周期性对称性幂函数图像及性质

-授课类型T 周期性与对称性C 幂函数图像T 幂函数性质教学容周期性1、周期函数的定义一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当*取定义域的每一个值时，都有，则函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的一个周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。显然，假设T是函数的周期，则也是的周期。如无特别说明，我们后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。说明：1、周期函数定义域必是无界的。 2、周期函数不一定都有最小正周期。推广：假设，则是周期函数，是它的一个周期；，则周期为T；的周期为的周期为。2、常见周期函数的函数方程：1函数值之和定值型，即函数对于定义域中任意满足，则有，故函数的周期是特例：，则是以为周期的周期函数；2两个函数值之积定值型，即倒数或负倒数型假设，则得，所以函数的周期是3分式型，即函数满足由得，进而得，由前面的结论得的周期是4递推型：或，则的周期T= 6a联系数列,则的周期T=5a；其中，则是以为周期的周期函数。3、函数的对称性与周期性之间的联系：双对称性函数的周期性具有多重对称性的函数必具有周期性。即，如果一个函数有两条对称轴或一条对称轴和一个对称中心、或两个纵坐标一样的对称中心，则该函数必为周期函数。相关结论如下：结论1：两线对称型：如果定义在上的函数有两条对称轴、，即，且，则是周期函数，其中一个周期结论2：两点对称型：如果函数同时关于两点、成中心对称，即和，则是周期函数，其中一个周期结论3：一线一点对称型：如果函数的图像关于点成中心对称，且关于直线成轴对称，则是周期函数，其中一个周期例1、定义域为的函数满足，且为偶函数，则A是周期为4的周期函数B是周期为8的周期函数C是周期为12的周期函数D不是周期函数例2、定义在上的函数，给出以下四个命题：1假设是偶函数，则的图象关于直线对称2假设则的图象关于点对称3假设=，且，则的一个周期为2。4与的图象关于直线对称。其中正确命题的序号为。对称性一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。二、抽象函数的对称性1、函数图象本身的对称性自对称问题1轴对称的图象关于直线对称的图象关于直线对称.特别地，函数的图像关于轴对称的充要条件是.2中心对称的图象关于点对称。的图象关于点对称.特别地，函数的图像关于原点对称的充要条件是.3对称性与周期性之间的联系假设函数既关于直线对称，又关于直线对称，则函数关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为；且函数为周期函数，周期；特别地：假设是偶函数，其图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数； 假设函数既关于点对称，又关于点对称，则函数关于无数个点对称，相邻对称中心的距离为；且函数为周期函数，周期；假设函数既关于直线对称，又关于点对称，则函数关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为，相邻对称轴或中心的距离为；且函数为周期函数，周期。特别地：假设是奇函数，其图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数。1.函数定义域为，且对于任意实数满足，当时，则.2.函数，给出以下四个命题：当且仅当时，是偶函数； 函数一定存在零点；函数在区间上单调递减； 当时，函数的最小值为则所有真命题的序号是幂函数的图像与性质【知识梳理】1 幂函数的定义：形如 的函数称为幂函数(为常数,)2常用幂函数性质及其图像 定义域值域奇偶性单调性定点3 性质如下：1所有的幂函数在0，+都有定义，并且图象都过点1，1；2时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；3时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴【典型例题分析】【例1】有以下函数：，其中哪些为幂函数？ 变式练习：幂函数的图像经过点，幂函数，则以下四个函数，中，是幂函数的是_【例2】求函数的定义域。【例3】假设的图像与坐标轴没有公共点，且关于轴对称，求的表达式。变式练习1：函数是幂函数，数m的值。变式练习2：幂函数的大致图像是如下图的 再变：在上题的根底上加上函数是奇函数，则m的取值为变式练习3：幂函数的图像不过原点，则的值为_【例4】比拟以下各组中两个数的大小：1与 2与变式练习1：比拟以下各组中两个数的大小1 23变式练习2：，求的取值围变式练习4：，求的取值围。【例5】作出函数的图像。变式练习1：作出函数的图像。【例6】利用函数的图像解不等式：【例7】函数，【例8】函数与关于对称1求的解析式，并求出的单调区间；2假设，求证：【课堂小练】一、选择题1、使*2*3成立的*的取值围是A、*1且*0B、0*1C、*1D、*12、假设四个幂函数y，y，y，y在同一坐标系中的图象如右图，则a、b、c、d的大小关系是A、dcbaB、abcdC、dcabD、abdc3、在函数y，y2*3，y*2*，y1中，幂函数有A、0个B、1个C、2个D、3个4、假设，且为整数，则以下各式中正确的选项是A、 B、C、 D、5、设，则A、 B、C、 D、6、.假设集合M=y|y=2*, P=y|y=, MP= A、y|y1 B、y|y1 C、y|y0 D、y|y07、设f(*)22*52*11它的最小值是 ( )A、0.5 B、3 C、 D、08、如果a1,b1,则函数f(*)a*b的图象在 ( )A第一、二、三象限 B第一、三、四象限C第二、三、四象限 D第一、二、四象限二、填空题9、0ab1,设aa, ab, ba, bb中的最大值是M，最小值是m，则M，m.10、f*5a*3b*8，f210，则f2=_11、函数y(*22*)29的图象与轴交点的个数是_。12、函数y(*1)31的图象的中心对称点的坐标是_。三、解答题13、14、幂函数f*pZ在0，上是增函数，且在其定义域是偶函数，求p的值，并写出相应的函数f*、15、幂函数的图象与*,y轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值。【课后练习】一、根底稳固1.幂函数的值域为_2.函数的定义域为_3.两个不同的幂函数图像最多有_个交点，最少有_个交点。4.以下函数中，不是幂函数的是 A B C D 5.要作出函数的图像，将函数的图像 A 向上平移3个单位 B 向下平移3个单位C 向左平移3个单位 D向右平移3个单位6.幂函数的图像经过，则的值为 A B C 9 D 7.讨论函数的定义域、值域，并画出它的图像草图。二、能力提升8.如图，函数的示意图，则的值为_9.,试比拟的大小。三、开放研究10.函数递增且为偶函数，求函数的解析式。四、高考体验11.幂函数的图像与轴，轴无交点，且关于轴对称，试确定函数的解析式。. z.