2021-2022年二年级数学 奥数讲座 找规律（三）

2021-2022年二年级数学 奥数讲座 找规律（三）数学家看问题，总想找规律.我们学数学，也要向他们学习。找规律，要从简单的情况着手，仔细观察，得到启示，大胆猜想，找出一般规律，还要进行验证，最后还需要证明（在小学阶段不要求同学们进行证明）。例1 沿直尺的边缘把纸上的两个点连起来，这个图形就叫做线段。这两个点就叫线段的端点，如图811所示。不难看出，线段也可以看成是直线上两点间的部分。如果一条直线上标出11个点，如图812所示，任何两点间的部分都是一条线段，问共有多少条线段。解：先从简单的情况着手。（1）画一画，数一数：（见图813）（2）试着分析：2个点，线段条数：1=13个点，线段条数：3=2+14个点，线段条数：6=3+2+15个点，线段条数：10=4+3+2+1（3）大胆猜想：一条直线上有若干点时线段的条数总是从1开始的一串自然数相加之和，其中最大的自然数比点数小1。（4）进行验证：对于更多点的情况，对猜想进行验证，看猜想是否正确，如果正确，就增加了对猜想的信心。如：6个点时：对不对？对。见图 814。线段条数：5+4+3+2+1=15（条）。（5）应用规律：应用猜想到的规律解决更复杂的问题。当直线上有11个点时，线段的条数应是：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（条）。例2 如图82中（1）（5）所示两条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，那么，11条直线相交最多有多少交点？解：从简单情况着手研究：（1）画一画、数一数图8-2（2）试着分析：直线条数 最多交点数1 02 1=13 3=2+14 6=3+2+15 10=4+3+2+1（3）大胆猜想：若干条直线相交时，最多的交点数是从1开始的一串自然数相加之和，其中最大的自然数比直线条数小1。（4）进行验证：见图83。取6条直线相交，画一画，数一数，看一看最多交点个数与猜想的是否一致，若相符，则更增强了对猜想的信心。用猜想的算法进行计算：最多交点数应是5+4+3+2+1=15（个）。（5）应用规律：应用猜想到的规律解决更复杂的问题。当有11条直线相交时，最多的交点数应是：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（个）。例3 如图84所示，一张大饼，切1刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，切3刀最多切成7块，问切10刀最多切成多少块？解：从最简单情况着手研究。（1）画一画、数一数（2）试着分析：所切刀数 切出的块数0 11 2=1+12 4=1+1+23 7=1+1+2+34 11=1+1+2+3+4（3）大胆猜想：把一张大饼切若干刀时，切成的最多块数等于从1开始的一串自然数相加之和加1。其中最大的自然数等于切的刀数。（4）进行验证：见图85对大饼切5刀的情况用两种方法求解，看结果是否一致，若一致则更增强了对猜想的信心。数一数：16块。算一算：1+1+2+3+4+5=16（块）。（5）应用规律：把大饼切10刀时，最多切成的块数是：1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=1+55=56（块）。附送：2021-2022年二年级数学 奥数讲座 数与形相映形和数的密切关系，在古代就被人们注意到了。古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子。例1 最初的数和最简的图相对应。这是古希腊人的观点，他们说一切几何图形都是由数产生的。例2 我国在春秋战国时代就有了“洛图”（见下图）。图中也是用“圆点”表示数，而且还区分了偶数和奇数，偶数用实心点表示，奇数用空心点表示。你能把这张图用自然数写出来吗？见下图所示，这个图又叫九宫图。例3 古希腊数学家毕达哥拉斯发现了“形数”的奥秘。比如他把1，3，6，10，15，叫做三角形数。因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形，见下图。毕达哥拉斯还从圆点的堆垒规律，发现每一个三角形数，都可以写成从1开始的n个自然数之和，最大的自然数就是三角形底边圆点的个数。第一个数：1=1第二个数：3=1+2第三个数：6=1+2+3第四个数：10=1+2+3+4第五个数：15=1+2+3+4+5第n个数：1+2+3+4+5+n指定的三角形数。比如第100个三角形数是：例4 毕达哥拉斯还发现了四角形数，见下图。因为用圆点按四角形数可以堆垒成正方形，因此它们最受毕达哥拉斯及其弟子推崇。第一个数：1=12=1第二个数：4=22=1+3第三个数：9=32=1+3+5第四个数：16=42=1+3+5+7第五个数：25=52=1+3+5+7+9第n个数：n2=1+3+5+9+（2n-1）。四角形数（又叫正方形数）可以表示成自然数的平方，也可以表示成从1开始的几个连续奇数之和。奇数的个数就等于正方形的一条边上的点数。例5 类似地，还有四面体数见下图。仔细观察可发现，四面体的每一层的圆点个数都是三角形数。因此四面体数可由几个三角形数相加得到：第一个数：1第二个数：4=1+3第三个数：10=1+3+6第四个数：20=1+3+6+10第五个数：35=1+3+6+10+15。例6 五面体数，见下图。仔细观察可以发现，五面体的每一层的圆点个数都是四角形数，因此五面体数可由几个四角形数相加得到：第一个数：1=1第二个数：5=1+4第三个数：14=1+4+9第四个数：30=1+4+9+16第五个数：55=1+4+9+16+25。例7 按不同的方法对图中的点进行数数与计数，可以得出一系列等式，进而可猜想到一个重要的公式。由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关系。方法1：先算空心点，再算实心点：22+22+1。方法2：把点图看作一个整体来算32。因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：22+22+1=32。方法1：先算空心点，再算实心点：32+23+1。方法2：把点图看成一个整体来算：42。因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：32+23+1=42。方法1：先算空心点，再算实心点：42+24+1。方法2：把点图看成一个整体来算52。因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：42+24+1=52。把上面的几个等式连起来看，进一步联想下去，可以猜到一个一般的公式：22+22+1=3232+23+1=4242+24+1=52n2+2n+1=（n+1）2。利用这个公式，也可用于速算与巧算。如：92+29+1=（9+1）2=102=100992+299+1=（99+1）2=1002=10000。