32立体几何中的向量方法3学习教案

会计学132立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法3【教学目标教学目标】 知识与技能：知识与技能： 理解直线的方向向量与平面的法向量的基础上，探究用空间向量表示立体几何中的平行、垂直、夹角、距离等位置关系。能初步利用向量知识解决相关的实际问题及综合问题 。 过程与方法：过程与方法：会向量方法在研究立体几何图形中的作用，进一步体会数形结合的思想方法使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力。 情感态度与价值观：情感态度与价值观：培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育。【重点与难点重点与难点】 重点：重点：向量运算在立体几何证明与计算中的应用 ； 难点：难点：向量问题的转化与恰当的运算方式 。 第1页/共18页 例例1 如图如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这，那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ A1B1C1D1ABCD 图图1解：解：如图如图1，1111 60ABAAADBADBAADAA 设，11AAADABAC 2121)(AAADABAC )(2112122AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以所以6|1 AC答答: 这个晶体的对角线这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的的长是棱长的 倍。倍。6第2页/共18页 练习练习.(P107.2).(P107.2)如图，如图，6060的二面角的棱上的二面角的棱上有有A A、B B两点，两点， 直线直线ACAC、BDBD分别在这个二面角的分别在这个二面角的两个半平面内两个半平面内, ,且都垂直且都垂直AB, AB, 已知已知ABAB4,AC4,AC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的长的长. . BACD 第3页/共18页 例例4 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正是正方形，方形，PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中点，中点， (1)求证：求证：PA/平面平面EDB.ABCDP PE EXYZG解解1 立体立体几何法几何法第4页/共18页ABCDP PE EXYZG解解2：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结证明：连结AC,AC交交BD于点于点G,连结连结EG(1,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2APE依依题题意意得得G1 11 1( , ，( , ，0)0)2 22 211(1,0, 1),( ,0,)22PAEG EGPAEGPA/2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA 平面所以，/第5页/共18页ABCDPEFXYZ-, ,. (2) :.PABCDABCDPDABCD PDDCEPCEFPBPBFPBEFD 例例2. 2. 四四棱棱锥锥中中 底底面面是是正正方方形形底底面面点点 是是的的中中点点 作作交交于于点点求求证证平平面面 证1：如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.)1,1 ,1(PB021210故DEPB)21,21,0(DEDEPB 所以,EDEEFPBEF且由已知EFDPB平面所以第6页/共18页 例例4 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中点，作中点，作EFPB交交PB于点于点F. (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDP PE EF F第7页/共18页,2,PBEFPBDFEFDCPBD 已知由（ ）可知故是二面角的平面角。) 1,(),(zyxPFzyxF则的坐标为设点PBkPF 因为( , ,1)(1,1, 1)( , ,)x y zkk kk所所以以kzkykx1,即0DFPB因为0131)1 ,() 1, 1 , 1 (kkkkkkk所以31k所以ABCDPEFXYZ1 1 2()3 3 3F，(3) 解：建立空间直角坐标系，设DC=1.第8页/共18页)323131(，的坐标为点F)21,21, 0(的坐标为又点E)61,61,31(FE所以2131613666)32,31,31()61,61,31(cosFDFEFDFEEFD因为60 ,60.EFDCPBD所以即二面角 的大小为 112(,)333FD 第9页/共18页 例例4 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中点，作中点，作EFPB交交PB于点于点F. (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDPEFXYZ平面平面PBC的一个法向量为的一个法向量为 解2 如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.1 1(0, )2 2DE 平面平面PBD的一个法向量为的一个法向量为G11( ,0)22CG 1cos,1/2DE GC cos1/ 2, 60第10页/共18页练习练习、如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为量为50kg,在它的顶点处分别受力在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是是60，且，且|F1|=|F2|=|F3|=200N.这块钢板在这这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多少时，才能提起这块钢板？少时，才能提起这块钢板？oABCF1F2F3500kg第11页/共18页立体几何中的向量方法：立体几何中的向量方法：1.1.方向向量与法向量方向向量与法向量2.2.平行关系平行关系3.3.垂直关系垂直关系4.4.夹角问题夹角问题5.5.距离问题距离问题第12页/共18页作业作业导学测评导学测评（十六）（十六）第13页/共18页oxyzABCO1A1B1C1例例1.1. 如图所示如图所示, , 正方体的棱长为正方体的棱长为1 1(1)(1)直线直线OAOA的一个方向向量坐标为的一个方向向量坐标为_(2)(2)平面平面OABC OABC 的一个法向量坐标为的一个法向量坐标为_(3)(3)平面平面ABAB1 1C C 的一个法向量坐标为的一个法向量坐标为_(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)第14页/共18页距离问题：距离问题：(4) 平面平面与与的距离为的距离为d , 则则d d=|=|AP | | |coscos,AP u | |=|AP uu . umDCPAlab第15页/共18页ABCDP PE EXYZ解解3：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依题题意意得得B(1, 1，B(1, 1，0)0)(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)设平面设平面EDB的法向量为的法向量为( , ,1)nx y, nnDEDB 则1101, 1, 1220ynxy于是0PA nPAn 第16页/共18页ABCDP PE EXYZ解解4：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依题题意意得得B(1, 1，B(1, 1，0)0)(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)PAxDEyDB 设解得解得 x,2PADEDB 即PADEDB 于是、 、 共面第17页/共18页