2021-2022年二年级数学 奥数讲座 七座桥问题

2021-2022年二年级数学 奥数讲座 七座桥问题二百五十年前，有一个问题曾出现在普通人的生活中，向人们的智力挑战，使得很多人冥思苦想。在相当长的一段时间里，很多人都想解决它，但他们都失败了。今天，我们小学生也要大胆地研究研究它。这个问题叫做“七座桥问题”。当时，德国有个城市叫哥尼斯堡。城中有条河，河中有个岛，河上架有七座桥，这些桥把陆地和小岛连接起来，这样就给人们提供了一个游玩的好去处（见下图）。俗话说，“人是万物之灵”，他们就是在游玩时候想出了这样一个问题：如果在陆地上可以随便走，而对每座桥只许通过一次，那么一个人要连续地走完这七座桥怎么个走法？好动脑筋的小朋友请先不要接着往下读，你也试一试，走一走。你是怎样试的呢？你不可能真到哥尼斯堡城去，像当年的游人那样亲自步行过桥上岛。因为你并没有离开自己的教室，你坐在教室里，在你的面前没有河流，没有小岛，也没有桥，但在你面前却有一张图！可是，这又是一张什么样的图呢？图上并没河流、小岛和小桥的原样，只是用一些线条来代表它们，但却明白无误地显示出了它们之间的位置关系和连接方式。可以说，这是一张为了做数学而舍弃了许多无关的真实内容而抽象出来的“数学图”。这样的抽象过程非常重要，这种抽象思维对于学习数学来讲非常重要。也许你是用铅笔尖在图上画来画去进行试验的吧！好！你做得很好！为什么这样说呢？因为当你这样做的时候，就发挥了自己的想像力：你在无意中把自己想像成了一个小笔尖。你把小笔尖在七桥图上画来画去，想像成了你自身的经历，有位教育家曾说“强烈而活跃的想像是伟大智慧不可缺少的属性”。看来你并不缺少这种想像力！让我们再好好地想一想，刚才你把小笔尖在七桥图上画来画去，想像成你自己过桥的亲身经历，这不就是把过桥问题和一笔画问题联系在一起了吗？用一句数学上常用的话说，这就是把实际生活中的问题转化成了数学问题，下面的图把这种转化过程详细地画了出来。在下页左图中把陆地想像成了几大块。这对过桥问题并不产生影响。在下页右图中进一步把陆地块缩小，同时改用线段代表小桥，这也不改变过桥问题的实质。在下面左图中，进一步把陆地和岛都用小圆圈代表，这已是“几何图形”了，但还是显得复杂。在下面右图中，圆进一步缩成了点。这样它变成了只由点和线构成的最简单的几何图形了。经过上面这样的一番简化，七桥问题的确就变成了上右图（即为第五讲习题1中的图（9）是不是能一笔画成的问题了。很容易看出图中共有4个奇点，由上一讲得到的判定法则可知，它不能一笔画成，因而人们根本不能一次连续不断地走过七座桥。这样七桥问题就得到了圆满的解决。这种解法是大数学家欧拉找到的。这种简化也就是一种抽象过程。所谓“抽象”就是在解决实际问题的过程中，舍弃与问题无关的方方面面。而只抓住那个能体现问题实质的东西。就像在七桥问题中，陆地和岛的大小、桥的宽窄和长短都是与问题无关的东西。最后，再把解决七桥问题的要点总结一下：把陆地和岛缩小画成点，把桥画成线，这样就把原图变成了简单的几何图形了。如果这种由点和线组成的图形是一笔画，人就能一次通过所有的桥；如果这种图形不能一笔画成，人就不能一次通过所有的桥。由前述判定法则可知，有0个奇点或2个奇点的图形是一笔画，超过两个奇点时，图形就不能一笔画出来。模仿这种思路，也能解决类似好多问题。附送：2021-2022年二年级数学 奥数讲座 仔细审题解数学题很关键的一步是审题。如果把题目看错了，或是把题意理解错了，那样解题肯定是得不出正确的答案来的。什么叫审题？扼要地讲，审题就是要弄清楚：未知数是什么？已知数是什么？条件是什么？有一种类型的数学题叫“机智题”。在这一讲要通过解这种题体会如何审题。例1 树上有5只小鸟，飞起了1只，还剩几只？树上有5只小鸟，“叭”地一声，猎人用枪打下来1只，树上还剩几只？解：5-1=4（只），树上还剩4只小鸟。对这一问，如果你还像上面那样算就错了。正确地算法应该是：5-1-4=0（只）为什么呢？听到“叭”地一声响，其他4只会被吓飞的，这叫“隐含的条件”，在题目中虽没有明确地说出来，解题时却要考虑到。例2 要把一个篮子里的5个苹果分给5个孩子，使每人得到1个苹果，但篮子里还要留下一个苹果，你能分吗？解：能。最后一个苹果留在篮子里不拿出来，把它们一同送给一个孩子。这是因为“篮子里留下一个苹果和每个孩子分得一个苹果”这两个条件并不矛盾（见图123）。例3 两个父亲和两个儿子一起上山捕猎，每人都捉到了一只野兔。拿回去后数一数一共有兔3只。为什么？解：“两个父亲和两个儿子”实际上只是3个人：爷爷、爸爸和孩子。“爸爸”这个人既是父亲又是儿子。再数有几个爸爸几个儿子时，把他算了两次。这是数数与计数时必须注意的（见图124）。例4 一个小岛上住着说谎的和说真话的两种人。说谎人句句谎话，说真话的人句句是实话。假想某一天你去小岛探险，碰到了岛上的三个人A、B和C。互相交谈中，有这样一段对话：A说：B和C两人都说谎；B说：我没有说谎；C说：B确实在说谎。小朋友，你能知道他们三个人中，有几个人说谎，有几个人说真话吗？解：这是并不难的一道逻辑推理问题。怎样解答这个问题呢？有的人一定会列成下面形式的表格，想由此把所有的可能情况都判断出来，认为这样就可以得到答案了。人 说谎 说真话A _ _B _ _C _ _但是，如果你也真的这样做的话，你是无论如果得不出答案的，因为从这道题目所给出的条件中根本无法判断出某一个人是说谎还是说真话。你这样解题，说明你把解题的目标（未知数）改变了。请你再看一下，题目问的是什么？题目并没有问“谁说谎，谁说真话”？而是在问“几个人说谎，几个人说真话？”正确的答案是不难得到的：因为B和C两人说的话正好相反，所以一定有一个人说谎，另一个人说真话；由此又可知道，他们两人不可能都说谎，所以A必定说谎。于是可知3个人有2个人说谎，有一个人说真话。例5 如图125，三根火柴棍可以组成一个等边三角形，再加三根火柴棍，请你组成同样大小的四个等边三角形。解：请你先不要继续往下看，自己想一想能不能用六根火柴棍组成四个同样大小的等边三角形？通常，很多人在解这题时，往往自己给自己多加了一个限制条件：“在平面上组成等边三角形”。但是，仔细看看，原题并没有限制你在平面上解题。由于给自己多加了一个条件，他们的思想就会被限制在平面上解题，那就无论如何也解不出来。这也是把题意理解错了的一种情况。但是，如图126所示，只要把思维从平面扩大到立体空间，你就能轻而易举找到问题的答案。例6 一笔画出由四条线段连接而成的折线把九个点串起来，你能做到吗？（见图127）。解：先不要往下看，你先画画试试。你可能会画出类似于下面的各种各样的折线来，但你很快会发现，它们都不是符合题目要求的答案（见图128）。总结一下画过的折线的特点，显然这些线段都没有超出这9个点所决定的正方形。再仔细看看已知条件，问题里并没有这一条限制，画线段的时候没有不让你超出这个正方形。明白了这点，就不难得到正确的答案了（见图129）。回想一下开始的想法也是属于把题意理解错了的情况，但是这种错误是很不容易被自己发现的。只有在解题的过程中，通过对自己的失败的解法加以总结，再与题目中所给出的已知条件加以对照，才有可能发现自己“不自觉”的错误想法。