直线.（3） 当时，. 分析图象可得，根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；也不可能同时经过点B和点Q，所以线段PQ和抛物线没有交点.当时，. 分析图象可得，根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰好有一个公共点，此时，即. 综上所述：当时，抛物线与线段PQ恰好有一个公共点.14.（2019辽宁本溪）工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系.（1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？【答案】见解析。【解析】本题主要考查一次函数和二次函数的应用.认真观察图象，分别写出该定义域下的函数关系式，定义域取值全部是整数；根据利润=（售价-成本）件数，列出利润的表达式，求出最值（1） 当0x20且x为整数时，y=40；当20x60且x为整数时，y=-x+50；当x60且x为整数时，y=20；（2）设所获利润w（元），当0x20且x为整数时，y=40，w=(40-16)20=480元，当0x20且x为整数时，y=40，当20x60且x为整数时，y=-x+50，w=(y-16)x=(-x+50-16)x，w=-x2+34x，w=-（x-34）2+578，-0，当x=34时，w最大，最大值为578元答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元15（2019湘潭）湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？【答案】见解析。【解析】根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，列二元一次方程组即可解题；根据题意，可设A种礼盒降价m元/盒，则A种礼盒的销售量为：（10+）盒，再列出关系式即可（1）根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，则有，解得故该店平均每天销售A礼盒10盒，B种礼盒为20盒（2）设A种湘莲礼盒降价m元/盒，利润为W元，依题意总利润W（120m72）（10+）+800化简得Wm2+6m+1280（m9）2+1307a0当m9时，取得最大值为1307，故当A种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元16. （2019广西省贵港市）如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，对称轴为直线，点是线段的中点（1）求抛物线的表达式；（2）写出点的坐标并求直线的表达式；（3）设动点，分别在抛物线和对称轴上，当以，为顶点的四边形是平行四边形时，求，两点的坐标【答案】见解析。【解析】函数表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解；、，则点，设直线的表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解；分当是平行四边形的一条边、是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可（1）函数表达式为：，将点坐标代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：；（2）、，则点，设直线的表达式为：，将点坐标代入上式得：，解得：，故直线的表达式为：；（3）设点、点，当是平行四边形的一条边时，点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，同样点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，即：，解得：，故点、的坐标分别为、；当是平行四边形的对角线时，由中点定理得：，解得：，故点、的坐标分别为、；故点、的坐标分别为或、或14
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