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专题13 二次函数考点总结【思维导图】 【知识要点】知识点一 二次函数的概念概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。注意：二次项系数a0，而b，c可以为零 二次函数y=ax2+bx+c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2 a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项1（2017甘肃中考模拟）下列函数中，是二次函数的有（ ）y=1-2x2y=1x2y=x1-xy=1-2x1+2xA1个B2个C3个D4个【答案】C【详解】y=12x2=2x2+1，是二次函数；y=1x2，分母中含有自变量，不是二次函数；y=x(1x)=x2+x，是二次函数；y=(12x)(1+2x)=4x2+1，是二次函数.二次函数共三个，故答案选C.2（2013湖南中考真题）下列函数是二次函数的是（ ）Ay=2x+1 By=-2x+1 Cy=x2+2 Dy=12x-2【答案】C【详解】根据二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a0）的函数叫做二次函数，所给函数中是二次函数的是y=x2+2。故选C。3（2018安徽中考模拟）下列函数不属于二次函数的是（ ）Ay=x-1x+2BCy=1-3x2D【答案】D【详解】把每一个函数式整理为一般形式，A、y=x-1x+2=x2+x-2，是二次函数，正确；B、=12x2+x+12，是二次函数，正确；C、y=1-3x2，是二次函数，正确；D、=2x2+12x+18-2x2=12x+18，这是一个一次函数，不是二次函数，故选D.4（2018上海中考模拟）下列函数中是二次函数的是（）Ay=2（x1）By=（x1）2x2Cy=a（x1）2Dy=2x21【答案】D【详解】A、y=2x2，是一次函数，B、y=（x1）2x2=2x+1，是一次函数，C、当a=0时，y=a（x1）2不是二次函数，D、y=2x21是二次函数故选D考查题型一 待定系数法求二次函数解析式1（2018广东中考模拟）二次函数yax2bxc的自变量x与函数y的对应值如下表：x543210y402204下列说法正确的是()A抛物线的开口向下B当x3时，y随x的增大而增大C二次函数的最小值是2D抛物线的对称轴是直线x52【答案】D【详解】将点(4,0)、(1,0)、(0,4)代入到二次函数y=ax2+bx+c中，得：0=16a-4b+c0=a-b+c4=c,解得：a=1b=5c=4，二次函数的解析式为y=x +5x+4.A.a=10，抛物线开口向上，A不正确；B.b2a=52,当x52时，y随x的增大而增大，B不正确；C.y=x+5x+4=(x+52) 94,二次函数的最小值是94，C不正确；D.b2a=52,抛物线的对称轴是x=52，D正确.故选D.2（2018上海中考模拟）已知二次函数yax2bxc的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x1012y0343那么关于它的图象，下列判断正确的是()A开口向上B与x轴的另一个交点是(3，0)C与y轴交于负半轴D在直线x1的左侧部分是下降的【答案】B【详解】A、由表格知，抛物线的顶点坐标是（1，4）故设抛物线解析式为y=a（x1）2+4将（1，0）代入，得a（11）2+4=0，解得a=2a=20，抛物线的开口方向向下，故本选项错误；B、抛物线与x轴的一个交点为（1，0），对称轴是x=1，则抛物线与x轴的另一个交点是（3，0），故本选项正确；C、由表格知，抛物线与y轴的交点坐标是（0，3），即与y轴交于正半轴，故本选项错误；D、抛物线开口方向向下，对称轴为x=1，则在直线x=1的左侧部分是上升的，故本选项错误；故选：B考查题型二 根据二次函数的定义求参数值1（2012山东中考真题）抛物线y=ax2+bx-3经过点（2，4），则代数式8a+4b+1的值为（ ）A3 B9 C15 D-15【答案】C【详解】抛物线y=ax2+bx-3经过点（2，4），4=4a+2b-3，即4a+2b=7。8a+4b+1=2(4a+2b)+1=27+1=15。故选C。2（2018安徽中考模拟）已知函数y=（m2m）x2+（m1）x+m+1（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？【答案】(1)、m=0；(2)、m0且m1.【详解】解：（1）根据一次函数的定义，得：m2m=0解得m=0或m=1又m10即m1；当m=0时，这个函数是一次函数；（2）根据二次函数的定义，得：m2m0解得m10，m21当m10，m21时，这个函数是二次函数知识点2：二次函数的图象和性质（重点）二次函数的基本表现形式：y=ax2；y=ax2+k；y=ax-h2；y=ax-h2+k；y=ax2+bx+c.a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0，0y轴x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0a0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0第一种：二次函数y=ax2的性质（最基础）1.（2019辽宁中考模拟）下列关于二次函数的说法正确的是()A它的图象经过点(-1,-2)B它的图象的对称轴是直线x=2C当时，y随x的增大而减小D当x=0时，y有最大值为0【答案】C【详解】A. 它的图象经过点-1,2，A错误；B. 它的图象的对称轴是直线x=0，B错误；C. 当x0向上0，cy轴x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值ca0时，y随x的增大而减小；x0向上h，0X=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0ah时，y随x的增大而减小；x0，所以抛物线开口向上，当x=0时，y=12，所以图象不经过原点，因为抛物线开口向上，所以在对称轴右侧的部分是上升的，由解析式可知顶点坐标为(-1，0)，所以选项A、B、C是错误的，D是正确的，故选D.3（2019山东中考模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y=a(x-h)2（a0）的图象可能是（ ）ABCD【答案】D【详解】二次函数（a0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，故选D第四种：二次函数y=ax-h2+k的性质a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h，kX=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值kah时，y随x的增大而减小；x1时，y随x的增大而增大【答案】B【详解】解：A、a20，抛物线开口向上，所以A选项的说法正确；B、当y0时，即2（x1）2+10，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点，所以B选项的说法错误；C、抛物线的对称轴为直线x1，所以C选项的说法正确；D、抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x1，则当x1时，y随x的增大而增大，所以D选项的说法正确故选：B2.2019广西中考模拟）将y=x2-6x+1化成y=（x-h）2+k的形式，则h+k的值是( )A-5B-8C-11D5【答案】A【详解】解：y=x2-6x+1=（x-3）2-8，（x-3）2-8=a（x-h）2+k，a=1，h=3，k=-8，h+k=3+（-8）=-5故选：A3（2019江苏中考模拟）已知二次函数y=（xh）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1x3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A1或5B1或5C1或3D1或3【答案】B【详解】若h1x3，x=1时，y取得最小值5，可得：（1h）2+1=5，解得：h=1或h=3（舍）；若1x3h，当x=3时，y取得最小值5，可得：（3h）2+1=5，解得：h=5或h=1（舍）综上，h的值为1或5，故选：B二次函数图象的平移平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式y=ax-h2+k，确定其顶点坐标h，k； 保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”【概括】左加右减，上加下减1（2019辽宁中考模拟）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）AV=-12x+94BP=Vx=-12x+94x=-12x2+94xC-12x-942+4418D【答案】A【详解】将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为V=-12x+94，故答案选A2（2017邹平镇第三中学中考模拟）把抛物线y12x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为( )Ay12 (x1)21 By12 (x1)21Cy12 (x1)21 Dy12 (x1)21【答案】B【详解】根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”，可直接求得平移后的抛物线的解析式为：y=12（x+1）2-1.3（2017广东中考模拟）把抛物线yx24先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的表达式为( )Ay(x1)27By(x1)27Cy(x1)21Dy(x1)21【答案】D【详解】把抛物线y=x2+4先向左平移1个单位，再向下平移3个单位所得新抛物线的解析式为：y=(x+1)2+1.故选D.4（2018山东中考模拟）将二次函数y=x2+2x1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（）Ay=（x+3）22 By=（x+3）2+2Cy=（x1）2+2 Dy=（x1）22【答案】D【详解】y=x2+2x-1=（x+1）2-2，二次函数y=x2+2x-1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是：y=（x+1-2）2-2=（x-1）2-2，故选D5（2019浙江中考模拟）将抛物线y2（x4）21先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（）Ay2x2+1By2x23Cy2（x8）2+1Dy2（x8）23【答案】A【详解】抛物线y=2（x-4）2-1先向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为y=2（x-4+4）2-1，即y=2x2-1，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y=2x2-1+2，即y=2x2+1；故选：A抛物线y=ax2+bx+c的三要素：开口方向、对称轴、顶点.求抛物线的顶点、对称轴的方法（难点）n 公式法：y=ax2+bx+c=ax+b2a2+4ac-b24a，顶点是（-b2a，4ac-b24a），对称轴是直线x=-b2a.n 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=ax-h2+k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x=h.【抛物线的性质】由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.抛物线y=ax2+bx+c中，a,b,c与函数图像的关系（灵活掌握）n 二次项系数a二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a0 当a0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当a0的前提下，当b0时，-b2a0，即抛物线的对称轴在y轴左侧（a、b同号）；当b=0时，-b2a=0，即抛物线的对称轴就是y轴；当b0，即抛物线对称轴在y轴的右侧（a、b异号） 在a0时，-b2a0，即抛物线的对称轴在y轴右侧（a、b异号）；当b=0时，-b2a=0，即抛物线的对称轴就是y轴；当b0时，-b2a0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负【总结起来】c决定了抛物线与y轴交点的位置总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的1（2018天津中考模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+3（a0）的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx8=0（a0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A4B2C1D3【答案】B【详解】关于x的方程ax2+bx-8=0有一个根为4，抛物线y=ax2+bx-8与x轴的一个交点为（4，0），抛物线y=ax2+bx+3a0的对称轴为直线x=1， 抛物线y=ax2+bx-8的对称轴也是x=1，抛物线与x轴的另一个交点为-2，0， 方程的另一个根为x=-2 故选B2（2019许昌实验中学中考模拟）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c0的解集是（ ）A-1x5Cx5Dx1或x5【答案】D【详解】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c0的解集：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），图象与x轴的另一个交点坐标为（1，0）。由图象可知：ax2+bx+c0在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ）AyxBy=-2xCyx2Dyx2【答案】D【详解】A-1,m,B1,m点A与点B关于y轴对称；由于yx，y-2x的图象关于原点对称，因此选项A,B错误；n0， mnm； 由B1,m,C2,m-n可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，对于二次函数只有a|x2-2|，则下列表达式正确的是（ ）Ay1+y20By1-y20Ca(y1-y2)0Da(y1+y2)0【答案】C【详解】解：a0时，二次函数图象开口向上，|x12|x22|，y1y2，a（y1y2）0，a0时，二次函数图象开口向下，|x12|x22|，y1y2，a（y1y2）0，综上所述，表达式正确的是a（y1y2）0故选：C3（2019河南中考模拟）点P1-1,y1，P23,y2，P35,y3均在二次函数y=-x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_【答案】y1=y2y3【详解】解：y=-x2+2x+c，对称轴为x=1，P23,y2，P35,y3在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，3y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1-1,y1与3,y1关于对称轴对称，故y1=y2y3，故答案为：y1=y2y3考查题型四 求抛物线顶点、对称轴的方法1（2019浙江中考模拟）关于抛物线y=12(x+2)2+3，下列说法正确的是（ ）A对称轴是直线x=2，y有最小值是3B对称轴是直线a=-1，y有最大值是3C对称轴是直线x=2，y有最大值是3D对称轴是直线a=-1，y有最小值是3【答案】D【详解】解：抛物线y=12（x+2）2+3的图像开口向上函数图像对称轴为直线x=-2，x=-2时有最小值3，故选：D2（2016浙江中考模拟）对于二次函数y（x1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A开口向下 B顶点坐标是（1，2）C对称轴是x1 D与x轴有两个交点【答案】B【详解】A、y=（x1）2+2，知a=10，因此图象的开口向上，此选项错误；B、y=（x1）2+2顶点坐标是（1，2），此选项正确；C、对称轴是直线x=1，此选项错误；C、（x1）2+2=0，（x1）2=2，此方程无解，与x轴没有交点，故本选项错误D、由y=（x1）2+2=x2-2x+3，可得=b2-4ac=4-12=-8，没有交点，故本选项错误.故选：B3（2019江苏中考模拟）关于函数y（x+2）21的图象叙述正确的是（）A开口向上B顶点（2，1）C与y轴交点为（0，1）D对称轴为直线x2【答案】D【详解】函数y=-(x+2)2-1，该函数图象开口向下，故选项A错误，顶点坐标为-2,-1，故选项B错误，当x=0时，y=-5，即该函数与y轴的交点坐标为0,-5，故选项C错误，对称轴是直线x=-2，故选项D正确，故选：D4（2019山东中考模拟）抛物线y=mx2+2mx+1（m为非零实数）的顶点坐标为_.【答案】-1,1-m【详解】y=mx2+2mx+1=m(x2+2x)+1=m(x2+2x+1-1)+1=m(x+1)2 +1-m，所以抛物线的顶点坐标为（-1，1-m），故答案为（-1，1-m）.考查题型五 抛物线对称性的应用1（2018普定县白岩镇白岩中学中考模拟）将抛物线y=x21向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（）A4 B6 C8 D10【答案】B【详解】将抛物线y=x2-1向下平移8个单位长度，其解析式变换为：y=x2-9而抛物线y=x2-9与x轴的交点的纵坐标为0，所以有：x2-9=0解得：x1=-3，x2=3，则抛物线y=x2-9与x轴的交点为（-3，0）、（3，0），所以，抛物线y=x2-1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为6故选B2（2018山东中考模拟）若二次函数,的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）A0B0或2C2或2D0，2或2【答案】D【详解】当函数为一次函数时，则m=0；当函数为二次函数时，则(m+2)2-4m(12m+1)=0，解得：m=2综上所述，m=0或2或23（2014黑龙江中考真题）如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长注：抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标是（，）【答案】（1）抛物线解析式为y=x2+2x+3；（2）BD=【详解】（1）抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（1，0），将A与B坐标代入得：，解得：，则抛物线解析式为y=x2+2x+3；（2）由D为抛物线顶点，得到D（1，4），抛物线与x轴交于点E，DE=4，OE=1，B（1，0），BO=1，BE=2，在RtBED中，根据勾股定理得：BD=考查题型六 二次函数图象特征与系数关系的应用方法1（2019陕西中考模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点（0,m）、（4、m）、（1，n），若nm，则（ ）Aa0且4a+b=0Ba0且4a+b=0Ca0且2a+b=0Da0且2a+b=0【答案】A【详解】图像经过点（0,m）、（4、m）对称轴为x=2，则-b2a=2,4a+b=0图像经过点（1，n），且nm抛物线的开口方向向上，a0，故选A.2（2019广东中考模拟）如图是二次函数yax2+bx+c图象的一部分，图象过点A(5，0)，对称轴为直线x2，给出四个结论：abc0；4a+b0；若点B(3，y1)、C(4，y2)为函数图象上的两点，则y2y1；a+b+c0其中，正确结论的个数是( )A1B2C3D4【答案】C【详解】由图象可知：开口向下，故a0，抛物线与y轴交点在x轴上方，故c0，对称轴xb2a0，b0，abc0，故正确；对称轴为x2，b2a2，b4a，4ab0，故不正确；当x2时，此时y随x的增大而增大，34，y1y2，故正确；图象过点A(5，0)，对称轴为直线x2，点A关于x2对称点的坐标为：(1，0)令x1代入yax2+bx+c，ya+b+c0，故正确故选：C4（2013广西中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下结论：b24ac；abc0；2ab=0；8a+c0；9a+3b+c0，其中结论正确的是 （填正确结论的序号）【答案】【详解】由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则=b24ac0，b24ac。故正确。抛物线开口向上，得：a0；抛物线的对称轴为x=-b2a=1，b=2a，故b0；抛物线交y轴于负半轴，得：c0；所以abc0。故正确。抛物线的对称轴为x=-b2a=1，b=2a，2a+b=0，故2ab=0。故错误。根据可将抛物线的解析式化为：y=ax22ax+c（a0）；由函数的图象知：当x=2时，y0；即4a（4a）+c=8a+c0，故错误。根据抛物线的对称轴方程可知：（1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；当x=1时，y0，所以当x=3时，也有y0，即9a+3b+c0。故正确。综上所述，结论正确的有。知识点三 抛物线与x轴的交点二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点0抛物线与x轴相交； 有一个交点（顶点在x轴上）=0抛物线与x轴相切； 没有交点1Cm1Dm1【答案】C【详解】二次函数的解析式y=（x-m）2-1的二次项系数是1，该二次函数的开口方向是向上；又该二次函数的图象的顶点坐标是（m，-1），该二次函数图象在xm上是减函数，即y随x的增大而减小，且对称轴为直线x=m，而已知中当x1时，y随x的增大而减小，x1，m1故选C2（2017江苏中考模拟）若二次函数y=（xm）21，当x3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）Am=3 Bm3 Cm3 Dm3【答案】C【详解】a=10，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，y=（xm）21的对称轴是x=m，m3.故选C.3（2019四川中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a0)过点(-1,0)，(0,2)，且顶点在第一象限，设M=4 a+2 b+c，则M的取值范围是_【答案】-6M0，a0，a-2，-2a0，M=4a+2(a+2)+2=6a+6=6(a+1)-6M6，故答案为：-6M6.考查题型九 二次函数与其他函数结合的应用方法1（2019内蒙古中考模拟）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（）ABCD【答案】D【详解】解：一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；当a0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A错误，D选项正确；故选：D2（2018安徽中考模拟）二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（ ）A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第二、三、四象限D第一、三、四象限【答案】C【详解】抛物线的顶点在第四象限，m0，n0。m0，一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限。故选C。3.（2018山东中考模拟）已知二次函数y(x+m)2n的图象如图所示，则一次函数ymx+n与反比例函数ymnx的图象可能是()ABCD【答案】D【详解】由二次函数的图象，得m0，n0，化简，得m0，n0，ymx+n图象经过一二四象限，ymnx图象位于二四象限，故选：D4（2019安徽中考模拟）二次函数ya(xm)2n的图象如图，则一次函数ymx+n的图象经过()A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第二、三、四象限D第一、三、四象限【答案】A【详解】解：观察函数图象，可知：m0，n0，一次函数ymx+n的图象经过第一、二、三象限故选：A知识点四 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路（重点） 三点式（带入）1，已知抛物线y=ax2+bx+c 经过A（3，0），B（23，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。2，已知抛物线y=a(x-1)+4 ， 经过点A（2，3），求抛物线的解析式。 顶点式（顶点坐标（-b2a，4ac-b24a）1，已知抛物线y=x2-2ax+a2+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2b 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。 交点式（带入）1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=12a(x-2a)(x-b)的解析式。 定点式1， 在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线y=-12x2+5-a2x+2a-2经过x 轴上一定点Q，直线y=(a-2)x+2经过点Q,求抛物线的解析式。2.抛物线y= x2 +(2m-2)x-4m与x轴的交点一定经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。解：抛物线与X轴相交，Y=0x2+(2m-2)X-4m=0x2-2X+2mx-4m=0X(X-2)+2m(X-2)=0(X-2)(X+2m)=0所以 x=2 必过（2,0） 代入直线 得m=-43Y= x2-113x+833，抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。直线y=mx-2m+2y=m(x-2)+2 直线经过定点，则与m的取值无关，所以x-2=0 y=2即定点坐标为A（2,2）所抛物线y=ax2+ax-2过(2,2)2=6a-26a=4a=23知识点五 通过二次函数解决实际问题考查题型十 借助抛物线图像解决实际问题1（2019山东中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：m)与小球运动时间t (单位：)之间的函数关系如图所示下列结论：小球在空中经过的路程是；小球抛出3秒后，速度越来越快；小球抛出3秒时速度为0；小球的高度h=30m时，t=1.5s其中正确的是( )ABCD【答案】D【详解】由图象知小球在空中达到的最大高度是；故错误；小球抛出3秒后，速度越来越快；故正确；小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故正确；设函数解析式为：h=at-32+40，把O0,0代入得0=a0-32+40，解得a=-409，函数解析式为h=-409t-32+40，把h=30代入解析式得，30=-409t-32+40，解得：t=4.5或t=1.5，小球的高度h=30m时，t=1.5s或4.5s，故错误；故选：D2（2018重庆中考模拟）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）A此抛物线的解析式是y=15x2+3.5B篮圈中心的坐标是（4，3.05）C此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D篮球出手时离地面的高度是2m【答案】A【详解】解：A、抛物线的顶点坐标为（0，3.5），可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a1.52+3.5，a=15，y=15x2+3.5故本选项正确；B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），故本选项错误；C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），故本选项错误；D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y=0.2x2+3.5，当x=2.5时，h=0.2（2.5）2+3.5=2.25m这次跳投时，球出手处离地面2.25m故本选项错误故选：A考查题型十一 利用直角坐标系解决实际问题1（2017甘肃中考模拟）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在图（1）位置时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2 m，水面宽4 m如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）Ay=2x2By=2x2Cy=0.5x2Dy=0.5x2【答案】C【详解】由题意可得，设抛物线解析式为：y=ax2，由图意知抛物线过（2，2），故2=a22，解得：a=0.5，故解析式为 y=0.5x2 ，选C2（2019山西中考模拟）如图所示的是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2m，则水面宽度增加（ ）A42+4mB42mC42-4mD4m【答案】C【详解】解：以AB所在的直线为x轴，向右为正方向，线段AB的垂直平分线为y轴，向上为正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y=ax2+2，代入A点坐标（-2，0），得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2，把y=-2代入抛物线解析式得出：-2=-0.5x2+2，解得：x=22，所以水面宽度增加到42米，比原先的宽度当然是增加了（42-4）米，故选：C考查题型十二 利用二次函数求最大面积1（2017江西南昌二中中考模拟）中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x；(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围.【答案】(1) x=12；(2)苗圃园的面积最大为112.5平方米，最小为88平方米；(3) 6x10.【详解】解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(302x)米依题意可列方程x(302x)72，即x215x360解得x13，x212又302x18，即x6，x=12(2)依题意，得8302x18解得6x11面积Sx(302x)2(x152)22252 (6x11)当x152时，S有最大值，S最大2252； 当x11时，S有最小值，S最小11(3022)88 (3)令x(302x)100，得x215x500解得x15，x21 x的取值范围是5x10考查题型十三 利用二次函数求最大利润1（2013辽宁中考真题）某商场购进一批单价为4元的日用品若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【答案】（1）y=-10000x+80000（2）当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元【详解】解：（1）由题意，可设y=kx+b，把（5，30000），（6，20000）代入得：&5k+b=30000&6k+b=20000，解得：&k=-10000&b=80000。y与x之间的关系式为：y=-10000x+80000。（2）设利润为W，则W=x-4-10000x+80000=-10000x2-12x+32=-10000x-62+40000，当x=6时，W取得最大值，最大值为40000元。答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元。考查题型十四 利用二次函数解决运动中的几何问题1（2019云南中考模拟）如图，在ABC中，B90，AB3cm，BC6cm，动点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是（）ABCD【答案】C【详解】由题意可得：PB3t，BQ2t，则PBQ的面积S12PBBQ12（3t）2tt2+3t，故PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下故选：C2（2019河南中考模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿PDQ运动，点E、F的运动速度相同设点E的运动路程为x，AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ）ABCD【答案】A【详解】当F在PD上运动时，AEF的面积为y=12AEAD=2x（0x2），当F在DQ上运动时，AEF的面积为y=12AEAF=（2x4），图象为：故选A3（2019河南中考模拟）如图，在RtABC中，C=90，AB=10cm,BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止）。则四边形PABQ的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数图象为（ ）ABCD【答案】C【详解】解：在RtABC中，C=90，AB=10cm，BC=8cm，AC=AB2-BC2=6cm,设运动时间为x（0x4），则PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，S四边形PABQ=SABC-SCPQ=12ACBC-12PCCQ=1268-12（6-x）2x=x2-6x+24=（x-3）2+15.根据函数解析式可得函数图象应为：C. 35
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