（江西专用）2019中考数学总复习 第二部分 专题综合强化 专题五 几何探究题 类型1 针对训练

第二部分专题五 类型一1(2018南昌模拟)我们定义：有一组邻角相等且对角线相等的凸四边形叫做邻对等四边形概念理解(1)我们所学过的特殊四边形中的邻对等四边形是矩形或正方形；性质探究(2)如图1，在邻对等四边形ABCD中，ABCDCB ，ACDB ，ABCD，求证：BAC与CDB互补；拓展应用(3)如图2，在四边形ABCD中，BCD2B，ACBC5，AB6，CD4.在BC的延长线上是否存在一点E，使得四边形ABED为邻对等四边形？如果存在，求出DE的长；如果不存在，说明理由(1)解：矩形或正方形(2)证明：如答图1，延长CD至E，使CEBA，连接BE.在ABC和ECB中，ABCECB(SAS)，BECA，BACE.ACDB，BDBE，BDEE，CDBBDECDBEBACCDB180，即BAC与CDB互补(3)解：存在这样一点E，使得四边形ABED为邻对等四边形，如答图2，在BC的延长线上取一点E，使得CECD4，连接DE，AE，BD，则四边形ABED为邻对等四边形理由如下：CECD，CDECED.BCD2ABC，ABCDEB，ACEBCD.在ACE和BCD中，ACEBCD(SAS)，BDAE，四边形ABED为邻对等四边形CBACABCDECED，ABCDEC，DE.2(2018淮安)如果三角形的两个内角与满足290，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”(1)若ABC是“准互余三角形”，C90，A60，则B15；(2)如图1，在RtABC中，ACB90，AC4，BC5.若AD是BAC的平分线，不难证明ABD是“准互余三角形”试问在边BC上是否存在点E(异于点D)，使得ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由(3)如图2，在四边形ABCD中，AB7，CD12，BDCD，ABD2BCD，且ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长解：(1)ABC是“准互余三角形”，C90，A60，2BA90，解得B15.(2)如答图1，在RtABC中，BBAC90，BAC2BAD，B2BAD90，ABD是“准互余三角形”ABE也是“准互余三角形”，只有2BBAE90.BBAEEAC90，CAEB.CC90，CAECBA，CA2CECB，CE，BE5.(3)如答图2，将BCD沿BC翻折得到BCF，CFCD12，BCFBCD，CBFCBD.ABD2BCD，BCDCBD90，ABDDBCCBF180，点A，B，F共线，AACF90，2ACBCAB90，只有2BACACB90，FCBFAC.FF，FCBFAC，CF2FBFA，设FBx，则有x(x7)122，x9或x16(舍去)，AF7916，在RtACF中，AC20.3(2015江西)我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是ABC的中线，AFBE，垂足为P，像ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BCa，ACb，ABc.特例探索(1)如图1，当ABE45，c2时，a_2_，b_2_.如图2，当ABE30，c4时，a_2_，b_2_.归纳证明(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式拓展应用(3)如图4，在ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BEEG，AD2，AB3，求AF的长解：(1)AFBE，ABE45，APBPAB2.AF，BE是ABC的中线，EFAB，EFAB，PFEPEF45，PEPF1.在RtFPB和RtPEA中，AEBF，ACBC2，ab2.如答图1，连接EF.同理可得EF42.EFAB，PEFPBA，.在RtABP中，AB4，ABP30，AP2，PB2，PF1，PE.在RtAPE和RtBPF中，AE，BF，a2，b2.(2)猜想：a2b25c2，证明如下：如答图2，连接EF.设ABP，APcsin，PBccos，由(1)同理可得PFPA，PEPB，AE2AP2PE2c2sin2，BF2PB2PF2c2cos2，()2c2sin2，()2c2cos2，c2cos2c2sin2，a2b25c2.(3)如答图3，连接AC，EF交于点H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P.点E，G分别是AD，CD的中点，EGAC.BEEG，BEAC.四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC2，EAHFCH.E，F分别是AD，BC的中点，AEAD，BFBC，AEBFCFAD.AEBF，四边形ABFE是平行四边形，EFAB3，APPF.在AEH和CFH中，AEHCFH，EHFH，EP，AH分别是AFE的中线，由(2)的结论得AF2EF25AE2，AF25()2EF216，AF4.或连接F与AB的中点M，证MF垂直BP，构造出“中垂三角形”，由AB3，BCAD及(2)中的结论，直接可求AF.4(2017江西)我们定义：如图1，在ABC中，把AB绕点A顺时针旋转(0180)得到AB，把AC绕点A逆时针旋转得到AC，连接BC.当180时，我们称ABC是ABC的“旋补三角形”，ABC边BC上的中线AD叫做ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”特例感知(1)在图2，图3中，ABC是ABC的“旋补三角形”，AD是ABC的“旋补中线”如图2，当ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为ADBC；如图3，当BAC90，BC8时，则AD长为4.猜想论证(2)在图1中，当ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明拓展应用(3)如图4，在四边形ABCD，C90，D150，BC12，CD2，DA6.在四边形内部是否存在点P，使PDC是PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由图1 图2 图3 图4解：(1)ABC是等边三角形，ABBCACABAC.DBDC，ADBC.BAC60，BACBAC180，BAC120，BC30，ADABBC.BAC90，BACBAC180，BACBAC90.ABAB，ACAC，BACBAC，BCBC.BDDC，ADBCBC4.(2)结论：ADBC.证明如下：如答图1，延长AD到M，使得ADDM，连接BM，CM.BDDC，ADDM，四边形ACMB是平行四边形，ACBMAC.第4题答图1BACBAC180，BACABM180，BACMBA.ABAB，BACABM，BCAM，ADBC.(3)存在理由：如答图2，延长AD交BC的延长线于M，作BEAD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA，PD，PC，作PCD的中线PN，第4题答图2连接DF交PC于O.ADC150，MDC30.在RtDCM中，CD2，DCM90，MDC30，CM2，DM4，M60.在RtBEM中，BEM90，BM14，MBE30，EMBM7，DEEMDM3.AD6，AEDE.BEAD，PAPD，PBPC.在RtCDF中，CD2，CF6，tanCDF，CDF60CPF，易证FCPCFD，CDPF.CDPF.四边形CDPF是矩形，CDP90，ADPADCCDP60，ADP是等边三角形，ADP60.BPFCPF60，BPC120，APDBPC180，PDC是PAB的“旋补三角形”在RtPDN中，PDN90，PDAD6，DN，PN.8