2021-2022年三年级数学 奥数讲座 巧求周长（二）

2021-2022年三年级数学 奥数讲座 巧求周长（二）专题简析：在解答比较复杂的关于长方形、正方形周长计算的问题时，生搬硬套公式往往行不通，这时灵活地运用所学知识在解题中显得相当的重要。解答稍复杂的有关长方形、正方形周长的问题，首先要仔细观察，认真思考，想想已知条件和要求问题之间有什么联系，应该先求什么，再求什么，然后灵活运用长方形、正方形周长公式进行计算。例题1 把长130厘米的铁丝围成一个长方形，接头处重合2厘米，要使长比宽多18厘米，长和宽各是多少厘米？思路导航：把长130厘米的铁丝围成一个长方形，去掉接头处重合的2厘米，可知围成的长方形的周长为1302=128厘米。因为长方形的周长=（长宽）2，所以长与宽的和为1282=64厘米。又因为题目中还告诉长与宽的差为18厘米，因此这道题可以转化为和差应用题来解。13-2=128厘米1282=64厘米长：（6418）2=41厘米宽：（6418）2=23厘米练 习 一1如图：已知这个长方形的周长为38厘米，阴影部分为正方形，求长方形的长和宽。2小华家给长方形的院子装上了篱笆墙，由于门宽2米，所以篱笆墙共长16米，而这个长方形的宽是长的一半。长和宽各是多少米？3一个周长为20厘米的正方形，从中间剪开成为两个大小相等的长方形。这两个长方形周长共多少厘米？例题2 一根铁丝长80厘米，围成一个边长为8厘米的正方形，余下的铁丝围成一个长为14厘米的长方形。这个长方形的宽是多少厘米？思路导航：要求长方形的宽是多少，必须先求出这个长方形的周长是多少，也就是这根铁丝余下的长度。（1）正方形的周长：84=32厘米（2）长方形的周长：8032=48厘米（3）长方形的宽：48214=10厘米练 习 二1一根铁丝长100厘米，围成一个边长为10厘米的正方形，余下的铁丝围成一个宽为10厘米的长方形。这个长方形的长是多少厘米？2一根绳子长78厘米，围成一个长12厘米，宽9厘米的长方形，余下的围成一个正方形。这个正方形的边长是多少厘米？3一根铁丝围成一个边长为7厘米的正方形，余下的正好围成一个长为12厘米、宽为10厘米的长方形。这根铁丝长多少厘米？例题3 一个长方形的周长是正方形的2倍，正方形的边长与长方形的宽都是4厘米。长方形的长是多少厘米？思路导航：根据长方形的周长是正方形的2倍，我们就应先求出正方形的周长，然后根据它们之间的关系，求出长方形的周长，再求出长方形的长。（1）正方形的周长：44=16厘米（2）长方形的周长：162=32厘米（3）长方形的长：3224=12厘米。练 习 三1一个长方形的周长是正方形的4倍，正方形边长与长方形的宽为6厘米。长方形长多少厘米？2一个长方形的周长是正方形的2倍，正方形的边长与长方形的宽为10厘米。长方形的长是多少厘米？3一张长方形纸，长28厘米，宽15厘米，剪下一个最大的正方形后，余下的长方形纸周长是多少？例题4 三个同样大小的长方形正好拼成一个正方形，正方形的周长是48厘米，求每个长方形的周长。思路导航：要求每个长方形的周长必须先求出每个长方形的长和宽，长方形的长正好是正方形的边长，宽是把正方形的边长平均分成3份，其中的1份，根据正方形的周长是48厘米，可求出它的边长为484=12厘米，那么长方形的周长是（124）2=32厘米。练 习 四1四个同样大小的长方形正好拼成一个正方形，正方形的周长为64厘米，长方形周长是多少？2六个同样大小的长方形正好拼成一个如下图的正方形，正方形周长为48厘米，每个长方形周长是多少？3明明用学具盒里的三个同样大小的长方形拼成了一个大长方形，已知大长方形的周长是60厘米，长是宽的4倍，求小长方形的周长。例题5 一张长方形的纸，长是28厘米，宽是15厘米，先剪下一个最大的正方形，再从余下的纸片中，再剪下一个最大的正方形。最后余下的长方形周长是多少？思路导航：根据题中的要求，我们可以画出一张示意图。观察图形，我们发现：第一次剪下的以宽为标准的边长为15厘米的正方形，这时长边还剩下2815=13厘米；第二次剪下的以长边剩下的13厘米为边长的正方形，这时最后剩下的长方形宽是1513=2厘米，长为13厘米，即周长是：（132）2=30厘米。练 习 五1一张长为25厘米，宽为10厘米的长方形，先剪下一个最大的正方形，余下的长方形的周长是多少？2一张长方形纸，长为32厘米，宽为15厘米，先剪下一个最大的正方形，再从余下的纸片中，又剪下一个最大的正方形，最后余下的长方形周长是多少？附送：2021-2022年三年级数学 奥数讲座 巧用矩形面积公式同学们都知道求正方形和长方形面积的公式：正方形的面积=aa(a为边长)，长方形的面积=ab(a为长，b为宽)。利用这两个公式可以计算出各种各样的直角多边形的面积。例如，对左下图，我们无法直接求出它的面积，但是通过将它分割成几块，其中每一块都是正方形或长方形(见右下图)，分别计算出各块面积再求和，就得出整个图形的面积。例1 右图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度(单位：米)。这个图形的面积等于多少平方米？分析与解：将此图形分割成长方形有下面两种较简单的方法，图形都被分割成三个长方形。根据这两种不同的分割方法，都可以计算出图形的的面积。52(53)3(534)2=58(米2)；或5(232)3(23)4258(米2)。上面的方法是通过将图形分割成若干个长方形，然后求图形面积的。实际上，我们也可以将图形“添补”成一个大长方形(见下图)，然后利用大长方形与两个小长方形的面积之差，求出图形的面积。(534)(232)-23-(23)458(米2)；或(534)(232)-2(34)-3458(米2)。由例1看出，计算直角多边形面积，主要是利用“分割”和“添补”的方法，将图形演变为多个长方形的和或差，然后计算出图形的面积。其中“分割”是最基本、最常用的方法。例2 右图为一个长50米、宽25米的标准游泳池。它的四周铺设了宽2米的白瓷地砖(阴影部分)。求游泳池面积和地砖面积。分析与解：游泳池面积=50251250(米2)。求地砖面积时，我们可以将阴影部分分成四个长方形(见下图)，从而可得白瓷地砖的面积为(2252)225022316(米2)；或(2502)222522316(米2)。求地砖的面积，我们还可以通过“挖”的方法，即从大长方形内“挖掉”一个小长方形(见右图)。从而可得白瓷地砖面积为(5022)(2522)-5025=316(米2)。例3 下图中有三个封闭图形，每个封闭图形均由边长为1厘米的小正方形组成。试求各图形的面积。解：每个小方格的面积为1厘米2。图(1)可分成四个凸出块和一个中间块，这五块的面积都是224(厘米2)。图(1)的面积为4520(厘米2)。图(2)可以看成是从长7厘米、宽6厘米的长方形中，“挖掉”4个边长为2厘米的正方形。它的面积等于76-(22)4=26(厘米2)。图(3)像个宝鼎，竖行分割，从左至右分成五块，每块面积依次为2，5，3，5，2厘米2，总面积为2535217(厘米2)。例3中分割成正方形、长方形的方法很多，因而具体计算面积的方法也很多。由于图形内所含方格数不多，所以也可以通过数图中小方格的数目来求得面积。例4 一个长方形的周长是22厘米。如果它的长和宽都是整数厘米，那么这个长方形的面积(单位：厘米2)有多少种可能值？最大、最小各是多少？解：因为长方形的周长是22厘米，所以它的长、宽之和是22211(厘米)。考虑到长、宽都是整数厘米，只有如下情形：所以，这个长方形的面积有五种可能值：10，18，24，28，30厘米2。最大是30厘米2，最小是10厘米2。