2021-2022年二年级数学 奥数讲座 数数与计数（二）

2021-2022年二年级数学 奥数讲座 数数与计数（二）例1 数一数，图31中共有多少点？解：（1）方法1：如图32所示从上往下一层一层数：第一层 1个第二层 2个第三层 3个第四层 4个第五层 5个第六层 6个第七层 7个第八层 8个第九层 9个第十层 10个第十一层 9个第十二层 8个第十三层 7个第十四层 6个第十五层 5个第十六层 4个第十七层 3个第十八层 2个第十九层 1个总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）=55+45=100（利用已学过的知识计算）。（2）方法2：如图33所示：从上往下，沿折线数第一层 1个第二层 3个第三层 5个第四层 7个第五层 9个第六层 11个第七层 13个第八层 15个第九层 17个第十层 19个总数：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已学过的知识计算）。（3）方法3：把点群的整体转个角度，成为如图34所示的样子，变成为10行10列的点阵。显然点的总数为1010=100（个）。想一想：数数与计数，有时有不同的方法，需要多动脑筋。由方法1和方法3得出下式：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=1010即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积。由此我们猜想：1=111+2+1=221+2+3+2+1=331+2+3+4+3+2+1=441+2+3+4+5+4+3+2+1=551+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=661+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=771+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=881+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=991+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=1010这样的等式还可以一直写下去，能写出很多很多。同学们可以自己检验一下，看是否正确，如果正确我们就发现了一条规律。由方法2和方法3也可以得出下式：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=1010。即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积。由此我们猜想：1+3=221+3+5=331+3+5+7=441+3+5+7+9=551+3+5+7+9+11=661+3+5+7+9+11+13=771+3+5+7+9+11+13+15=881+3+5+7+9+11+13+15+17=991+3+5+7+9+11+13+15+17+19=1010还可往下一直写下去，同学们自己检验一下，看是否正确，如果正确，我们就又发现了一条规律。例2 数一数，图35中有多少条线段？解：（1）我们已知，两点间的直线部分是一条线段。以A点为共同端点的线段有：AB AC AD AE AF 5条。以B点为共同左端点的线段有：BC BD BE BF 4条。以C点为共同左端点的线段有：CD CE CF 3条。以D点为共同左端点的线段有：DE DF 2条。以E点为共同左端点的线段有：EF1条。总数5+4+3+2+1=15条。（2）用图示法更为直观明了。见图36。总数5+4+3+2+1=15（条）。想一想：由例2可知，一条大线段上有六个点，就有：总数=5+4+3+2+1条线段。由此猜想如下规律（见图37）：还可以一直做下去。总之，线段总条线是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比总数小1。我们又发现了一条规律。它说明了点数与线段总数之间的关系。上面的事实也可以这样说：如果把相邻两点间的线段叫做基本线段，那么一条大线段上的基本线段数和线段总条数之间的关系是：线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本线段的条数（见图38）。基本线段数 线段总条数还可以一直写下去，同学们可以自己试试看。例3 数一数，图39中共有多少个锐角？解：（1）我们知道，图中任意两条从O点发出的射线都组成一个锐角。所以，以OA边为公共边的锐角有：LAOB，AOC，AOD，AOE，AOF共5个。以OB边为公共边的锐角有：BOC，BOD，BOE，BOF共4个。以OC边为公共边的锐角有：COD，COE，COF共3个。以OD边为公共边的锐角有：DOE，DOF共2个。以OE边为一边的锐角有：EOF只1个。锐角总数5+4+3+2+115（个）。用图示法更为直观明了：如图310所示，锐角总数为：5+4+3+2+1=15（个）。想一想：由例3可知：由一点发出的六条射线，组成的锐角的总数=5+4+3+2+1（个），由此猜想出如下规律：（见图31115）两条射线1个角（见图311）三条射线2+1个角（见图312）四条射线3+2+1个角（见图313）五条射线4+3+2+1个角（见图314）六条射线5+4+3+2+1个角（见图315）总之，角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比射线数小1。同样，也可以这样想：如果把相邻两条射线构成的角叫做基本角，那么有共同顶点的基本角和角的总数之间的关系是：角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本角个数。注意，例2和例3的情况极其相似。虽然例2是关于线段的，例3是关于角的，但求总数时，它们有同样的数学表达式。同学们可以看出，一个数学式子可以表达表面上完全不同的事物中的数量关系，这就是数学的魔力。附送：2021-2022年二年级数学 奥数讲座 整数的分拆例1 小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示。他们每人打了两发子弹。小兵共打中6环，小军共打中5环。又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发。你知道他俩打中的都是哪几环吗？解：已知小兵两发子弹打中6环，要求每次打中的环数，可将6分拆6=1+5=2+4；同理，要求小军每次打中的环数，可将5分拆5=1+4=2+3。由题意：没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发，只可能是：小兵打中的是1环和5环，小军打中的是2环和3环。例2 某个外星人来到地球上，随身带有本星球上的硬币1分、2分、4分、8分各一枚，如果他想买7分钱的一件商品，他应如何付款？买9分、10分、13分、14分和15分的商品呢？他又将如何付款？解：这道题目的实质是要求把7、9、10、13、14、15各数按1、2、4、8进行分拆。7=1+2+49=1+810=2+813=1+4+814=2+4+815=1+2+4+8外星人可按以上方式付款。例3 有人以为8是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能要够用“8”表示才好。现有200块糖要分发给一些人，请你帮助想一个吉利的分糖方案。解：可以这样想：因为200的个位数是0，又知只有5个8相加才能使和的个位数字为0，这就是说，可以把200分成5个数，每个数的个位数字都应是8。这样由85=40及200-40=160，可知再由两个8作十位数字可得802=160即可。最后得到下式：88+88+8+8+8=200。例4 试将100以内的完全平方数分拆成从1开始的一串奇数之和。解：1=11=12=1（特例）4=22=22=1+39=33=32=1+3+516=44=42=1+3+5+725=55=52=1+3+5+7+936=66=62=1+3+5+7+9+1149=77=72=1+3+5+7+9+11+1364=88=82=1+3+5+7+9+11+13+1581=99=92=1+3+5+7+9+11+13+15+17100=1010=102=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19。观察上述各式，可得出如下猜想：一个完全平方数可以写成从1开始的若干连续奇数之和，这个平方数就等于奇数个数的自乘积（平方）。检验：把1111=121，和1212=144，两个完全平方数分拆，看其是否符合上述猜想。121=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23结论:上述猜想对121和144两个完全平方数是正确的。例5 从19九个数中选取，将11写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？解：将19的九个自然数从小到大排成一列：1，2，3，4，5，6，7，8，9。分析 先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求。但用次大的2和最大的9相加，和为11符合要求，得11=2+9。逐个做下去，可得11=3+8，11=4+7，11=5+6。可见共有4种不同的写法。例6 将12分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请把它们一一列出。解：可以做如下考虑：若将12分拆成三个不同的自然数之和，三个数中最小的数应为1，其次是2，那么第三个数就应是9得：12=1+2+9。下面进行变化，如从9中取1加到2上，又得12=1+3+8。继续按类似方法变化，可得下列各式：12=1+4+7=2+3+7，12=1+5+6=2+4+6。12=3+4+5。共有7种不同的分拆方式。例7 将21分拆成四个不同的自然数相加之和，但四个自然数只能从19中选取，问共有多少种不同的分拆方式，请你一一列出。解：也可以先从最大的数9考虑选取，其次选8，算一算21-（9+8）=4，所以接着只能选3和1。这样就可以得出第一个分拆式：21=9+8+3+1，以这个分拆式为基础按顺序进行调整，就可以得出所有的不同分拆方式：21=7+6+5+3以7开头的分拆方式有1种 共有11种不同的分拆方式。例8 从112这十二个自然数中选取，把26分拆成四个不同的自然数之和。 26=8+7+6+5以8开头的分拆方式共1种不同的分拆方式总数为：10+10+8+4+1=33种。总结：由例4明显看出，欲求出所有的不同的分拆方式，必须使分拆过程按一定的顺序进行。