函数的定义域值域的知识点汇总

函数的定义域值域的知识点汇总函数的定义域、值域一、基础知识整合1.函数的定义：设集合A和B是非空数集，按照某一确定的对 应关系匚使得集合A中任意一个数监在集合B中都有唯一 确定的数f (小与之对应则称f：为A到E的一个函数。2由定义可知：确定一个函数的主要因素是确定的对应关系 (f)，集合A的取值范围。由这两个条件就决定了下3的 取值范围(y|y=f(x)rxeAh玄定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白 定义域指的是：(1)自变量放在一起构成的集合成为定义域2)数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域, 特殊的一个个的数时用列举法”；一般表示范围时用集合的 対苗述法或区间”来表示。4值域：是由定义域和对应关系(卡)共同作用的结果，是个被 动变最，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值 的范围。(1) 明白值域是在定义域A内求出函数值构成的集合： y |y=f (x) P x&A q(2) 明白定义中集合B是包括值域但是值域不一定为集合乱5. 函数的三种表示方法解析法、图象法.列表法分段函数是一个函数而菲几个函数.分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段 上“值域的并集.分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端 点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况.二、求函数定义域(-)求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。(1)常见要是满足有意义的情况简总： 表达式中出现分式时：分母一定满足不为0； 表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数; 开偶次方时，根号下满足大于或等于0 (非负数)。 表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. 根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. 表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有X,必须 满足指数底数大于0且不等于1. (0底数1;底数1) 表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时, 只需满足真数上所有式子大于0,且式子本身有意义即可；自变 量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0,底数要 大于 0 且不等于 1. (/(r) = logi(x2-D)注：(1)出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义,及最后求的是所有式子解集的交集。（2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免 发生变化。（形如：/（x）.i）X例：已知函数解析式，求定义域的典型题1 求下列函数的定义域仆)/(x)=11X E j+3：（2）a+】） +如兀”；2.抽象函数（没有解析式的函数）解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行 将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取 值范围。总结为：（1）给出了定义域就是给出了所给式子中x的取值范围；（2）求抽象函数的定义域个关键在于求f（x）的取值范围，及括 号的取值范围。例（1）若函数f（x）的定义域为（-2,6）,求的定义域。（2）若数ZV1）的定义域为卜1,2.求函数/的定义域。（3）若数心）的定义域为0,2,求函数X（.V）= Z的定义域X-1（4）已知f（x+1）的定义域为-1.1,求f （2xT）的定义域 小丄“日2 23.与函数定义域有关的问题题（恒成立问题）x 4 若函数/=+(2加+山+加2的定义域为R,求实数m的取 值范围。 函数y = Jk+ -2kx + k + 6的定义域为R,求k的取值范围。 函数f(x) = Jmxi_6mx +加+ 8的定义域为R,求m的取值范围。求函数值域(-)求函数值域方法和情形总结1 直接观察法(利用函数图象)一般用于给出图象或是常见的函数的情形，根据图象来看 出y值的取值范围。2.配方法适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此 时注意对称轴的位置，在定义域范围内(以a0为例)，此时对 称轴的地方为最大值，定义域为内端点离对称轴最远的端点处 有最小值；对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。总 结为三个要点：(1)含参数的二次型函数，首先判断是否为二 次型，即讨论a； (2) a不为0时，讨论开口方向；(3)注意区 间，即讨论对称轴。例仁 求f(x) = x2-4x + 6在1,5上的值域.3 分式型(1)分离常量法：应用于分式型的函数，并且是自变量X的次 数为1,或是可以看作整体为1的函数。具体操作：先将分母搬 到分子的位子上去，观察与原分子的区别，不够什么就给什么,化为dbx + c例2：求/(%) =韶的值域.3.换元法通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域，一 般函数特征是函数解析式中含有根号形式，以及可将问题转换 为我们熟悉的函数形式等问题。而换元法其主要是让我们明白 一种动态的方法来学习的一种思路，注重换元思维的培养，并 不是专一的去解答某类问题，应该多加平时练习。注：换元的 时候应及时确定换元后的元的取值范围。例3：求函数w一G的值域解:令/ -工 0,则x+1 , 带入原函数解析式中得 = 2(/2 +l)-/ = 2/-/ + 2 = 2(/-):+y因为，宀0所以，函数的值域为卿黑跟踪练习：求下列函数的域(1) y = 2sii?x-3cosx-l (2) y =+(3) y = sinx + cosx + sinxcosx ,(令 t二siz+cosJ 函数解析式的求法-、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数 法.例1设/(X)是一次函数，且/(X) = 4X + 3 ,求/(x)解:设 /(x)=ar+z(a#o),贝/(x) = af(x) + b = a(ax + b) + b = aY + ab + b:.f(x) = 2x+l 或 f(x) = -2r + 3 .二、配凑法：已知复合函数/g(X)的表达式，求/的解析式， /仪的表达式容易配成能)的运算形式时，常用配凑法.但 要注意所求函数/的定义域不是原复合函数的定义域，而 是g的值域.例2已知/(X +丄)“+亠(x0),求/的解析式.XX解：v /(jt + -) =(A： + )2 - 2 , x +丄 n2, ./(x)=才、一2 (x 2 )xxx三、换元法：已知复合函数/加)的表达式时，还可以用换元法 求/何的解析式.与配凑法一样，要注意所换元的定义域的 变化.例 3 已知/(V7 + i)= x + 2V7,求/(x + 1).解：令/ = 77+1,则心1, x=(/-i)2 /(仮+ 1)=工+ 2仮,/(/) = (/-1)2+2(/-1) = /2-1,