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二二、二面角的平面角二面角的平面角一一、二面角的定义二面角的定义 从空间一直线出发的两个半从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角平面所组成的图形叫做二面角1、定义、定义2、求二面角的平面角方法、求二面角的平面角方法点点P在棱上在棱上点点P在一个半平面上在一个半平面上点点P在二面角内在二面角内ABPABppABpABO定义法定义法三垂线定理法三垂线定理法垂面法垂面法二面角的知识回顾练习练习1.如图如图 ABCD是正方形是正方形，PD平面平面ABCD,则则(1)面面PAB与面与面ABCD所成二面角的所成二面角的平面角是平面角是_,(2)面面PBC与面与面ABCD所成二面角的所成二面角的平面角是平面角是_,(3)面面PAD与面与面PCD所成的二面角的所成的二面角的平面角是平面角是_,(4)面面PCD与面与面ACD所成的二面角所成的二面角的平面角是的平面角是 ，ABCDPOP PA AD DP PC CD DA AD DC CP PO OD D解：由正方体的面对角线的长都相等可解：由正方体的面对角线的长都相等可知，知，A A1 1BDBDC C1 1BDBD，且为正三角形，且为正三角形取取BDBD的中点的中点O O，连结，连结A A1 1O O、C C1 1O O、A A1 1C C1 1，则，则A A1 1OBDOBD，C C1 1OBDOBD，AA1 1OCOC1 1就是二面角就是二面角A A1 1BDBDC C1 1的平面角。的平面角。1111CDBDABACO二面角的例题分析AO lD例例1、已知锐二面角已知锐二面角 l ，A为面为面 内一点内一点，A到到 的距离为的距离为 2 ，到到 l 的距离为的距离为 4，求求二面角二面角 l 的大小。的大小。3解解：过过 A作作 AO 于于O，过过 O作作 OD l 于于D，连，连AD则由三垂线定理得则由三垂线定理得 AD l3AO=2 ，AD=4ADO就是二面角就是二面角 l 的平面角的平面角 ADO=60二面角二面角 l 的大小为的大小为60 在在RtADO中，中，17 二面角的例题分析AO lD例例1、已知锐二面角已知锐二面角 l ，A为面为面 内一点内一点，A到到 的距离为的距离为 2 ，到到 l 的距离为的距离为 4，求求二面角二面角 l 的大小。的大小。3解解：过过 A作作 AO 于于O，过过 O作作 OD l 于于D，连，连AD则由三垂线定理得则由三垂线定理得 AD l3AO=2 ，AD=4ADO就是二面角就是二面角 l 的平面角的平面角 ADO=60二面角二面角 l 的大小为的大小为60 在在RtADO中，中，作作证证计算计算17结论结论 二面角的计算小结1、找出或作出二面角的平面角找出或作出二面角的平面角2、证明（证明（1）中的角就是所求的角中的角就是所求的角3、计算出此角的大小计算出此角的大小一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”161 1、二面角指的是（、二面角指的是（ ）A A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。B B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。C C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。D D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。2 2、二面角的平面角的顶点在二面角的上，、二面角的平面角的顶点在二面角的上，角的两边分别在二面角的角的两边分别在二面角的内，且两内，且两边都与棱，它的度数与它的平面角的度边都与棱，它的度数与它的平面角的度数。数。复习回顾复习回顾B棱棱两个半平面两个半平面垂直垂直相等相等3、如图，、如图，AB是圆的直径，是圆的直径，PA垂垂直圆所在的平面，直圆所在的平面，C是圆上任一点，是圆上任一点，则二面角则二面角P-BC-A的平面角为的平面角为:A.ABP B.ACP C.都不是都不是OABCP60二面角4、已知、已知P为二面角为二面角 内一内一点，且点，且P到两个半平面的距离都到两个半平面的距离都等于等于P到棱的距离的一半，则这到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？个二面角的度数是多少？ lPlAB 二面角的例题分析ABCD例例1 1、如图，将等腰直角三角形纸片沿、如图，将等腰直角三角形纸片沿 斜线斜线BCBC上的高上的高ADAD折成直二面角折成直二面角. . 求证求证: :060,BACCDBD 解解:(:(略略) )分析分析: 由直二面角的定义可知, BDC 为直角 , 就是这个直二面角的平面角. 所以CDBD.若设aAD ,则aCDBD,即可 求得aBCACAB2，那么BAC为等边 三角形, 所以060BAC.例例2.2.如图，已知如图，已知P P是二面角是二面角-ABAB-棱上一点，过棱上一点，过P P分分别 在别 在 、 内 引 射 线内 引 射 线P MP M 、 P NP N， 且， 且 M P N = 6 0 M P N = 6 0 BPM=BPN=45BPM=BPN=45 ，求此二面角的度数。，求此二面角的度数。ABPMNCDO解解：在在PBPB上取不同于上取不同于P P 的一点的一点O O，在在 内过内过O O作作OCABOCAB交交PMPM于于C C，在在 内作内作ODABODAB交交PNPN于于D D，连连CDCD，可得，可得CODCOD是二面角是二面角-ABAB- -的平面角的平面角设设PO = aPO = a ， BPM =BPN = 45BPM =BPN = 45CO=a，DO=a, PC= a ,PD = a22又又MPN=60MPN=60 CD=PC= a2COD=90COD=90因此，二面角的度数为因此，二面角的度数为90aOPC二面角的例题分析二面角的小结二二 面面 角角一、二面角的定义：一、二面角的定义：二、二面角的表示方法：二、二面角的表示方法：三、二面角的平面角三、二面角的平面角：四、二面角的平面角的作法四、二面角的平面角的作法：五、二面角的计算五、二面角的计算：二二 面面 角角 AB 二二 面面 角角 CAB D二二 面面 角角 l 1、根据定义作出来、根据定义作出来2、利用直线和平面垂、利用直线和平面垂 直作出来直作出来3、借助三垂线定理或、借助三垂线定理或 其逆定理作出来其逆定理作出来1、找到或作出二面角的平面角、找到或作出二面角的平面角2、证明、证明 1中的角就是所求的中的角就是所求的 角角3、计算所求的角、计算所求的角一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”从一条直线出发的两个半从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做平面所组成的图形叫做二二面角面角。这条直线叫做。这条直线叫做二面二面角的棱角的棱。这两个半平面叫。这两个半平面叫做做二面角的面二面角的面。 1、二面角的平面角、二面角的平面角 必须满足三个条件必须满足三个条件2、二面角的平面角、二面角的平面角 的大小与的大小与 其顶点其顶点 在棱上的位置无关在棱上的位置无关3、二面角的大小用、二面角的大小用 它的平面角的大它的平面角的大 小来度量小来度量
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