2021-2022年三年级数学 奥数讲座 植树问题

2021-2022年三年级数学 奥数讲座 植树问题绿化工程是造福子孙后代的大事。确定在一定条件下栽树、种花的棵数是最简单、最基本的“植树问题”。还有许多应用题可以化为“植树问题”来解，或借助解“植树问题”的思考方法来解。先介绍四类最简单、最基本的植树问题。为使其更直观，我们用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。显然，只有下面四种情形：(1)非封闭线的两端都有“点”时，“点数”“段数”1。(2)非封闭线只有一端有“点”时，“点数”=“段数”。(3)非封闭线的两端都没有“点”时，“点数”“段数”-1。(4)封闭线上，“点数”=“段数”。最简单、最基本的植树问题只有这四类情形。例如，一条河堤长420米，从头到尾每隔3米栽一棵树，要栽多少棵树？这是第(1)种情形，所以要栽树42031141(棵)。又如，肖林家门口到公路边有一条小路，长40米。肖林要在小路一旁每隔2米栽一棵树，一共要栽多少棵树？由于门的一端不能栽树，公路边要栽树，所以，属于第(2)种情形，要栽树40220(棵)。再如，两座楼房之间相距30米，每隔2米栽一棵树，一直行能栽多少棵树？因紧挨楼房的墙根不能栽树，所以，属于第(3)种情形，能栽树302-114(棵)。再例如，一个圆形水池的围台圈长60米。如果在此台圈上每隔3米放一盆花，那么一共能放多少盆花？这属于第(4)种情形，共能放花60320(盆)。许多应用题都可以借助或归结为上述植树问题求解。例1在一段路边每隔50米埋设一根路灯杆，包括这段路两端埋设的路灯杆，共埋设了10根。这段路长多少米？解：这是第(1)种情形，所以，“段数”1019。这段路长为50(10-1)450(米)。答：这段路长450米。例2小明要到高层建筑的11层，他走到5层用了100秒，照此速度计算，他还需走多少秒？分析：因为1层不用走楼梯，走到5层走了4段楼梯，由此可求出走每段楼梯用100(51)25(秒)。走到11层要走10段楼梯，还要走6段楼梯，所以还需256150(秒)。解：100(5-1)(11-5)150(秒)。答：还需150秒。例3一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共30辆，每辆车长4米，前后每辆车相隔5米。这列车队共排列了多长？如果车队每秒行驶2米，那么这列车队要通过535米长的检阅场地，需要多少时间？解：车队间隔共有30-129(个)，每个间隔5米，所以，间隔的总长为(30-1)5145(米)，而车身的总长为304120(米)，故这列车队的总长为(30-1)5+304265(米)。由于车队要行265535800(米)，且每秒行2米，所以，车队通过检阅场地需要(265535)2400(秒)6分40秒。答：这列车队共长265米，通过检阅场地需要6分40秒。例4下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形。它的长度是多少？十个这样的铁环连在一起有多长？解：如上图所示。关键是求出重叠的“环扣”数(每个长6毫米)。根据植树问题的第(3)种情形知，五个连在一起的“环扣”数为5-14(个)，所以重叠部分的长为6(5-1)24(毫米)，又4厘米=40毫米，所以五个铁环连在一起长405-6(51)176(毫米)。同理，十个铁环连在一起的长度为4010-6(10-1)=346(毫米)。答：五个铁环连在一起的长度为176毫米。十个铁环连在一起的长度为346毫米。例5父子俩一起攀登一个有300个台阶的山坡，父亲每步上3个台阶，儿子每步上2个台阶。从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少个台阶？(重复踏的台阶只算一个)。解：因为两端的台阶只有顶的台阶被踏过，根据已知条件，儿子踏过的台阶数为3002150(个)，父亲踏过的台阶数为3003100(个)。由于23=6，所以父子俩每6个台阶要共同踏一个台阶，共重复踏了300650(个)。所以父子俩共踏了台阶150100-50200(个)。答：父子俩共踏了200个台阶。 练习1.学校有一条长60米的走道，计划在道路一旁栽树。每隔3米栽一棵。(1)如果两端都各栽一棵树，那么共需多少棵树苗？(2)如果两端都不栽树，那么共需多少棵树苗？(3)如果只有一端栽树，那么共需多少棵树苗？2.一个长100米，宽20米的长方形游泳池，在离池边3米的外围圈(仍为长方形)上每隔2米种一棵树。共种了多少棵树？3.一根90厘米长的钢条，要锯成9厘米长的小段，一共要锯几次？4.测量人员测量一条路的长度。先立了一个标杆，然后每隔40米立一根标杆。当立杆10根时，第1根与第10根相距多少米？5.学校举行运动会。参加入场式的仪仗队共180人，每6人一行，前后两行间隔120厘米。这个仪仗队共排了多长？6.在一条长1200米的河堤边等距离植树(两端都要植树)。已挖好每隔6米植一棵树的坑，后要改成每隔4米植一棵树。还要挖多少个坑？需要填上多少个坑？7.一个车队以5米/秒的速度缓缓地通过一座210米长的大桥，共用100秒。已知每辆车长5米，两车之间相隔10米，那么这个车队共有多少辆车？附送：2021-2022年三年级数学 奥数讲座 横式数字谜（一）在一个数学式子(横式或竖式)中擦去部分数字，或用字母、文字来代替部分数字的不完整的算式或竖式，叫做数字谜题目。解数字谜题就是求出这些被擦去的数或用字母、文字代替的数的数值。例如，求算式324+=528中所代表的数。根据“加数=和-另一个加数”知，=582-324258。又如，求右竖式中字母A，B所代表的数字。显然个位数相减时必须借位，所以，由12-B5知，B12-57；由A-13知，A314。解数字谜问题既能增强数字运用能力，又能加深对运算的理解，还是培养和提高分析问题能力的有效方法。这一讲介绍简单的算式(横式)数字谜的解法。解横式数字谜，首先要熟知下面的运算规则：(1)一个加数+另一个加数=和；(2)被减数-减数=差；(3)被乘数乘数=积；(4)被除数除数=商。由它们推演还可以得到以下运算规则：由(1)，得 和-一个加数=另一个加数；其次，要熟悉数字运算和拆分。例如，8可用加法拆分为80817263544；24可用乘法拆分为24124=2123846(两个数之积)=1212226=(三个数之积)=12262223=(四个数之积)例1 下列算式中，*各代表什么数？(1)+513-6； (2)28-157；(3)3=54； (4)387；(5)56*7。解：(1)由加法运算规则知，=13-6-52；(2)由减法运算规则知，28-(157)6；(3)由乘法运算规则知，54318；(4)由除法运算规则知，=873261；(5)由除法运算规则知，*5678。例2 下列算式中，各代表什么数？(1)+=48；(2)621-；(3)5-18612；(4)63-4513。解：(1)表示一个数，根据乘法的意义知，+=3，故=48316。(2)先把左端(6)看成一个数，就有(6)21，321-6，1535。(3)把5，186分别看成一个数，得到5=12186，5=15，=1553。(4)把63，45分别看成一个数，得到4563-13，455，4559。例3(1)满足581271的整数等于几？(2)180是由哪四个不同的且大于1的数字相乘得到的？试把这四个数按从小到大的次序填在下式的里。180=。(3)若数，满足=48和=3，则，各等于多少？分析与解：(1)因为5812410，7112511，并且为整数，所以，只有=5才满足原式。(2)拆分180为四个整数的乘积有很多种方法，如180145912330但拆分成四个“大于1”的数字的乘积，范围就缩小了，如18022592356若再限制拆分成四个“不同的”数字的乘积，范围又缩小了。按从小到大的次序排列只有下面一种：1802356。所以填的四个数字依次为2，3，5，6。(3)首先，由=3知，因此，在把48拆分为两数的乘积时，有4848124216312486，其中，只有48124中，124=3，因此=12，=4。这道题还可以这样解：由=3知，=3。把=48中的换成3，就有(3)48，于是得到=48316。因为1644，所以=4。再把=3中的换成4，就有=3=43=12。这是一种“代换”的思想，它在今后的数学学习中应用十分广泛。下面，我们再结合例题讲一类“填运算符号”问题。例4 在等号左端的两个数中间添加上运算符号，使下列各式成立：(1)4 4 4 424；(2)5 5 5 5 5=6。解：(1)因为444424，所以必须填一个“”。4416，剩下的两个4只需凑成8，因此，有如下一些填法：444424；444424；444424。(2)因为5+1=6，等号左端有五个5，除一个5外，另外四个5凑成1，至少要有一个“”，有如下填法：55+5-5+56；5555-56；55555=6；555556。由例4看出，填运算符号的问题一般会有多个解。这些填法都是通过对问题的综合观察、分析和试算得到的，如果只是盲目地“试算”，那么就可能走很多弯路。例5 在下式的两数中间添上四则运算符号，使等式成立：8 2 33 3。分析与解：首先考察右端“3 3”，它有四种填法：3+36； 3-30；339； 33=1。再考察左端“8 2 3”，因为只有一个奇数3，所以要想得到奇数，3的前面只能填“”或“-”，要想得到偶数，3的前面只能填“”。经试算，只有两种符合题意的填法：8-2333；82-333。填运算符号可加深对四则运算的理解和认识，也是培养分析能力的好内容。